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高中数学(北师大版)选修1-2精品学案:第三章 推理与证明 章末小结


第三章章末小结 问题 1:推理一般包括 合情推理 和 演绎推理 归纳推理 ,它们都是日常学习和生 和 类比推理 ,具有猜测 活中经常应用的思维方法,合情推理包括 和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用;演绎推理则具有证明 结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法. 问题 2: 三段论 是演绎推理的主要形式,三段论的公式包括三个判断:第一 小前提 ,它 个判断是 大前提 ,它提供了一个一般性的原理;第二个判断是 指出了一种特殊情况,这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联 系,从而产生了第三个判断—— 问题 3: 分析法 结论 . 和 综合法 是直接证明中最基本的两种证明方法,也是 反证法 是间接证明的一种基本方法,也是解 解决数学问题时常用的思维方式; 决某些“疑难”问题的有力工具. 问题 4:解答证明题时,要注意是采用直接证明还是间接证明.直接证明时, 综合法 和 分析法 往往可以结合起来使用.综合法的使用是“ 由因索果 ”, 分析法证明问题是“ 执果索因 ”,它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法 便于寻找解题思路,而综合法便于叙述,因此往往联合使用.分析法要注意叙述的 形式:要证 A,只要证明 B,B 应是 A 成立的充分条件. 题型 1:与数列结合的推理问题 在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想 正确吗?说明理由. 【方法指导】先写出数列的前几项,寻找项与项数之间的关系,再作出猜想, 最后证明. 【解析】在数列{an}中,a1=1,a2==, a3===,a4==,…, 所以猜想{an}的通项公式 an=. 这个猜想是正确的. 证明如下:因为 a1=1,an+1=, 所以==+,即-=, 所以数列{}是以=1 为首项,为公差的等差数列, 所以=1+(n-1)=n+, 所以数列{an}的通项公式 an=. 【小结】 归纳推理的常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循 环型”(周期性),本题是根据数列的前几项,猜测数列的通项公式,属于第一类型;这 种猜测不一定正确,需进一步证明. 题型 2:与立体几何结合的推理问题 在△ ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ ABC 的外接圆半径 r=,把上面的 结论推广到空间,写出相类似的结论. 【方法指导】 得出类 比结论 角形对应 四面体与三 立体几何中的平面与平 面几何中的直线对应 比对象 寻找类 【解析】取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A-BCD,且 AB=a,AC=b,AD=c, 可以将四面体补成一个长方体,则对角线长即为外接球的直径,即 2R=,即 R=, 则此三棱锥的外接球的半径 R=. 【小结】此题考查的是平面到空间的类比推广.解答这类题目不能只满足结 论形式上的相似,还必须是真命题,结论的推导还是要从平面结论下手,一般在推 导空间的结论时要用到平面的结论,或利用类似平面结论推导的方法,如等面积类 比等体积,直线类比平面,等等. 题型 3:与三角结合的证明问题 证明:=-. 【方法指导】 要证明=成立,可证 AD=BC,因此在证明本题时,可以先将右侧进 行通分,然后证明其对应的“AD=BC”成立. 【解析】(法一)分析法 要证原式成立,即证 =成立; (1)当 cos α=sin α 时,上式显然成立,故原式成立; (2)当 cos α≠sin α 时,即证 2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin

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