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高中数学公式手册--修改版

高中数学重点难点公式手册
一.集合与简易逻辑
1.注意区分集合中元素的形式.如: {x | y = lg x} —函数的定义域; { y | y = lg x} —函数的值域;{( x, y ) | y = lg x} —函数图象上的点集;{ y = lg x} —单元素 (常 用对数函数)集合. 2.集合的性质: ①任何一个集合 A 是它本身的子集,记为 A ? A . ②空集是任何集合的子集,记为 ? ? A . ③空集是任何非空集合的真子集; 注意:条件为 A ? B ,在讨论的时候不要遗忘了 A = ? 的情况,例:
A = {x | ax 2 ? 2 x ? 1 = 0} ,如果 A ∩ R + = ? ,求 a 的取值范围.(答: ( ?∞,0] )

④ CU ( A ∩ B ) = CU A ∪ CU B , CU ( A ∪ B ) = CU A ∩ CU B ;

(A ∩ B) ∩C = A∩ (B ∩ C) ; (A ∪ B) ∪C = A∪ (B ∪ C) . ⑤ A ∩ B = A ? A ∪ B = B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ∩ CU B = ?
? CU A ∪ B = R .

⑥ A ∪ B 元素的个数: card ( A ∪ B) = cardA + cardB ? card ( A ∩ B) . ⑦含 n 个元素的集合的子集个数为 2n ;真子集(非空子集)个数为 2n ? 1 ; 非空真子集个数为 2n ? 2 . 3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 如:已知函数 f ( x) = 4 x 2 ? 2( p ? 2) x ? 2 p 2 ? p + 1 在区间 [ ?1,1] 上至少存在 3 一个实数 c ,使 f (c) > 0 ,求实数 p 的取值范围.(答: (?3, ) ) 2 4. 原 命 题 : p ? q ; 逆 命 题 : q ? p ; 否 命 题 : ?p ? ?q ; 逆 否 命 题 : ?q ? ?p ;互为逆否的两个命题是等价的. 如: “ sin α ≠ sin β ”是“ α ≠ β ”的 条件.(答:充分非必要条件) 5.若 p ? q 且 q ≠> p ,则 p 是 q 的充分非必要条件(或 q 是 p 的必要非充分 条件或 q 的一个充分非必要条件是 p 或 p 的一个必要非充分条件是 q ). 6.常见结论的否定形式 原命题中含有全称量词(或存在量词) ,命题的否定必有存在量词(或全称量 词) 原结论 否定 原结论 否定 是 都是 不是 不都是 1 / 55 至少有一个 至多有一个 一个也没有 至少有两个

大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立

不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立

至少有 n 个 至多有 n 个

至多有 n ? 1 个 至少有 n + 1 个

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

二.函数
1.①映射 f : A → B 是:⑴ “一对一或多对一”的对应;⑵集合 A 中的元素 必有象且 A 中不同元素在 B 中可以有相同的象;集合 B 中的元素不一定有原 象(即象集 ? B ). ②一一映射 f : A → B : ⑴“一对一”的对应;⑵ A 中不同元素的象必不 同, B 中元素都有原象. 2.函数 f : A → B 是特殊的映射.特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集! 据此可知函数图像与 x 轴的垂线至多有一个公共点,但与 y 轴垂线的公共点 可能没有,也可能有任意个. 3.函数的三要素:定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义 域优先的原则. 4.求定义域:使函数解析式有意义(如:分母 ≠ 0 ;偶次根式被开方数非负;对数 真数 > 0 ,底数 > 0 且 ≠ 1 ;零指数幂的底数 ≠ 0 );实际问题有意义;若 f ( x) 定义域为 [a, b] , 复合函数 f [ g ( x)] 定义域由 a ≤ g ( x) ≤ b 解出; 若 f [ g ( x)] 定义 域为 [a, b] ,则 f ( x) 定义域相当于 x ∈ [a, b] 时 g ( x) 的值域. 5.求值域常用方法: ①配方法(二次函数类); ②逆求法(反函数法); ③换元法(特别注意新元的范围). ④三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值 域; ⑤均值不等式法 ⑥单调性法; ⑦数形结合:根据函数的几何意义,利用数形结合的方法来求值域; ⑧判别式法(慎用) ⑨导数法(一般适用于高次多项式函数). 6.求函数解析式的常用方法 ①待定系数法(已知所求函数的类型); ②代换(配凑)法; ③方程的思想----对已知等式进行赋值,从而得到关于 f ( x) 及另外一个函数 的方程组。 2 / 55

7.记住函数的几个重要性质 关于单调性 (1)设 x1 , x2 ∈ [ a, b ] , x1 ≠ x2 那么
( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] > 0 ? ( x1 ? x2 ) [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ] < 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) > 0 ? f ( x)在[ a, b ] 上是增函数; x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ? f ( x)在 [ a, b ] 上是减函数. x1 ? x2 (2)设函数 y = f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ′( x) > 0 ,则 f ( x) 为增函数; 如果 f ′( x) < 0 ,则 f ( x) 为减函数. (3)单调性性质: ①增函数+增函数=增函数;②减函数+减函数=减函数; ③增函数-减函数=增函数;④减函数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数 定义域的交集。 (4)对于复合函数 y = f [ g ( x)] 的单调性,必须考虑 y = f (u ) 与 u = g ( x) 的单调 性,从而得出 y = f [ g ( x)] 单调性 y = f (u ) u = g ( x) y = f [ g ( x)]

增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 关于奇偶性 ⑴函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的,确定奇偶性方法 有定义法、图象法等; ⑵若 f ( x) 是偶函数,那么 f ( x) = f (? x) = f (| x |) ;定义域含零的奇函数必过 原点( f (0) = 0 ); ⑶ 判 断 函 数 奇 偶 性 可 用 定 义 的 等 价 形 式 : f ( x) ± f ( ? x) = 0 或 f (? x) = ±1( f ( x) ≠ 0) ; f ( x) ⑷复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. 注意:若判断较为复杂解析式函数的奇偶性,应先化简再判断;既奇又偶的 函数有无数个 (如 f ( x) = 0 定义域关于原点对称即可). ⑸奇偶函数间的关系: ①奇函数·偶函数=奇函数; ②奇函数·奇函数=偶函数; ③偶奇函数·偶函数=偶函数; ④奇函数±奇函数=奇函数 ⑤偶函数±偶函数=偶函数; ⑥奇函数±偶函数=非奇非偶函数 3 / 55

关于奇偶性与单调性的关系. ① 如果奇函数 y = f ( x) 在区间 (0, +∞) 上是递增的, 那么函数 y = f ( x) 在区间 (?∞,0) 上也是递增的; ② 如果偶函数 y = f ( x) 在区间 (0, +∞) 上是递增的, 那么函数 y = f ( x) 在区间 (?∞, 0) 上是递减的; ⑹函数的性质扩展 ①关于对称性 函数图象的对称轴和对称中心举例 函 数 满 足 的 条 件 对称轴(中心) 满足 f ( a + x ) = f ( a ? x ) 的函数 y = f ( x ) 的图象 x=a [或 f ( x ) = f ( 2a ? x ) , f ( ? x ) = f ( 2a + x ) ] 满足 f ( a + x ) = ? f ( a ? x ) 的函数 y = f ( x ) 的图象 [或 f ( x ) = ? f ( 2a ? x ) , f ( ? x ) = ? f ( 2a + x ) ] 满足 f ( a + x ) = f ( b ? x ) 的函数 y = f ( x ) 的图象 满足 f ( a + x ) = ? f ( b ? x ) 的函数 y = f ( x ) 的图象 满足 f ( x ) = f ( ? x ) 的函数 y = f ( x ) 的图象(偶函数) 满足 f ( x ) = ? f ( ? x ) 的函数 y = f ( x ) 的图象(奇函数) 满足 y = f ( a + x ) 与 y = f ( b ? x ) 的两个函数的图象 满足 y = f ( x ) 与 y = f ( ? x ) 的两个函数的图象 满足 y = f ( x ) 与 y = ? f ( x ) 的两个函数的图象 ②关于对称性与周期性的关系 函数关系( x ∈ R )
f ( x + T ) = f ( x) f ( x + T ) = ? f ( x)

