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高中数学(北师大版)选修1-2精品学案:第三章 推理与证明 章末小结

第三章章末小结 问题 1:推理一般包括 合情推理 和 演绎推理 归纳推理 ,它们都是日常学习和生 和 类比推理 ,具有猜测 活中经常应用的思维方法,合情推理包括 和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方向的作用;演绎推理则具有证明 结论,整理和构建知识体系的作用,是公理体系中的基本推理方法. 问题 2: 三段论 是演绎推理的主要形式,三段论的公式包括三个判断:第一 小前提 ,它 个判断是 大前提 ,它提供了一个一般性的原理;第二个判断是 指出了一种特殊情况,这两个判断联合起来,提示了一般原理和特殊情况的内在联 系,从而产生了第三个判断—— 问题 3: 分析法 结论 . 和 综合法 是直接证明中最基本的两种证明方法,也是 反证法 是间接证明的一种基本方法,也是解 解决数学问题时常用的思维方式; 决某些“疑难”问题的有力工具. 问题 4:解答证明题时,要注意是采用直接证明还是间接证明.直接证明时, 综合法 和 分析法 往往可以结合起来使用.综合法的使用是“ 由因索果 ”, 分析法证明问题是“ 执果索因 ”,它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法 便于寻找解题思路,而综合法便于叙述,因此往往联合使用.分析法要注意叙述的 形式:要证 A,只要证明 B,B 应是 A 成立的充分条件. 题型 1:与数列结合的推理问题 在数列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N+,猜想这个数列的通项公式是什么?这个猜想 正确吗?说明理由. 【方法指导】先写出数列的前几项,寻找项与项数之间的关系,再作出猜想, 最后证明. 【解析】在数列{an}中,a1=1,a2==, a3===,a4==,…, 所以猜想{an}的通项公式 an=. 这个猜想是正确的. 证明如下:因为 a1=1,an+1=, 所以==+,即-=, 所以数列{}是以=1 为首项,为公差的等差数列, 所以=1+(n-1)=n+, 所以数列{an}的通项公式 an=. 【小结】 归纳推理的常见形式:一是“具有共同特征型”,二是“递推型”,三是“循 环型”(周期性),本题是根据数列的前几项,猜测数列的通项公式,属于第一类型;这 种猜测不一定正确,需进一步证明. 题型 2:与立体几何结合的推理问题 在△ ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ ABC 的外接圆半径 r=,把上面的 结论推广到空间,写出相类似的结论. 【方法指导】 得出类 比结论 角形对应 四面体与三 立体几何中的平面与平 面几何中的直线对应 比对象 寻找类 【解析】取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A-BCD,且 AB=a,AC=b,AD=c, 可以将四面体补成一个长方体,则对角线长即为外接球的直径,即 2R=,即 R=, 则此三棱锥的外接球的半径 R=. 【小结】此题考查的是平面到空间的类比推广.解答这类题目不能只满足结 论形式上的相似,还必须是真命题,结论的推导还是要从平面结论下手,一般在推 导空间的结论时要用到平面的结论,或利用类似平面结论推导的方法,如等面积类 比等体积,直线类比平面,等等. 题型 3:与三角结合的证明问题 证明:=-. 【方法指导】 要证明=成立,可证 AD=BC,因此在证明本题时,可以先将右侧进 行通分,然后证明其对应的“AD=BC”成立. 【解析】(法一)分析法 要证原式成立,即证 =成立; (1)当 cos α=sin α 时,上式显然成立,故原式成立; (2)当 cos α≠sin α 时,即证 2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α)2, 即证 2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin2α+cos2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α,即证 1=sin2α+cos2α 成立,显然成立,故原式成立. (法二)综合法 ∵1=sin2α+cos2α, ∴2+2sin α+2cos α+2sin αcos α=1+sin2α+cos2α+2sin α+2cos α+2sin αcos α, ∴2(1+sin α)(1+cos α)=(1+sin α+cos α)2, ∴=,故原式成立. 【小结】方法一用了分析法,思路清晰、简洁;方法二利用的是综合法,它建立 在方法一的基础上,描述简洁. 题型 4:用反证法证明问题 用反证法证明:若函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数,那么方程 f(x)=0 在区间[a,b] 上至多只有一个实数根. 【方法指导】 得出正 确结论 出矛盾 不成立 证明 【解析】假设方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至少有两个根, 设 α,β 为其中的两个实根, 因为 α≠β,不妨设 α>β, 又因为函数 f(x)在区间[a,b]上是增函数, 所以 f(α)>f(β). 这与假设 f(α)=f(β)=0 矛盾, 化简推 假设结论 用反证法 所以方程 f(x)=0 在区间[a,b]上至多只有一个实数根. 【小结】(1)当遇到否定性、唯一性、无限性、至多、至少等类型问题时,常 用反证法. (2)用反证法证明的步骤: ①否定结论? A? B? C. ②而 C 不合理 ③因此结论成立. 1.(2012 年· 全国卷)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE=BF=.动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹 时反射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 ( ). A.8 B.6 C.4 D.3 【解析】结合已知中的点 E,F 的位置,进行推理可知在反射的过程中,直线是 平行的,那么利用平行关系,作图(如下),可以得到回到 E 点时,需要碰撞 6 次即可. 【答案】B 2.(2013 年· 湖北卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角 形数 1,3,6,10,…第 n 个三角形数为=n2+n.记第

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