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B-264


中国高等学校电力系统及其自动化专业第 29 届学术年会,湖北宜昌:三峡大学,2013

一种基于自适应 UKF 的电力系统动态状态估计方法
田甜,王桂兰,赵洪山
华北电力大学电气工程学院 Email: 911745349@qq.com

摘 要: 无迹卡尔曼滤波(unscented Kalman filter, UKF)是扩展卡尔曼滤波(extended Kalman filter, EKF) 的一种改进方法,但 UKF 的估计结果会受到未知系统噪声的影响。为提高估计精度,提出了一种改进 的自适应 UKF(Adaptive unscented Kalman filter, AUKF)算法,通过在 UKF 中引入渐消记忆指数加权法 改进的 Sage-Husa 噪声统计估值器,减小系统噪声对估计值的影响。在典型日负荷条件下通过 IEEE57 和 IEEE118 系统仿真验证该方法的有效性, 结果表明该改进方法与传统 UKF 方法相比, 状态估计精度 提高,并且对建模误差适应能力强,数值计算稳定性好。 关键词:电力系统;动态状态估计;扩展卡尔曼滤波;无迹卡尔曼滤波;自适应无迹卡尔曼滤波

Adaptive Unscented Kalman Filter for Power System Dynamic State Estimation
Tian Tian, Wang Guilan, Zhao Hongshan
North China Electric Power University Email: 911745349@qq.com

Abstract: Unscented Kalman filter is an improved method of extended Kalman filter, due to the assumption of system noise variance is constant, the estimation results of UKF will be affected by the unknown system noise .In order to reduce the effect of unknown system noise, an improved adaptive UKF (Adaptive unscented Kalman filter, AUKF) algorithm is presented, which based on the improved Sage-Husa filter. This algorithm eatimate the system noise every step, it can deal with the time-varying system noise and reduce impact on the state estimate. The simulation results of IEEE57 system and IEEE118 system, which under the daily load condition, confirmed the conclusion that the new method can be effective. The adaptive method improved the estimation accuracy. Keywords: power system; extended Kalman filter(EKF); dynamic state estimation;unscented Kalman filter (UKF); Adaptive unscented Kalman filter (AUKF) 存在线性化误差,为解决这一问题,Julier 提出了无迹 卡尔曼滤波(unscented Kalman filter, UKF)[5],为了适 应高阶系统随后提出了含有比例因子的 UKF 方法[6]。 UKF 通过无迹变换(unscented transform,UT)近似地获取 非线性变换后的统计特性,无需计算雅克比矩阵,其精 度至少可达到二阶; 且具有与扩展卡尔曼方法相当的计 算速度。UKF 方法目前在各个领域均有应用,但在电 力系统状态估计中的应用仍在研究当中[7]。但基于 EKF 框架的 UKF 同样对模型的精确度要求较高,本文基于 改进的次优 Sage-Husa 估值器提出了一种自适应 UKF 滤波方法, 加入噪声估值器后能对未知系统噪声进行估 计,以补偿系统噪声的影响,提高精度;最后以混合量 测情况下的 IEEE57,IEEE118 节点系统为例证明了这 一特性,表明该方法与 UKF 相比具有优势。

1 引言
电力系统状态估计是通过冗余的量测量经过系统 模型以得到相对准确的状态量的值, 并对不可测的状态 量进行估计。电力系统状态估计分为静态和动态两种, 静态状态估计目前应用较为成熟,以最小二乘法等为 主;动态状态估计通过模型和量测量进行一次运算,得 到状态估计值和预报值; 由于动态状态估计能够对系统 下一时刻的状态量进行预测,与静态状态估计相比,更 有优势。 电力系统动态状态估计主要以扩展卡尔曼滤波 方法(Extend Kalman Filter, EKF)为主[1],最早由 Debs 提出。以之为基础不乏改进方法:有计入非线性卡尔曼 滤波[2]、自适应预报动态状态估计[3]、光滑增平面模糊 控制动态状态估计[4]等。 扩展卡尔曼滤波有其局限性,在求雅克比矩阵时,

2 UKF 基本原理

基金资助项目:国家自然科学基金(51077053, 51277074);中央高校基 B-264 本科研业务费专项资金资助(13MS103)。 Project Supported by National Natural Science Foundation of China (51077054, 51277074); the Fundamental Research Funds for the Central Universities(13MS103).