( a,0 )
x= a+b 2

?a+b ? ,0 ? ? ? 2 ? x=0

( 0,0 )
x= b?a 2 x=0

y=0

周期

T
2T 2T 2T 4T

1 f (x +T ) = ± f ( x)
f (x +T ) = f (x ?T ) f (x + T ) = ? f (x ?T )

4 / 55

? ? f (a + x) = f ( a ? x) ? ? ? f (b + x) = f (b ? x ) ? ? f (a + x) = f ( a ? x) ? ? ? f ( x ) 为偶函数 ? ? f (a + x) = ? f (a ? x) ? ? ? f (b + x ) = ? f (b ? x ) ? ? f (a + x) = ? f (a ? x) ? f ( x ) 为奇函数 ? ? ? ? f (a + x) = f (a ? x) ? ? ? f (b + x ) = ? f (b ? x) ? f (a + x) = f ( a ? x) ? ? ? ? f ( x ) 为奇函数 ? f (a + x) = ? f (a ? x) ? ? f ( x ) 为偶函数 ? ? ③函数的图像变换 向左移 a ( a > 0 ) 个单位 向右移 a ( a > 0 ) 个单位 向上移 b ( b > 0 ) 个单位 向下移 b ( b > 0 ) 个单位 按向量 a = ( h, k ) 平移 伸 缩 变 换 翻 折 变 换 每点纵标伸 a ( a > 0 ) 倍 每点横标伸 a ( a > 0 ) 倍 关于 y 轴对称(去左翻右) 将 x 轴下方图象翻上

2 (b ? a )

2a
2 (b ? a )

2a
4 (b ? a )

4a 4a

平 移 变 换

y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x + a ) 的图象 y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x ? a ) 的图象 y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x ) + b 的图象 y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x ) ? b 的图象 y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x ? h ) + k 的图象 y = f ( x ) 的图象→ y = af ( x ) 的图象

?1 ? y = f ( x ) 的图象→ y = f ? x ? 的图象 ?a ?
y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x ) 的图象 y = f ( x ) 的图象→ y = f ( x ) 的图象

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8.指数函数 y = a x ( a > 0, a ≠ 1)

a >1
6

0 < a <1
6 5

图 象
1
-4 -2

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域: R 性 质 (2)值域: (0, +∞) (3)过定点 (0,1) ,即 x = 0 时, y = 1 (4)在 R 上是增函数 (5) x > 0, a x > 1 ;
x < 0,0 < a x < 1

(4)在 R 上是减函数 (5) x > 0,0 < a x < 1 ;
x < 0, a x > 1

9.对数函数 y = log a x ( a > 0, a ≠ 1)

a >1
3

0 < a <1
3 2.5 2 1.5

2.5

2

图 象

1.5

1
-1

1

0.5

1
1

1

0.5

0

- 0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1
- 1.5

-2

-1.5

- 2.5

-2

-2.5

(1)定义域: (0, +∞) 性 质 (2)值域: R (3)过定点 (1,0) ,即 x = 1 时, y = 0 (4) 在 (0, +∞) 上是增函数 (5) x > 1,log a x > 0 ;
0 < x < 1,log a x < 0

(4) 在 (0, +∞) 上是减函数 (5) x > 1,log a x < 0 ;
0 < x < 1,log a x > 0

10.指数与对数运算 ⑴分数指数幂与根式的性质: ① a n = n a m ( a > 0, m, n ∈ N* ,且 n > 1 ).
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m

②a

?

m n

=

1
a
m n

=

1
n

am

( a > 0, m, n ∈ N* ,且 n > 1 ).

③ ( n a )n = a . ④当 n 为奇数时, n a n = a ;当 n 为偶数时, n a n =| a | . ⑵指数性质: ① a0 = 1 ( a ≠ 0 ) ; 1 ?p ②a = p ; a ③ a mn = (a m ) n ; ④ a r ? a s = a r + s ( a > 0, r , s ∈ R ) ⑶对数性质:若 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 ,则 ① log a 1 = 0 ② log a a = 1 ; ③ a log a N = N ④ log a M + log a N = log a ( MN ) ; ⑤ log a M ? log a N = log a ⑥ log a b n = n ? log a b ; ⑦ log am b n =
n ? log a b ; m log m N ⑧ log a N = ( a > 0 ,且 a ≠ 1 , m > 0 ,且 m ≠ 1 , N > 0 ). log m a M ; N

11.幂函数 ⑴几种幂函数的图象:

y
y= x
2

y= x

3

1

y = x2

1

y=

1 x

O

1

x

⑵幂函
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数 y = xα 的的性质及图像变化

规律: ⑴所有的幂函数在 (0, +∞) 都有定义,并且图像都过点 (1,1) ; 幂函数的图像通过原点, 并且在区间 (0, +∞) 上是增函数. 特别地, ⑵ α > 0 时, 当 α > 1 时,幂函数的图像下凸;当 0 < a < 1 时,幂函数的图像上凸; ⑶ α < 0 时,幂函数的图像在区间 (0, +∞) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从 右边趋向原点时,图像在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 +∞ 时, 图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 12.方程的根与函数的零点 ⑴ 方 程 f ( x) = 0 有 实 根 ? 函 数 y = f ( x) 的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? 函 数
y = f ( x ) 有零点.

⑵零点存在性定理: 如果函数 y = f ( x ) 在区间 [ a, b ] 上的图象是连续不断的一条曲线,并且有
f ( a ) ? f (b ) < 0 , 即存在 c ∈ ( a, b ) , 那么函数 y = f ( x ) 在区间 ( a, b ) 内有零点,

使得 f ( c ) = 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x ) = 0 的根. 13.几个常见抽象函数模型所对应的具体函数模型 ⑴正比例函数 f ( x) = kx , f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), f (1) = k . ⑵指数函数 f ( x) = a x , f ( x + y ) = f ( x) f ( y ), f ( x ? y ) = f ( x) ÷ f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . ⑶对数函数 x f ( x) = log a x , f ( xy ) = f ( x) + f ( y ), f ( ) = f ( x ) ÷ f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) y ⑷幂函数 f ( x ) = xα , f ( xy ) = f ( x) f ( y ), f (1) = 1 . ⑸余弦函数 f ( x) = cos x ,正弦函数 g ( x) = sin x , f ( x ? y ) = f ( x) f ( y ) + g ( x) g ( y ) , f (0) = 1 .

三.导数
1. 导数的定义: f ( x) 在点 x0 处的导数记作
f ( x0 + Δx) ? f ( x0 ) . Δx f ( x0 + mΔx) ? f ( x0 ? nΔx) = ( m + n) f ′( x0 ) 拓展: lim Δx → 0 Δx 那么函数 y = f ( x) 在 2.可导与连续的关系: 如果函数 y = f ( x) 在点 x0 处可导, y′
x = x0

= f ′( x0 ) = lim

Δx → 0

点 x0 处连续,但是 y = f ( x) 在点 x0 处连续却不一定可导.
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3.函数 f ( x) 在点 x0 处有导数, 则 f ( x) 的曲线在该点处必有切线, 且导数值是 该切线的斜率.但函数 f ( x) 的曲线在点 x0 处有切线,则 f ( x) 在该点处不一定 可导.如 f ( x) = x 在 x = 0 有切线,但不可导. 4. 函 数 y = f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 的 几 何 意 义 是 指 : 曲 线 y = f ( x) 在 点
P ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率,即曲线 y = f ( x) 在点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率

是 f ′( x0 ) ,切线方程为 y ? f ( x0 ) = f ′( x0 )( x ? x0 ) . 5.常见函数的导数公式: C ′ = 0 ( C 为常数); ( x n )′ = nx n ?1 (n ∈ Q) . (sin x)′ = cos x ; (cos x)′ = ? sin x ; (a x )′ = a x ln a ? (e x )′ = e x ;

(log a x)′ =

1 1 ? (ln x)′ = . x ln a x

u u′v ? uv′ . 6.导数的四则运算法则: (u ± v)′ = u′ ± v′ ; (uv)′ = u′v + uv′ ; ( )′ = v v2 ′ ′ 7.复合函数的导数: y′ x = yu ? u x .

