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2013年第二学期高二理科数学期末复习6


2013 年第二学期高二理科数学期末复习(6)
姓名: 一、选择题 1.锐角三角形的面积等于底乘高的一半; 直角三角形的面积等于底乘高的一半; 钝角三角形的面积等于底乘高的一半; 所以,凡是三角形的面积都等于底乘高的一半. 以上推理运用的推理规则是( A.三段论推理 C.关系推理 ) 班级:

B.假言推理 D.完全归纳推理 )

2.数列 1,3,6,10,15,?的递推公式可能是( A.?
? ?a1=1, ?an+1=an+n(n∈N ) ? ?a1=1, ? ? ?an+1=an+(n-1)(n∈N )
* *

B.?

? ?a1=1, ?an=an-1+n(n∈N ,n≥2) ? ?a1=1, ? ? ?an=an-1+(n-1)(n∈N ,n≥2)
* *

C.?

D.?

3.有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数” ,结论显然是错误 的,因为( ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.不是以上错误

A.大前提错误

4.用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)= A.1 B.1+2 C.1+2+3

(n+3)(n+4) * (n∈N )时,验证 n=1,左边应取的项是 2 D.1+2+3+4 )

1 1 1 1 6.已知 f(n)= + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n 1 1 A.f(n)中共有 n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3

1 1 1 B.f(n)中共有 n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 1 1 2 C.f(n)中共有 n -n 项,当 n=2 时,f(2)= + 2 3 1 1 1 2 D.f(n)中共有 n -n+1 项,当 n=2 时,f(2)= + + 2 3 4 5.已知 c>1,a= c+1- c,b= c- c-1,则正确的结论是( A.a>b B.a<b C.a=b )

D.a、b 大小不定
*

6.若凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸(k+1)边形的内角和 f(k+1)(k≥3 且 k∈N )等于( π A.f(k)+ 2 B.f(k)+π 3 C.f(k)+ π 2
1

)

D.f(k)+2π

二、填空题 7.半径为 r 的圆的面积 S(r)=π r ,周长 C(r)=2π r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量, 则(π r )′=2π r.① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为 R 的球, 若将 R 看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①式的式子:______________________________, 你所写的式子可用语言叙述为__________________________. 1 1 1 n * n k+1 k 8.已知 f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),用数学归纳法证明 f(2 )> 时,f(2 )-f(2 )=________. 2 3 n 2 3 2 2 9.观察①sin 10°+cos 40°+sin10°cos40°= ; 4 3 2 2 ② sin 6 ° + cos 36 ° + sin6 ° cos36 ° = . 两 式 的 结 构 特 点 可 提 出 一 个 猜 想 的 等 式 为 4 ________________. 10.设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈P,都有 a+b、a-b、ab、 ∈P(除数 b ≠0),则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域;数集 F={a+b 2|a,b∈Q}也是数域.有下列命题: ①整数集是数域; ②若有理数集 Q?M,则数集 M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确命题的序号是________.(把你认为正确命题的序号都填上) 三、解答题 11.已知数列{an}满足 Sn+an=2n+1, (1) 写出 a1, a2, a3,并推测 an 的表达式; (2) 用数学归纳法证明所得的结论。
2 2

a b

2

参考答案 6 1、[答案] D [解析] 所有三角形按角分,只有锐角三角形、Rt 三角形和钝角三角形三种情形,上述推理穷尽了所 有的可能情形,故为完全归纳推理. 2、[答案] B [解析] 记数列为{an},由已知观察规律:a2 比 a1 多 2,a3 比 a2 多 3,a4 比 a3 多 4,?,可知当 n≥2 时,an 比 an-1 多 n,可得递推关系? 3、[答案] C [解析] 大小前提都正确,其推理形式错误.故应选 C. 4、[答案] D [解析] 当 n=1 时,左=1+2+?+(1+3)=1+2+?+4,故应选 D. 5、[答案] B [解析] a= c+1- c= 1
? ?a1=1, ?an-an-1=n ?

(n≥2,n∈N ).

*

c+1+ c




b= c- c-1=

1

c+ c-1

因为 c+1> c>0, c> c-1>0, 所以 c+1+ c> c+ c-1>0,所以 a<b. 6、[答案] B [解析] 由凸 k 边形到凸(k+1)边形,增加了一个三角形,故 f(k+1)=f(k)+π .

?4 3? 2 7、[答案] ? π R ?′=4π R ;球的体积函数的导数等于球的表面积函数. ?3 ?
8、[答案] 1 1 1 + k +?+ k+1 k 2 +1 2 +2 2
k+1

[解析] f(2

1 1 1 )=1+ + +?+ k+1 2 3 2 1 k 2

f(2k)=1+ + +?+ f(2k+1)-f(2k)=

1 1 2 3

1 1 1 + k +?+ k+1. k 2 +1 2 +2 2

3 2 2 9、[答案] sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α )= 4 [解析] 观察 40°-10°=30°,36°-6°=30°, 由此猜想: 3 2 2 sin α +cos (30°+α )+sinα cos(30°+α )= . 4
3

可以证明此结论是正确的,证明如下: sin α +cos (30°+α )+sinα ·cos(30°+α ) = 1-cos2α 1+cos(60°+2α ) 1 1 + + [sin(30°+2α )-sin30°]=1+ [cos(60°+2α )-cos2α ] 2 2 2 2
2 2

1 1 + sin(30°+2α )- 2 2 1 1 1 =1+ [-2sin(30°+2α )sin30°]+ sin(30°+2α )- 2 2 2 3 1 1 3 = - sin(30°+2α )+ sin(30°+2α )= . 4 2 2 4 10、[答案] ③④ [解析] 考查阅读理解、分析等学习能力. ①整数 a=2,b=4, 不是整数; ②如将有理数集 Q,添上元素 2,得到数集 M,则取 a=3,b= 2,a+b?M; ③由数域 P 的定义知, 若 a∈P, b∈P(P 中至少含有两个元素), 则有 a+b∈P, 从而 a+2b, a+3b, ?,

a b

a+nb∈P,∴P 中必含有无穷多个元素,∴③对.
④设 x 是一个非完全平方正整数(x>1),a,b∈Q,则由数域定义知,F={a+b x|a、b∈Q}必是数域, 这样的数域 F 有无穷多个. 11、解: (1) a1=

3 7 15 , a2= , a3= , 2 4 8 1 , 2k

猜测 an=2-

1 2n

(2) ①由(1)已得当 n=1 时,命题成立; ②假设 n=k 时,命题成立,即 ak=2-

当 n=k+1 时, a1+a2+??+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1, 且 a1+a2+??+ak=2k+1-ak ∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3, ∴2ak+1=2+2-

1 1 , ak+1=2- k ?1 , k 2 2 1 都成立 2n

即当 n=k+1 时,命题成立. 根据①②得 n∈N
+

, an=2-

4


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