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对于电力系统动态状态估计问题,动态方程和量 测方程可用下面的形式来表示: xk +1 = f ( xk ) + qk (1)

同样,根据 xk +1|k , Pk +1|k 构造 sigma 点集 {ξi ,k } , 得到:

zk +1 = h( xk +1 ) + rk +1
T n

yi , k +1 = h (ξi , k ) + rk yk +1 = ∑ Wi m yi , k +1
i =0 2n T 2n

(10) (11)

(2)

其中, xk 是状态变量,且 xk = [Vk ,θ k ] ∈ R , zk 是量测变量,zk = [ Pk , Qk ,Vk ,θ k ]T ∈ R m ; f ( x) 和 h( x) 是非线性向量方程; qk ∈ R n 是系统误差,方差阵为 Qk , rk +1 ~ N (0, Rk +1 ) ∈ R m 是 量 测 误 差 , 方 差 阵 为 Rk +1 。 无迹卡尔曼滤波根据卡尔曼滤波的基本步骤,引 入 UT 变换这种采样方法近似非线性特性, 基本原理是 围绕状态量均值点构造方差为状态量方差的 sigma 点 集,再对这个点集中每个点都进行非线性变换,随后 加权求和获得非线性变换后的状态量和方差,这种方 法至少能够达到二阶以上的精度。 UT 变换过程: x 为均值为 x ,协方差为 Px 的随机 变量,经过非线性变换 y = f ( x) ,为了获得 y 的均值 和方差,构造 sigma 点集 {χi } ,满足:

Sk +1 = ∑ Wi c ( yi , k +1 ? yk +1 )( yi , k +1 ? yk +1 ) + Rk +1 (12)
i =0

Ck +1 = ∑ Wi c ( χi , k +1|k ? xk +1|k ) ( yi ,k +1 ? yk +1 )
i =0

2n

T

(13) (14) (15) (16)

xk +1 = xk +1|k + Kk +1 ( zk +1 ? yk +1 )
T Pk +1 = Pk +1|k ? K k +1Sk +1 K k +1

K k +1 = Ck +1 / Sk +1

以上就是 UKF 的基本原理,但是 UKF 也存在着 一定的局限性,与 EKF 一样,UKF 的前提是模型是 精确的, 本文提出的自适应 UKF 方法正是为了克服系 统误差的影响。

x = ∑ Wi χ i
m i =1

L

3 电力系统自适应 UKF 动态状态估计算法
3.1 电力系统状态估计的模型
动态模型采用两参数指数平滑法[10],指数平滑法 具有存储变量少, 计算速度快的优点, 适合在线运算。 动态模型 f (x) 的表示形式如下: xk +1|k =S k +bk (17)

(3) (4)

Px = ∑ Wi c ( χi ? x )( χ i ? x )T
i =1

L

对所有 sigma 点进行非线性变换,得到变换后的 点集 {Yi } , Yi = f ( χi ) ,与上述同理即可获得 y 的统 计特性:

y = ∑ Wi Yi
m i =1

L

Sk =α H xk |k +(1-α H )xk |k -1
bk =β H (Sk -Sk -1 )+(1-β H )bk -1

(18) (19)

(5) (6)

Py = ∑ Wi c (Yi ? y )(Yi ? y )T
i =1

L

上述的 UT 变换是 UKF 的关键步骤,目的在于通 过某种采样方案获得 sigma 点集。UKF 在确定了采样 策略后,也就决定了采样点数目 L 以及均值和方差的 权值 W m ,W c 。 UKF 包括两个主要步骤:预测和更新。 (1) 预测: xk 为 k 时刻的状态量,Pk 为 k 时刻的状态量的协 方差,根据选取的采样策略构造 Sigma 点集 {χi ,k } , 可得到状态量和方差的一步预测值: χi ,k +1|k = f ( χi ,k ) + qk (7)

采用混合量测,即在某些节点配置向量测量单元 (phasor measurement unit,PMU),量测量为节点电压 的幅值和相角;其余节点覆盖监视控制与数据采集 (supervisory control and data acquisition,SCADA)系 统,量测量为注入的有功、无功功率和电压幅值。

3.2 改进的 Sage-Husa 噪声统计估值器
由于两参数指数平滑预测模型的系统噪声未知, 不能简单假定系统噪声协方差阵 Qk 是常数, 系统噪声 有可能是时变的,为了适应时变噪声估计,文献[11] 提出渐消记忆指数加权法对 Sage-Husa 方法进行改 进,改进后的噪声统计估值器,可以处理时变噪声统 计估计问题, 可以一定程度抵消未知建模误差的影响。 将改进的次优 Sage-Husa 自适应滤波方法应用至 UKF 方法中,同时对 Qk 和 Rk 进行估计可能会导致滤 Rk 和 rk 可以通过校准来获得较为准确的近似 波发散, [12] 值 ,可假设为已知。

xk +1|k = ∑ Wi m f ( χi ,k +1|k )
i =1
L i =1

L

(8)

Pk +1|k = ∑ Wi c ( f ( χ i , k +1|k ) ? xk +1|k )( f ( χ i , k +1|k ) ? xk +1|k )T +Qk (9)

(2) 更新:

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基于卡尔曼滤波的改进 Sage-Husa 时变噪声统计 递推估值器形式如下:

差的权值为:

1? b d k ?1 = (20) 1 ? bk ?k = (1 ? d k ?1 ) q ?k ?1 + d k ?1 ( xk |k ? Fk ?1 xk ?1|k ?1 ) (21) q
Qk = (1 ? dk ?1 ) Qk ?1 + dk ?1 KkVkVk T KkT + Pk ? Fk ?1Pk ?1Fk ?1T (22)

W0m = W0c =

λ
n+λ

(26) (27) (28)

λ
n+λ

+ (1 ? α 2 + β )

(

)

Wi m = Wi c =

其中, b 为遗忘因子且 0 < b < 1 ,当系统状态的变化 程度越大时 b 的取值就越大, Fk 为转移矩阵, K k 为 卡尔曼滤波增益, Vk = zk ? h(xk |k ?1 ) ,为残差项。 为了适应 UKF 方法并保证滤波效果, 对上述模型 估计器进行了改进。通过实验比较,采用新息修正方 差阵比用残差修正效果更好,故令 Vk = zk ? yk ,根据 UKF 的算法形式,得出无偏递推噪声估计器形式如 下:

1 , i = 1,L , 2n 2(n + λ )

根据本时刻状态量和方差的估计值,根据选取的 采样方法确定权值和构造 sigma 点集,按照式(7)-(9) 预测下一时刻的状态量和方差。 (3)更新: 同样根据状态量和方差的预测值,构造 sigma 点 集,根据式(10),对 sigma 点集进行非线性变换,按 照式(11)-(13)加权计算得到均值和方差, 并根据式(14) 计算卡尔曼增益,再根据式(15),引入量测量对状态 量预测值进行修正,得到下一时刻的状态量和方差估 计值。通过式(23),式(24)修正系统噪声和噪声方差, 再重复预测步骤(2)

?k = (1 ? d k ?1 ) q ?k ?1 + d k ?1 ( xk |k ? ∑ Wi m f ( χ i ,k )) (23) q
i =1

L

Qk =(1 ? d k ?1 )Qk ?1 + d k ?1 ( K kVkVk K k T + Pk ?
T

∑Wic ( f ( χi,k +1|k ) ? xk +1|k )( f ( χi,k +1|k ) ? xk +1|k )T ) (24)
i =1

L

4 算例分析
引 入 性 能 指 标 函 数 — — 均 方 根 误 差 (root-mean square error, RMSE)来进行衡量估计值与真值之间的 偏差。在 k 时刻的均方根误差定义如下:

将式(23)与式(24)引入到 UKF 方法当中,在状态 量更新后对系统噪声进行估计,再进行下一步预测, 这样就获得了自适应 UKF 方法。

3.3 AUKF 的算法的步骤
(1)初始化: 为保证滤波精度,需选取合适初值,两参数指数 平滑法需要已知前两个时刻的状态量,因此假设计算 时前两时刻的状态量为真值。 (2)预测: 首先确定 sigma 点的采样方案,目前现有的采样 方案主要有对称采样[13]、单形采样[14]、3 阶矩偏度采 样[15],高斯分布四阶矩采样等。本文采取最常用的对 称采样方案,为了避免非局部效应和高阶项误差,需 要对 sigma 点进行比例修正[6]。 比例修正后的 sigma 采样策略为: ? x i=0 ? (25) χi = ? x + [ (n + λ ) Px ]i i = 1,L , n ? i = n + 1,L , 2n ? x ? [ (n + λ ) Px ]i 其中, n 为状态量的维数;标量 κ 是自由参数,用来 捕捉给定分布的高阶矩的信息;λ =α 2 (n + κ ) ? n ;α 为比例修正因子, 通常取值范围为 [0.0001,1] ; 用于包 含先验分布的高阶矩知识, 对于高斯分布,β =2 最优; [ (n + λ ) Px ]i 是矩阵平方根的第 i 列。计算均值和方

RMSE (k ) =

1 N

i it 2 ?k ∑(y , n ? yk , n ) n =1

N

(29)

i it ?k 是状态量的估计值,yk 是状态量的真值, 式(29)中,y N 是状态量的维数。指标函数均方根误差表现了整体 的平均估计效果,值越小说明估计值越接近真值。在 下面的算例中分别比较幅值和相角的均方根误差。 下面利用 IEEE57 和 IEEE118 两个测试系统,在 系统负荷按照典型日负荷曲线变化情况下,对本文的 自适应 UKF 算法进行仿真验证分析。 参数选择:SCADA 系统的测量误差的标准差是 0.02, 均值为 0; PMU 电压幅值量测量误差的标准差为 0.005,均值为 0,相角量测的标准差为 0.002,均值为 0; 两参数指数平滑法的参数选取是影响预测模型效果 的关键,两参数的取值: α H = 0.85 , β H = 0.05 。 为了保证算法适应不同系统, UKF 的比例修正系 数为 α =0.001 ,κ =0 ,β =2 。 对状态量进行后验估计。 在 AUKF 中,遗忘因子 b = 0.95 。 在上述的条件下,比较 UKF 与 AUKF 的状态估 计性能。 (1)IEEE57 节点系统状态估计仿真分析 对于 57 节点系统,配置 PMU 的节点为 1,6,9,