8.导数的应用: ⑴利用导数判断函数的单调性:设函数 y = f ( x) 在某个区间内可导,如果 f ′( x) > 0 ,那么 f ( x) 为增函数;如果 f ′( x) < 0 ,那么 f ( x) 为减函数;如果在 某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,那么 f ( x) 为常数; ⑵求可导函数极值的步骤: ①求导数 f ′( x ) ; ②求方程 f ′( x) = 0 的根; ③列表: 检 验 f ′( x ) 在 方 程 f ′( x) = 0 根 的 左 右 的 符 号 , 如 果 左 正 右 负 , 那 么 函 数 y = f ( x) 在这个根处取得最大值;如果左负右正,那么函数 y = f ( x) 在这个 根处取得最小值; ⑶求可导函数最大值与最小值的步骤:①求 y = f ( x) 在 (a, b) 内的极值;②将 y = f ( x) 在各极值点的极值与 f (a) 、 f (b) 比较,其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值. 9.关于导数的应用要注意以下几个问题: ① f ′( x0 ) = 0 只是可导函数 f ( x ) 在 x = x0 处取极值的必要条件, (因而,
f ′( x0 ) = 0 是一个极值可疑点) ,函数 f ( x ) 若有极值 f ′( x) = 0 还必须在 x = x0

处的左右异号. 例:函数 f ( x) = x 3 ,其导数为 f ′( x) = 3 x 2 ,令 f ′( x) = 0 得

x = 0 , 但 从 f ( x ) = x 3 在 ( ?∞, +∞ ) 上 是 增 函 数 可 知 , 点 x = 0 不 是 函 数
f ( x ) = x 3 的极值点.

9 / 55

② 若 函 数 y = f ( x) 在 x = x0 处 的 切 线 y = g ( x) 在 x = x0 穿 过 曲 线 , 则 F ( x) = f ( x) ? g ( x) 在 x = x0 出左右异号,此时, F ′( x0 ) = 0 时, x = x0 不是极 值点,如 f ( x) = x 3 在 x = 0 处的切线是 y = 0 ,它穿过曲线 f ( x) = x 3 ,点 x = 0 不是函数 f ( x ) = x 3 的极值点. ③注意极值与最值的区别.
? f ( x0 ) = g ( x0 ), ④曲线 y = f ( x) 和 y = g ( x) 在 x = x0 处有公切线,应满足 ? ? f ′( x0 ) = g ′( x0 ).

四.三角函数
终边相同 ? α = θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; 终边共线 ? α = θ + kπ (k ∈ Z ) ; 终边关于 x 轴对称 ? α = ?θ + kπ (k ∈ Z ) ; 终边关于 y 轴对称 ? α = π ? θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; 终边互为反向延长线 ? α = π + θ + 2kπ (k ∈ Z ) ; 终边关于角 β 终边对称 ? α = 2 β ? θ + 2kπ (k ∈ Z ) . 1 1 2.弧长公式: l =| θ | r ;扇形面积公式: S扇形 = lr = | θ | r 2 ; 1 弧度( 1rad ) 2 2 ≈ 57.3° . 3.三角函数符号(“正号”)规律记忆口诀: “一全正,二正弦,三两切,四余 弦”. 注意: tan15° = cot 75° = 2 ? 3 ; tan75° = cot15° = 2 + 3 ; 4.三角函数同角关系中(八块图):注意“正、余弦三兄妹 sin x ± cos x 、 sin x ? cos x ”的关系.如 (sin x ± cos x) 2 = 1 ± 2sin x cos x 等.
1 1 2 1 1

1. α 终边与 θ α 终边与 θ α 终边与 θ α 终边与 θ α 终边与 θ α 终边与 θ

0
?1

2

0
?1

? 2
?1

0 sin α + cos α

0
?1

? 2

sin α ? cos α

5.对于诱导公式,可用“奇变偶不变,符号看象限”概括; (注意:公式中 ) 始终视 ... ...α 为锐角 ⑴诱导公式一:
10 / 55

sin (α + 2kπ ) = sin α , cos (α + 2kπ ) = cos α , tan (α + 2kπ ) = tan α .

⑵诱导公式二: sin (π + α ) = ? sin α ,
cos (π + α ) = ? cos α , tan (π + α ) = tan α .

⑶诱导公式三: sin ( ?α ) = ? sin α ,
cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tan α .

⑷诱导公式四: sin (π ? α ) = sin α ,
cos (π ? α ) = ? cos α , tan (π ? α ) = ? tan α .

⑸诱导公式五:
?π ? sin ? ? α ? = cos α , ?2 ? ?π ? cos ? ? α ? = sin α , ?2 ? ?π ? tan ? ? α ? = cot α 2 ? ? ⑹诱导公式六:

?π ? sin ? + α ? = cos α , ?2 ? π ? ? cos ? + α ? = ? sin α , ?2 ? ?π ? tan ? + α ? = ? cot α 2 ? ?

6.角的变换:已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角与其倍角或半角、 两角与其和差角等变换. 如 : α = (α + β ) ? β ; 2α = (α + β ) + (α ? β ) ; 2α = ( β + α ) ? ( β ? α ) ;
11 / 55

α + β = 2? α +β

α +β
2



= (α ? ) ? ( ? β ) 等; “ 1 ”的变换: 2 2 2 1 = sin 2 x + cos 2 x = tan x ? cot x = 2sin 30° = tan 45° ; 7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ⑴ sin (α + β ) = sin α cos β + cos α sin β

β

α

⑵ sin (α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ⑶ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ⑷ cos (α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β

tanα + tan β . 1? tanα tan β tanα ? tan β ⑹ tan (α ? β ) = . 1+ tanα tan β
⑸ tan (α + β ) = 8.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ⑴ sin 2α = 2sin α cos α ,

sin 2α . 变形: sin α cos α = 1 2 2 2 ⑵ cos 2α = cos α ? sin α = 2cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α . 变形如下:
2 ? ?1 + cos 2α = 2cos α 升幂公式: ? 2 ? ?1 ? cos 2α = 2sin α ?cos 2 α = 1 (1 + cos 2α ) ? 2 降幂公式: ? 2 1 ?sin α = (1 ? cos 2α ) 2 ? ⑶ tan 2α = 2 tan α . 1 ? tan 2 α sin 2α 1 ? cos 2α ⑷ tan α = = 1 + cos 2α sin 2α

9.辅助角公式: a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin( x + ? ) (辅助角 ? 所在象限由点 b (a, b) 的象限决定, tan ? = ). a

12 / 55

10.正弦型曲线 y = A sin(ω x + ? ) 的对称轴 x = (
kπ ? ?

kπ +

π
2

??

ω

(k ∈ Z ) ;对称中心

ω

,0)( k ∈ Z ) ;
kπ ? ?

余 弦 型 曲 线 y = A cos(ω x + ? ) 的 对 称 轴 x =
kπ +
π
2

ω

(k ∈ Z ) ; 对 称 中 心

,0)( k ∈ Z ) ; ω 11.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式,正、余弦定理,处理三角形内 的三角函数问题勿忘三内角和等于 180° , 一般用正、 余弦定理实施边角互化; ⑴角的关系: A + B + C = π ; ① sin A = sin( B + C ) , cos A = ? cos( B + C ) , tan A = ? tan( B + C ) . A B+C A B+C A B+C ② sin = cos , cos = sin , tan = cot . 2 2 2 2 2 2 ③ a > b ? A > B ? sin A > sin B ? cos A < cos B π ④锐角 ΔABC 中, A + B > , sin A > cos B,cos A < sin B , a 2 + b 2 > c 2 ,类 2 比得钝角 ΔABC 结论. ⑤ tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C . ⑵边的关系: a + b > c, b + c > a, c + a > b; ⑶边角关系: a b c ①正弦定理 = = = 2 R ( R 为 ΔABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C 【变式】① a : b : c = sin A : sin B : sin C ; ② a = 2 R sin A, b = 2 R sin B, c = 2 R sin C ; a b c a+b+c ③ 。 = = = sin A sin B sin C sin A + sin B + sin C a b c ④ sin A = ,sin B = ,sin C = 2R 2R 2R ②余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A ; b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B ; c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C . (

??