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24,32,38,50,53,56[16]。任意选取节点 7 的估计 值与真值曲线和性能指标 RMSE 如图 1 所示。

对于 118 节点系统,配置 PMU 的节点为:1,6, 8,12,15,19,21,27,28,32,34,40,45,49, 53,56,62,65,72,75,77,80,85,86,90,94, 102,105,110。任选节点 2 的状态量估计值和真值曲 线和性能指标 RMSE 如图 2 所示。

(a)

IEEE57 节点 7 的电压幅值估计值与真值

(a)

IEEE118 节点 2 电压幅值估计值与真值

(b)
×10-3

IEEE57 节点 7 的电压相角估计值与真值

(b)
×10-3

IEEE118 电压相角估计值与真值

(c)
×10
-3

IEEE57 幅值估计的 RMSE

(c)
×10-3

IEEE118 幅值估计的 RMSE

(d)

IEEE57 相角估计的 RMSE

图 1 IEEE57 系统估计结果和均方差 Fig1 the estimate results and RMSE of IEEE57

(2)IEEE118 节点系统状态估计仿真分析
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(d)

IEEE118 相角估计的 RMSE

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图 2 IEEE118 系统估计结果和均方差 Fig2 the estimate results and RMSE of IEEE118 [8] [9] system dynamic state estimation[J].Generation,Transmission & Distribution,IET,2011,5(1):29-37. 李大路,李蕊,孙元章.混合量测下基于 UKF 的电力系统动 态状态估计[J].电力系统自动化,2010,17:17-21+92.LI 卫志农,孙国强,庞博.无迹卡尔曼滤波及其平方根形式在 电力系统动态状态估计中的应用 [J] .中国电机工程学报, 2011,31(16):74-80. 贺觅知. 基于卡尔曼滤波的电力系统动态状态估计算法研究 [D].西南交通大学,2006 邓自立.自校正滤波理论及其应用[M].哈尔滨工业大学出版 社. 闵伟,周志宇,周振华.改进型 Sage-Husa 卡尔曼滤波器在 电压暂降检测中的应用[J].电网技术,2013,(01):230-234. Julier S J,Uhlmann J K.A consistent debiased method for converting between polar and cartesian coordinate systems[C]//Proceedings of Aero Sense:The 11th International Symposium on Aerospace/Defense Sensing , Simulation and Control.Orlando:SPIE,1997:110-121. Julier S J . The spherical simplex unscented transformation[C]//Proceedings of the American Control Conference.Denver:IEEE,2003:2430-2434. Julier S J.A skewed approach to filtering[C]//Proceedings of Aero Sense , 12th International Symposium on Aerospace/Defense Sensing , Simulation Control . Orlando : SPIE,1998:271-282. [16] 李英.电力系统 PMU 优化配置的研究[D].华北电力 大学(河北),2006.

从 IEEE57 和 IEEE118 测试系统的电压幅值和相 角估计结果来看,引入了时变噪声估值器的 AUKF 方 法的估计效果要优于 UKF, 幅值真值与估计值之间的 误差随着时间推移而减小。从 RMSE 的均值来看,整 体上 AUKF 方法的估计效果要优于 UKF 方法,尤其 是在幅值估计上体现尤为明显,说明加入时变噪声估 值器的 AUKF 算法适应能力较强。 以上的结果说明在日负荷算例情况下,含有时变 噪声估值器的 AUKF 的估计精度比 UKF 更高, AUKF 比较适应电力系统动态状态估计的情况。

[10] [11] [12] [13]

5 结论
为解决未知系统噪声对 UKF 状态估计的影响, 本 文提出了一种基于改进 Sage-Husa 噪声统计估值器的 自适应 UKF 方法, 并针对基于混合量测的典型日负荷 曲线下进行仿真,得出结论如下: (1)动态模型采用两参数法,但是两参数法的系统 噪声难以直接确定,UKF 会受到未知系统噪声的影 响; 含有时变噪声估值器的 AUKF 的估计精度比 UKF 更高。因此 AUKF 更适应电力系统动态状态估计的情 况,能提高状态估计的精度。 (2)AUKF 在系统阶数较高情况下,也能有较为理 想的估计效果。但是随着状态量阶数的升高,计算 Sigma 点的运算量也随之增加。为减小计算量,可以 选取采样点较少的采样策略,如何提高运算速度仍需 进一步研究。

[14]

[15]

[16]

参考文献
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