【变式】① cos A =

b 2 + c 2 ? a 2 (b + c ) 2 ? a 2 = ?1. 2bc 2bc ② 2bc cos A = b 2 + c 2 ? a 2

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12.三角形的形状: ΔABC (设 a < b < c )为锐角三角形 ? a 2 + b 2 > c 2 ; ΔABC (设 a < b < c )为直角三角形 ? a 2 + b 2 = c 2 ; ΔABC (设 a < b < c )为钝角三角形 ? a 2 + b 2 < c 2 ;

五.平面向量
1.向量的数量积与实数的积的相同点: 实数的乘积 向量的数量积 运算的结果是一个实数 运算的结果是一个实数 交换律 a ? b = b ? a a ? b = b?a 分配律 (a + b) ? c = a ? c + b ? c
(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 (a + b)(a ? b) = a 2 ? b 2
(a + b) ? c = a ? c + b ? c
2 2

( a ± b) 2 = a ± 2 a ? b + b (a + b)(a ? b) = a ? b
2 2

2

2

a 2 + b 2 = 0 ? a = 0且b = 0

a + b = 0 ? a = 0且b = 0

| a | ? | b | -a ± b | - | a | + | b | 2.向量的数量积与实数的积的不同点: 实数的乘积 向量的数量积 结合律 (ab)c = a (bc) ( a ? b ) ? c ≠ a ? (b ? c )

| a | ? | b |-| a ± b |-| a | + | b |

a ? b = 0 ? a = 0或b = 0

a ? b = 0 ? a = 0或b = 0或a ⊥ b
| a ?b |-| a |?| b | ( a ? b ) 2 -a 2 ? b 2
2

| ab |=| a || b |
(ab) 2 = a 2b 2

3.设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) 则: ⑴ a ? b = x1 x2 + y1 y2 ;当 a = b 时, a = a ? a = x12 + y12 ⑵ | AB |= ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 ; ⑶ a / / b ? a = λ b ? x1 y2 ? x2 y1 = 0(b ≠ 0) ; ⑷ a ⊥ b ? a ? b = 0 ? x1 x2 + y1 y2 = 0 . 4.平面向量基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线的向量,那么 对该平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . 5.设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b =| a || b | cos θ = x1 x2 + y1 y2 ;其几何意义 是 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积; a 在 b 的方向上的投影
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| a | cos θ =

a ? b x1 x2 + y1 y2 = . 2 2 |b| + y2 x2

6.三点 A 、 B 、 C 共线 ? AB 与 AC 共线 ? AB = λ AC ;与 AB 共线的单位 向量 ±
AB . | AB |

7.平面向量数量积性质:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则
cos θ =
a?b = | a || b | x1 x2 + y1 y2
2 2 + y2 x + y12 x2 2 1

;注意: ? a, b? 为锐角 ? a ? b > 0 , a, b 不同

向; ? a, b? 为直角 ? a ? b = 0 ; ? a, b? 为钝角 ? a ? b < 0 , a, b 不反向. 8. a, b 满足的不等式为 | a | ? | b | - | a ± b | - | a | + | b | . 9.三角形中向量性质: ① | PA |=| PB |=| PC |? P 为 △ABC 的外心; 1 ② OP = (OA + OB + OC ) ? PA + PB + PC = 0 ? P 为 △ABC 的重心; 3 ③ PA ? PB = PB ? PC = PA ? PC ? P 为 △ABC 的垂心; ④ | BC | PA+ | CA | PB + | AB | PC = 0 ? P 为 △ABC 的内心;
AB AC + )(λ ≠ 0) 所在直线过 △ABC 内心. | AB | | AC | 1 1 ⑤ S△ABC = | AB || AC | sin A = | AB |2 | AC |2 ?( AB ? AC ) 2 . 2 2

λ(

⑥ O 为 ΔABC 内一点,则 S△ABC OA + S△ABC OB + S△ABC OC = 0 . 11.
按a = ( h , k ) 平移 → P′( x′, y′) P ( x, y ) ?????

, 有

? x′ = x + h ? ? y′ = y + k

(

PP′ = a

) ;

按a = ( h , k ) 平移 y = f ( x ) ????? → y ? k = f ( x ? h) .

六.不等式
1.掌握课本上的几个不等式性质,注意使用条件,另外需要特别注意: 1 1 ①若 ab > 0 , b > a ,则 > .即不等式两边同号时,不等式两边取倒数, a b 不等号方向要改变. ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负 号未定,要注意分类讨论.
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2.掌握几类不等式(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等 式)的解法, 尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式; 勿忘数轴标根法, 零点分区间法. 3.掌握重要不等式
a 2 + b2 a + b 2 . . ab. (当且仅当 a = b 时 1 1 2 2 + a b 取等号)使用条件: “一正二定三相等 ” ,常用的方法为:拆、凑、平方等; ⑵ a, b, c ∈ R , a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (当且仅当 a = b = c 时,取等号);

则 ⑴均值不等式: 若 a, b > 0 ,

⑶公式注意变形如:

a+b 2 a 2 + b2 a + b 2 ) ; .( ) , ab-( 2 2 2 b b+m ⑷若 a > b > 0, m > 0 ,则 < (真分数的性质); a a+m 4.极值定理:已知 x, y 都是正数,则有

⑴若积 xy 是定值 p ,则当 x = y 时和 x + y 有最小值 2 p ;
1 ⑵若和 x + y 是定值 s ,则当 x = y 时积 xy 有最大值 s 2 . 4 ⑶已知 a, b, x, y ∈ R + ,若 ax + by = 1 则有 1 1 1 1 by ax + = (ax + by )( + ) = a + b + + .a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 。 x y x y x y

⑷已知 a, b, x, y ∈ R + ,若

a b + = 1 则有 x y

a b ay bx x + y = ( x + y )( + ) = a + b + + .a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 x y x y

5.证明不等式常用方法: ⑴比较法:作差比较: A ? B-0 ? A-B .注意:若两个正数作差比较有困难, 可以通过它们的平方差来比较大小; ⑵综合法:由因导果; ⑶分析法:执果索因.基本步骤:要证…需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反; ⑸放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有: ①添加或舍去一些项,如: a 2 + 1 >| a | ; n( n + 1) > n . ②将分子或分母放大(或缩小) ③利用基本不等式,如: n( n + 1) <
n + (n + 1) .④利用常用结论: 2
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k +1 ? k =

1 1 ; < k +1 + k 2 k 1 1 1 1 1 1 1 ? = < < = ? k k + 1 (k + 1) k k 2 (k ? 1)k k ? 1 k

( 程 度 大 ) ; 30

1 1 1 1 1 < = ( ? ) (程度小); k2 k2 ?1 2 k ?1 k +1 6.不等式的拓展 1 2 2 ⑴幂平均不等式: a12 + a2 + ? ? ? + an . (a1 + a2 + ? ? ? + an ) 2 n ( a, b, c ∈ R , a = b = c 时取等) ⑵“算术平均 ≥ 几何平均( a1 , a2 , ? ? ?, an 为正数)”: a1 + a2 + ? ? ? + an n . a1a2 ? ? ? an ( a1 = a2 = ? ? ? = an 时取等) n ⑶含立方的几个重要不等式( a, b, c 为正数) : ① a 3 + b3.a 2b + ab 2

② a 3 + b3 + c 3 ? 3abc = (a + b + c )( a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? ac ? bc) ? a 3 + b3 + c 3.3abc ( a + b + c > 0 等 式 即 可 成 立 , a = b = c 或 a + b + c = 0 时取等) a+b+c a + b + c 3 a 3 + b3 + c3 ? abc-( )③ 3 abc3 3 3 7.关于不等式成立问题有哪些类型? ①恒成立问题 若不等式 f ( x) > A 在区间 D 上恒成立, 则等价于函数 f ( x) 在区间 D 上的最小 值(或下确界)大于 A , 若不等式 f ( x) < B 在区间 D 上恒成立, 则等价于函数 f ( x) 在区间 D 上的最大 值(或上确界)小于 B . ②能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x) > A 成立,即 f ( x) > A 在区间 D 上能 成立, ,则等价于函数 f ( x) 在区间 D 上的最大值(或上确界)大于 A , 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ( x) < B 成立,即 f ( x) < B 在区间 D 上能 成立, ,则等价于函数 f ( x) 在区间 D 上的最小值(或下确界)小于 B . ③恰成立问题 不等式 f ( x) > A 在区间 D 上恰成立,等价于不等式 f ( x) > A 的解集为 D , 不等式 f ( x) < B 在区间 D 上恰成立, 等价于不等式 f ( x) < B 的解集为 D . 8.恒成立问题的处理方法:⑴分离参数法(最值法); ⑵转化为一元二次方程 根的分布问题;
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9.线性规划 ⑴二元一次不等式表示的平面区域: ①当 A > 0 时, 若 Ax + By + C > 0 表示直线 l 的右边, 若 Ax + By + C < 0 则表示 直线 l 的左边. ②当 B > 0 时, 若 Ax + By + C > 0 表示直线 l 的上方, 若 Ax + By + C < 0 则表示 直线 l 的下方. () ,则 ⑵ 设 曲 线 C : ( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) = 0 ( A1 A2 B1B2 ≠ 0 )
( A1 x + B1 y + C1 )( A2 x + B2 y + C2 ) > 0 或 < 0 所表示的平面区域:

两直线 A1 x + B1 y + C1 = 0 和 A2 x + B2 y + C2 = 0 所成的对顶角区域(上下或左右 两部分). ⑶点 P0 ( x0 , y0 ) 与曲线 f ( x, y ) 的位置关系: 若曲线 f ( x, y ) 为封闭曲线(圆、椭圆、曲线 | x + a | + | y + b |= m 等) ,则 f ( x0 , y0 ) > 0 ,称点在曲线外部; ,则 f ( x0 , y0 ) > 0 ,称点亦在曲线 若 f ( x, y ) 为开放曲线(抛物线、双曲线等) “外部”. ⑷已知直线 l : Ax + By + C = 0 ,目标函数 z = Ax + By . ①当 B > 0 时,将直线 l 向上平移,则 z 的值越来越大;直线 l 向下平移,则 z 的值越来越小; ②当 B < 0 时,将直线 l 向上平移,则 z 的值越来越小;直线 l 向下平移,则 z 的值越来越大; ⑸明确线性规划中的几个目标函数(方程)的几何意义: (1) z = ax + by ,若 b > 0 ,直线在 y 轴上的截距越大, z 越大,若 b < 0 , 直线在 y 轴上的截距越大, z 越小. y?n y 表示过两点 ( x, y ),(m, n) 的直线的斜率,特别 表示过原点和 (2) x?m x (m, n) 的直线的斜率. (3) t = ( x ? m) 2 + ( y ? n) 2 表示圆心固定,半径变化的动圆,也可以认为是二 元方程的覆盖问题. (4) t = ( x ? m) 2 + ( y ? n) 2 表示 ( x, y ) 到点 (m, n) 的距离. ; A2 + B 2 【点拨】 :通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆 x 2 + y 2 = 1 上的 点 (cosθ ,sin θ ) 及余弦定理进行转化达到解题目的。 (5) d =
| Ax0 + By0 + C |

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七.数列
? ? S1 (n = 1) . 注意验证 a1 是否包含在后面 an 的 1.由 S n 求 an , an = ? * ? ? S n ? S n ?1 (n.2, n ∈ N ) 5 公式中,若不符合要单独列出.如:数列 {an } 满足 a1 = 4, S n + S n +1 = an +1 ,求 3 1) 4( n = ? ? ). an (答: an = ? n ?1 ? ?3 ? 4 (n.2) 2.等差数列 {an } ? an ? an ?1 = d ( d 为常数) ? 2an = an +1 + an ?1 (n.2, n ∈ N* )

? an = an + b(a = d , b = a1 ? d ) ? Sn = An 2 + Bn( A =

d d , B = a1 ? ) ; 2 2

3.等差数列的性质: ① an = am + ( n ? m ) d , d =
am ? an ; m?n ② m + n = l + k ? am + an = al + ak ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ; 特 别 地 , 当

m + n = 2 p 时 , 有 am + an = 2 a p ;

③若 {an } 、{bn } 是等差数列,则 {kan + tbn } ( k 、t 是非零常数)是等差数列; ④ 等 差 数 列 的 “ 间 隔 相 等 的 连 续 等 长 片 断 和 序 列 ” 即 仍是等差数列; S m , S 2 m ? S m , S3 m ? S 2 m , ⑤等差数列 {an } ,当项数为 2n 时, S偶 ? S奇 = nd , 当 项 数 为 2n ? 1 时 ,
S 2 n ?1 = (2n ? 1) an ,且
S奇 S偶 = n ; n ?1 S奇 S偶 = an ; a n +1

S奇 ? S偶 = a中 = an (n ∈ N *) ,

An a = f (n) ? n = f (2n ? 1) . Bn bn

⑥首项为正(或为负)的递减(或递增)的等差数列前 n 项和的最大(或最小) 问题,转化为解不等式 ? an.0 ? a -0 (或 ? n ).也可用 S n = An 2 + Bn 的二次函数关系来分析. ? a 0 ? n +1 ? an +1.0 ⑦若 an = m, am = n(m ≠ n) ,则 am + n = 0 ; 若 S n = m, S m = n(m ≠ n) ,则 S m + n = ?(m + n) ; 若 S m = S n (m ≠ n) ,则 S m + n = 0 ;
S3 m = 3( S2 m ? Sm ) , S m + n = Sm + S n + mnd .

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4.等比数列 {an } ? 5.等比数列的性质

an +1 2 = q( q ≠ 0) ? an = an ?1an +1 (n.2, n ∈ N* ) ? an = a1q n ?1 . an

① a n = am q n ? m , q = n ? m

an ; am

②若 {an } 、 {bn } 是等比数列,则 {kan } 、 {anbn } 等也是等比数列;
?na 1 (q = 1) ?na 1 (q = 1) ? ? ; ③ S n = ? a 1 (1 ? q n ) a 1 ? a n q = ? a1 n a q + 1 (q ≠ 1) ? q = ≠ ( 1) ? 1? q ? q q ? ? 1 1 1? q ? ? ④ m + n = l + k ? am an = al ak ( 反 之 不 一 定 成 立 ) ;
Sm + n = Sm + q m Sn = Sn + q n Sm .

⑤等比数列中 S m , S2 m ? S m , S3m ? S 2 m , ⑥等比数列 {an } 当项数为 2n 时,
S偶 S奇

(注: 各项均不为 0)仍是等比数列.
= q ;项数为 2n ? 1 时, S 奇 ? a1 S偶 =q.

6.①如果数列 {an } 是等差数列,则数列 { Aan } ( Aan 总有意义)是等比数列; 如果数列 {an } 是等比数列,则数列 {log a | an |}(a > 0, a ≠ 1) 是等差数列; ②若 {an } 既是等差数列又是等比数列,则 {an } 是非零常数数列; ③如果两个等差数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列也是 等差数列,且新数列的公差是原两个等差数列公差的最小公倍数;如果一个 等差数列和一个等比数列有公共项,那么由他们的公共项顺次组成的数列是 等比数列,由特殊到一般的方法探求其通项; ④ 三 个 数 成 等 差 的 设 法 : a ? d , a, a + d ; 四 个 数 成 等 差 的 设 法 : a ? 3d , a ? d , a + d , a + 3d ; a 三 个 数 成 等 比 的 设 法 : , a, aq ; 四 个 数 成 等 比 的 错 误 设 法 : q a a , , aq, aq 3 (为什么?) q3 q 7.数列的通项的求法: 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给 的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法: 若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系, 求数列 {an } 的
, (n = 1) ?S 通项 an 可用公式 an = ? 1 构造两式作差求解。 ? S n ? S n ?1 ,(n ≥ 2) 用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二” ,即分段式;另

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一种是“合二为一” ,即 a1 和 an 合为一个表达, (要先分 n = 1 和 n ≥ 2 两种情 况分别进行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法: 形如(一) an +1 = an + f (n) 型的递推数列(其中 f (n) 是关于 n 的函数)可构造:
? an ? an ?1 = f (n ? 1) ? ? an ?1 ? an ? 2 = f (n ? 2) ? ?... ? ? a2 ? a1 = f (1)

将上述 m2 个式子两边分别相加,可得:
an = f (n ? 1) + f (n ? 2) + ... f (2) + f (1) + a1 ,(n ≥ 2)

①若 f (n) 是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若 f (n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若 f (n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f (n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和. 类型Ⅳ 累乘法:

?a ? 形如 an +1 = an ? f ( n) ? n +1 = f (n) ? 型的递推数列(其中 f (n) 是关于 n 的函数) ? an ?
? an ? a = f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 = f ( n ? 2) ? 可构造: ? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a = f (1) ? 1

将上述 m2 个式子两边分别相乘,可得: 可变形成这种 an = f ( n ? 1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1 ,( n ≥ 2) 有时若不能直接用, 形式,然后用这种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法: ㈠形如 an +1 = pan + q (其中 p, q 均为常数且 p ≠ 0 )型的递推式: (1)若 p = 1 时,数列 {an } 为等差数列; (2)若 q = 0 时,数列 {an } 为等比数列; (3)若 p ≠ 1 且 q ≠ 0 时,数列{ an }为线性递推数列,其通项可通过待定系
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数法构造等比数列来求.方法有如下两种: 法一:设 an +1 + λ = p(an + λ ) ,展开移项整理得 an +1 = pan + ( p ? 1)λ ,与题 设 an +1 = pan + q 比较系数(待定系数法)得

λ=

q q q q q ,( p ≠ 0) ? an +1 + = p ( an + ) ? an + = p (an ?1 + ), p ?1 p ?1 p ?1 p ?1 p ?1

? q q ? 即 ?a n + 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用等比 ? 构成以 a1 + p ? p 1 ?1 ? ? ? q ? 数列的通项公式求出 ? a n + ? 的通项整理可得 an . p ? 1? ?

法二:由 an +1 = pan + q 得 an = pan ?1 + q ( n ≥ 2) 两式相减并整理得

an +1 ? an = p, an ? an ?1

即 {an +1 ? an } 构成以 a2 ? a1 为首项, 以 p 为公比的等比数列.求出 {an +1 ? an } 的 通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求出 an . ㈡形如 an +1 = pan + f (n) ( p ≠ 1) 型的递推式: ⑴ 当 f (n) 为一次函数类型(即等差数列)时: 法一:设 an + An + B = p [ an ?1 + A( n ? 1) + B ] ,通过待定系数法确定 A 、 B的 值,转化成以 a1 + A + B 为首项,以 p 为公比的等比数列 {an + An + B} ,再 利用等比数列的通项公式求出 {an + An + B} 的通项整理可得 an . 法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得: an +1 = pan + f (n) ,
an = pan ?1 + f (n ? 1) 两式相减得: an +1 ? an = p (an ? an ?1 ) + d ,令 bn = an +1 ? an

得: bn = pbn ?1 + d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ(累加法)便可求出
an .

⑵ 当 f (n) 为指数函数类型(即等比数列)时: 法一:设 an + λ f ( n) = p [ an ?1 + λ f ( n ? 1) ] ,通过待定系数法确定 λ 的值,转 化成以 a1 + λ f (1) 为首项,以 p 为公比的等比数列 {an + λ f ( n)} ,再利用等 比数列的通项公式求出 {an + λ f ( n)} 的通项整理可得 an . 法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得: an +1 = pan + f (n) —①,
an = pan ?1 + f (n ? 1) ,两边同时乘以 q 得 an q = pqan ?1 + qf (n ? 1) —②,由①②

两式相减得 an +1 ? an q = p(an ? qan ?1 ) ,即 可求出 an .

an +1 ? qan = p ,在转化为类型Ⅴ㈠便 an ? qan ?1

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法三: 递推公式为 an +1 = pan + q n(其中 p , q 均为常数) 或 an +1 = pan + rq n (其中 p , q , r 均为常数)时,要先在原递推公式两边同时除以 q n +1 ,得: an + 1 p an 1 a p 1 = ? + ,引入辅助数列 {bn } (其中 bn = n ) ,得: bn +1 = bn + 再 q n +1 q q n q qn q q 应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 ⑶ f (n) 为任意数列时,可用通法: 在 an +1 = pan + f (n) 两边同时除以 p n +1 可得到 则 bn +1 = bn +
an +1 an f ( n) a = n + n +1 , 令 n = bn , n +1 p p p pn

f ( n) ,在转化为类型Ⅲ(累加法) ,求出 bn 之后得 an = p nbn . p n +1

类型Ⅵ 对数变换法: 形如 an +1 = pa nq ( p > 0, an > 0) 型的递推式:
q 在原递推式 an +1 = pa n 两边取对数得 lg an +1 = q lg an + lg p ,令 bn = lg an 得:

bn +1 = qbn + lg p ,化归为 an +1 = pan + q 型,求出 bn 之后得 an = 10bn . (注意:

底数不一定要取 10 ,可根据题意选择) 。 类型Ⅶ 倒数变换法: 形如 an ?1 ? an = pan ?1an ( p 为常数且 p ≠ 0 )的递推式:两边同除于 an ?1an , 转化为
1 1 1 = + p 形式, 化归为 an +1 = pan + q 型求出 的表达式, 再求 an ; an an an ?1

还有形如 an +1 =

man 的递推式,也可采用取倒数方法转化成 pan + q

1 m 1 m 1 = + 形式,化归为 an +1 = pan + q 型求出 的表达式,再求 an . an + 1 q an p an

类型Ⅷ

形如 an + 2 = pan +1 + qan 型的递推式:

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an ?1} 的形式求解。方法为:设
an + 2 ? kan +1 = h( an +1 ? kan ) ,比较系数得 h + k = p, ?hk = q ,可解得 h 、 k ,于

是 {an +1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an +1 = pan + q 型。

总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解,对不能 转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、 猜想、 证明方法求出数列通项公式 an . 8.数列求和的方法: ⑴错位相减法 ①若数列 {an } 为等差数列,数列 {bn } 为等比数列,则数列 {an ? bn } 的求和就
要采用此法.
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②将数列 {an ? bn } 的每一项分别乘以 {bn } 的公比,然后在错位相减,进而可 得到数列 {an ? bn } 的前 n 项和.

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法.
⑵裂项相消法 一般地,当数列的通项 an =
c (an + b1 )(an + b 2 )
( a, b1 , b2 , c为常数) 时,往

往可将 an 变成两项的差,采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项: λ λ 设 an = ? ,通分整理后与原式相比较,根据对应项系数相 an + b1 an + b2 等得 λ =
c ,从而可得 b2 ? b1

c c 1 1 = ( ? ). (an + b1 )(an + b 2 ) (b2 ? b1 ) an + b1 an + b 2

常见的拆项公式有: 1 1 1 ① = ? ; n(n + 1) n n + 1 ② ③
1 1 1 1 ); = ( ? (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

1 1 = ( a ? b ); a + b a?b ?1 m = Cm ④ Cm n n +1 ? C n ;

⑤ n ? n! = (n + 1)!? n !. ⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆 开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 一般分两步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 {an } ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,则可用 把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方 法称为倒序相加法。特征: a1 + an = a2 + an ?1 = ... ⑸记住常见数列的前 n 项和: n(n + 1) ; ① 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 ② 1 + 3 + 5 + ... + (2n ? 1) = n 2 ;
24 / 55

1 ③ 12 + 22 + 32 + ... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6

八.立体几何
1.位置关系证明(主要方法) : (1)线线平行: 思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点; II.转化为二直线同与第三条直线平行; III.转化为线面平行; IV.转化为线面垂直; V.转化为面面平行. 支持定理

α / /β ? ? ⊥ α a ? ? ? ①a?β ? ? a / /b ;③ α ∩ γ = a? ? a / /b ; ? ? a / /b ;② ⊥ α b ? α ∩ β = b? β ∩ γ = b? ? ?


a / /α

a / /b ? ? ? c / /b a / /c ?
配图助记

β

γ
a b

a
b

b
α

β α

α

a

(2)线面平行 思考途径

I.转化为直线与平面无公共点; II.转化为线线平行; III.转化为面面平行

支持定理

a / /b ? ? ① b ? α ? ? a / /α ; a ?α? ?



α / /β ? ? ? a / /β a ?α?

; ③

25 / 55

α ⊥ β? ? a ⊥ β ? ? a / /α a ?α ? ?
配图助记

b

β α α
a

β
a

α

a

(3)面面平行: 思考途径 I.转化为判定二平面无公共点; II.转化为线面平行; III.转化为线面垂直.

支持定理

a ? α,b ? α ? ? ①a∩b = o ? ? α / /β a / /β ,b / /β ? ?

; ②

a ⊥α? ? ? α / /β a ⊥ β?





α / /β ? ? ? α / /γ γ / /β ?
配图助记

γ β α
a

β α

β α

b

a

O

(4)线线垂直: 思考途径 I.转化为相交垂直; II.转化为线面垂直; III.转化为线与另一线的射影垂直; IV.转化为线与形成射影的斜线垂直. 支持定理 ①

a ⊥α? 0 ? ? a ⊥ b ;②所成角为 90 ;③ b ?α?
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PO ⊥ α ? ? a ? α ? ? a ⊥ PA (三垂线及逆定理); a ⊥ AO ? ?
配图助记
P

a

α
b

α

O A

a

(5)线面垂直: 思考途径 I 转化为该直线与平面内任一直线垂直; II 转化为该直线与平面内相交二直线垂直; III 转化为该直线与平面的一条垂线平行; IV 转化为该直线垂直于另一个平行平面; V 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 支持定理 ① a ∩b = O

α ⊥β a ?α,b ?α? ? α / /β ? ? ? ; ② ③ ? ?a ⊥ β ; α ∩β = l ? ?a ⊥ β ; ? ?l ⊥α a ⊥α ? a ? α, a ⊥ l ? l ⊥ a,l ⊥ b ? ? ?



a / /b ? ? ?b ⊥α a ⊥α?
配图助记

α
l

α
a
O

b

a l

β

a

β α

a

b

α

(6)面面垂直: 思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角; II.转化为线面垂直.
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支持定理 ①二面角 900;②

a / /β ? ??α ⊥ β a ⊥α?
配图助记

a ? β? ??α ⊥ β a ⊥α ?

;③

β
a

β α
a

α

2.求解空间角、距离和体积 (一)求角: (步骤------Ⅰ.找或作平面角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法: ①平移法:平移直线,构造三角形; ②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直 线间的关系. (理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角.) ⑵直线与平面所成的角: ①直接法(利用线面角定义) ; ②先求斜线上的点到平面距离 h ,与斜线段长度作比,得 sin θ . (理科还可用向量法, 转化为直线的方向向量与平面法 向量的夹角.) ⑶二面角的求法: ①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点) ,作出平面角,再求 解; ②三垂线法: 由一个半面内一点作 (或找) 到另一个半平面的垂线, 用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解; ③射影法:利用面积射影公式: S ' = S cosθ ,其中 θ 为平面角的大 小; 【注】 :对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上 述方法; (理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角.) (二)求距离: (步骤------Ⅰ.找或作垂线段;Ⅱ.求距离) ⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算; ⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;
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⑶点到平面的距离: ①垂面法: 借助面面垂直的性质作垂线段 (确定已知面的垂面是关 键) ,再求解; ②等体积法; ③定点迁移法(理论依据:一条直线和一个平面平行,则这条直线 上的任意一点到直线的距离相等) (理科还可用向量法: d =
| AB ? n | ) |n|

(三)求体积 常规方法:直接法(公式法) 、分割法、补形法、等积法(位置转 换)、比例法(性质转换)等. 3.用向量方法求空间角和距离: ⑴求异面直线所成的角:设 a 、 b 分别为异面直线 a 、 b 的方向向量,则两异 面直线所成的角 α = arccos
| a ?b | . | a |?|b |

⑵求线面角:设 l 是斜线 l 的方向向量, n 是平面 α 的法向量,则斜线 l 与平 面 α 所成的角 α = arcsin
|l?n| . |l |?| n |

⑶求二面角(法一)在 α 内 a ⊥ l ,在 β 内 b ⊥ l ,其方向如图(略),则二面角
a ?b .(法二)设 n1 , n2 是二面角 α ? l ? β 的 | a |?|b | 两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角

α ? l ? β 的平面角 α = arccos

α ? l ? β 的平面角 α = arccos

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |

.

⑷求点面距离:设 n 是平面 α 的法向量,在 α 内取一点 B ,则 A 到 α 的距离
| AB ? n | (即 AB 在 n 方向上投影的绝对值). |n| 4.几何体中数量运算导出结论 数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系 及几何性质. ⑴在长方体 (a, b, c) 中: d =| AB || cos θ |=

①体对角线长为 a 2 + b 2 + c 2 ,外接球直径 2 R = a 2 + b 2 + c 2 ; ②棱长总和为 4(a + b + c) ; ③全(表)面积为 2( ab + bc + ac) ,体积 V = abc ; ④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 α , β , γ 则有
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cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 2 ⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 α , β , γ 则有 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 2 , sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 1 . ⑵在正三棱锥中: ①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) ? 顶点在底上射影为底面外 心; ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) ? 顶点在底上射影为底面垂心; ③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内 ? 顶点 在底上射影为底面内心. ⑶直角四面体的性质:(直角四面体—三条侧棱两两垂直的四面体).在直 角四面体 O ? ABC 中, OA, OB, OC 两两垂直,令 OA = a, OB = b, OC = c , 则 ①底面三角形 ABC 为锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面的射影 H 为三角形 ABC 的垂心; 2 ③ SΔ BOC = S ΔBHC i S ΔABC ;
2 2 2 2 ④ SΔ AOB + S ΔBOC + S ΔCOA = S ΔABC ;

1 1 1 1 2 = 2 + 2 + 2 ; OH a b c 1 2 a + b2 + c2 . ⑥外接球半径 R = 2 ⑷在正四面体中:设棱长为 a ,则正四面体中的一些数量关系:



① 全面积 S = 3a 2 ; ③对棱间的距离 d = ⑤外接球半径 R =

②体积 V =

2 3 a ; 12

1 2 a ;④相邻面所成二面角 cos α = ; 3 2

6 6 a ; ⑥内切球半径 r = a; 4 12 6 a. 3

⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值 h =

A

P
arccos 1 3

6a 3

V = 2 a3 12

C B

arccos 3 3 30 / 55

3a a 3

3a 6

⑸在立方体中:设正方体的棱长为 a ,则 ①体对角线长为 3a ②全面积为 6a 2 ③体积 V = a 3 ④内切球半径为 r1 ,外接球半径为 r2 ,与十二条棱均相切的球半径为 r3 , 则 2r1 = a , 2r2 = 2a , 2r3 = 3a 且 r1 : r2 : r3 = 1: 2 : 3 【点拨】 :立方体承载着诸多几何体的位置关系特征,只要作适当变形, 如切割、组合、扭转等处理,便可产生新几何体.貌似新面孔,但其本原没变. 所以,在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时,如果一般识图角度受阻,不 妨尝试根据几何体的结构特征,构造相应的“正方体”,将问题化归到基本 几何体中,会有意想不到的效果.

九.直线和圆的方程
; 1.直线的倾斜角 α 的范围是 [0, π) 2.直线的倾斜角与斜率的变化关系 k =
y2 ? y1 π = tan α (α ≠ ) 2 x2 ? x1

3.直线方程五种形式: ⑴点斜式:已知直线过点 ( x0 , y0 ) 斜率为 k ,则直线方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) , 它不包括垂直于 x 轴的直线. ⑵斜截式:已知直线在 y 轴上的截距为 b 和斜率 k ,则直线方程为 y = kx + b , 它不包括垂直于 x 轴的直线. ⑶两点式:已知直线经过 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 两 点 , 则 直 线 方 程 为
y ? y1 x ? x1 ,它不包括垂直于坐标轴的直线. = y2 ? y1 x2 ? x1

⑷截距式:已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a, b ,则直线方程为

x y + =1, a b

它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线. ⑸一般式:任何直线均可写成 Ax + By + C = 0 ( A, B 不同时为 0)的形式. 提醒:⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的 直线,还有截距式呢?) ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 ? 直 线的斜率为 ?1 或直线过原点; 直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直 线过原点;直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ±1 或直线过原点. ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 4.直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 与直线 l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 的位置关系:

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⑴平行 ? A1B2 ? A2 B1 = 0 (斜率)且 B1C2 ? B2C1 ≠ 0 (在 y 轴上截距); ⑵相交 ? A1B2 ? A2 B1 ≠ 0 ; ⑶重合 ? A1B2 ? A2 B1 = 0 且 B1C2 ? B2C1 = 0 . ⑷垂直 ? A1 A2 + B1B2 = 0 5.直线系方程 ①过两直线 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l2 : A2 x + B2 y + C2 = 0 .交点的直线系方程 可设为 λ1 ( A1 x + B1 y + C1 ) + λ2 ( A2 x + B2 y + C2 ) = 0(λ12 + λ2 2 ≠ 0) ; ②与直线 l : Ax + By + C = 0 平行的直线系方程可设为 Ax + By + m = 0( m ≠ C ) ; ③与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程可设为 Bx ? Ay + n = 0 . 6.到角和夹角公式(补充) ⑴ l1 到 l2 的角是指直线 l1 绕着交点按逆时针方向转到和直线 l2 重合所转的角

θ , θ ∈ (0, π ) 且 tan θ =

k2 ? k1 (k1k2 ≠ ?1) ; 1 + k1k2

⑵ l1 与 l2 的 夹 角 是 指 不 大 于 直 角 的 角 θ ,θ ∈ (0, ] 且 2 k2 ? k1 | (k1k2 ≠ ?1) . tan θ =| 1 + k1k2 7. 点 P ( x0 , y0 ) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离公式 d =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2

π

; .

两条平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离是 d =

C1 ? C2 A2 + B 2

8. 设三角形 ΔABC 三顶点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) ,则重心

x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 , ); 3 3 9.有关对称的一些结论 原点、 直线 y = x 的对称点分别是 (a, ?b) ,(?a, b) , ⑴点 (a, b) 关于 x 轴、y 轴、 (?a, ?b) , (b, a) . ⑵曲线 f ( x, y ) = 0 关于下列点和直线对称的曲线方程为: ①点 (a, b) : f (2a ? x, 2b ? y ) = 0 ; ② x 轴: f ( x, ? y ) = 0 ; ③ y 轴: f (? x, y ) = 0 ; ④原点: f (? x, ? y ) = 0 ; ⑤直线 y = x : f ( y, x) = 0 ; ⑥直线 y = ? x : f (? y, ? x) = 0 ; G(
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⑦直线 x = a : f (2a ? x, y ) = 0 . 10.圆的方程 ⑴圆的标准方程: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 . ⑵圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D 2 + E 2 ? 4 F > 0) . 特别提醒:只有当 D 2 + E 2 ? 4 F > 0 时,方程 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 才表示 D E 1 2 D + E 2 ? 4F 的 圆 ( 二 元 二 次 方 程 圆 心 为 (? , ? ) , 半 径 为 2 2 2 表 示 圆 , 且 ? A=C ≠0 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
B = 0, D 2 + E 2 ? 4 AF > 0 ).
? x = a + r cos θ ( θ 为参数),其中圆心为 (a, b) ,半径为 r . ⑶圆的参数方程: ? ? y = b + r sin θ 圆的参数方程主要应用是 三角换元: x 2 + y 2 = r 2 → x = r cos θ , y = r sin θ ; x 2 + y 2 = t 2 → x = r cosθ , y = r sin θ (0 ≤ r ≤ t ) . A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ⑷ 以 为 直













( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) = 0 ;

11. 点 和 圆 的 位 置 关 系 的 判 断 通 常 用 几 何 法 ( 计 算 圆 心 到 直 线 距 离 ). 点 P ( x0 , y0 ) 及圆的方程 ( x ? a) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 . ① ( x0 ? a ) 2 + ( y0 ? b) 2 > r 2 ? 点 P 在圆外; ② ( x0 ? a ) 2 + ( y0 ? b) 2 < r 2 ? 点 P 在圆内; ③ ( x0 ? a ) 2 + ( y0 ? b) 2 = r 2 ? 点 P 在圆上. 12.圆上一点的切线方程: ①点 P ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 + y 2 = r 2 上,则过点 P 的切线方程为: x0 x + y0 y = r 2 ; ②点 P ( x0 , y0 ) 在圆 x 2 + y 2 = r 2 外,则过点 P 作圆的两条切线,切点分别为

A, B ,则直线 AB 的方程为: x0 x + y0 y = r 2 ;
③ 过 圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2
( x0 ? a )( x ? a ) + ( y0 ? b)( y ? b) = r .
2

上 一 点 P ( x0 , y0 ) 切 线 方 程 为

13.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条 就是与 x 轴垂直的直线. 14.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定 理,构造直角三角形解决弦长问题. ② d = r ? 相切 ③ d < r ? 相交 ① d > r ? 相离 15.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系. 设两圆的圆心距为 d ,两圆的半径分别为 r , R : d > R + r ? 两圆相离;

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d = R + r ? 两圆相外切; | R ? r |< d < R + r ? 两圆相交; d =| R ? r |? 两圆 相内切; d <| R ? r |? 两圆内含; d = 0 ? 两圆同心.
16.过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 , C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 交 点的圆(相交弦)系方程为 ( x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 ) + λ ( x 2 + y 2 + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 . λ = ?1 时为两圆相 交弦所在直线方程. 17.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半 径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理 等等).

十.圆锥曲线方程
1.椭圆的性质 ⑴椭圆焦半径公式:设 P ( x0 , y0 ) 为椭圆 为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,则 ① PF1 = a + ex0 , PF2 = a ? ex0 (“左加右减”); ②两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ΔF1 PF2 = c | yP |= b 2 tan ⑵椭圆的的内外部:
2 x2 y 2 x 2 y0 + 2 = 1(a > b > 0) 的内部 ? 0 + 2 < 1. 2 2 a b a b 2 x2 y 2 x0 y2 ②点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的外部 ? 2 + 0 >1 . a b2 a b ⑶椭圆的切线方程: x2 y 2 ① 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 上 一 点 P ( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是 a b x0 x y0 y + 2 =1. a2 b x2 y2 ② 过 椭 圆 2 + 2 = 1 外 一 点 P ( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是 a b x0 x y0 y + 2 =1. a2 b x2 y 2 ③ 椭 圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是 a b A 2 a 2 + B 2b 2 = C 2 .

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 上任一点,焦点 a2 b2

∠F1PF 2

①点 P ( x0 , y0 ) 在椭圆

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2.双曲线的性质 ⑴双曲线焦半径: 设 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,则: ①当 P 点在右支上时, | PF1 |= a + ex0 ,| PF2 |= ?a + ex0 ; ②当 P 点在左支上时, | PF1 |= ? a ? ex0 , | PF2 |= a ? ex0 ;( e 为离心率). ③两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ΔF1 PF2 = b 2 cot
x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上任一点, 焦点 a 2 b2

∠F1PF 。 2

⑵双曲线的切线方程: x2 y 2 ①双曲线 2 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 =1. a2 b x2 y2 ②过双曲线 2 ? 2 = 1 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 =1. a2 b x2 y 2 ③双曲线 2 ? 2 = 1 与直线 Ax + By + C = 0 相切的条件是 a b A2 a 2 ? B 2 b 2 = C 2 . 3.抛物线的性质 ⑴抛物线焦半径公式: ① 设 P ( x0 , y0 ) 为 抛 物 线 y 2 = 2 px( p > 0) 上 任 意 一 点 , F 为 焦 点 , 则

| PF |= x0 +

p ; 2

② y 2 = ?2 px( p > 0) 上任意一点, F 为焦点,则 | PF |= ? x0 + 则有如下结论: ① | AB |= x1 + x2 + p = ② x1 x2 =
2p ; sin 2 α

p . 2 ⑵抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点弦 (过焦点的弦) 为 AB ,A( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,

p2 ; y1 y2 = ? p 2 ; 4 1 1 2 + = ; ③ | AF | | BF | p ④以 AB 为直径的圆与准线相切;

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⑤以 AF (或 BF )为直径的圆与 ⑥S
AOB

y 轴相切;

P 2sin α ⑶抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 内结直角三角形 OAB 的性质:
=

2

① x1 x2 = 4 p 2 , y1 y2 = ?4 p 2 ; ② l AB 恒过定点 (2 p,0) ; ③ A, B 中点轨迹方程: y 2 = p ( x ? 2 p ) ; ④ OM ⊥ AB ,则 M 轨迹方程为: ( x ? p) 2 + y 2 = p 2 ; ⑤ (S
AOB min

)

= 4 p2 .

⑷抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) ,对称轴上一定点 A(a,0) ,则: ①当 0 < a ≤ P 时,顶点到点 A 距离最小,最小值为 a ; ②当 a > P 时,抛物线上有关于 x 轴对称的两点到点 A 距离最小,最小值 为 2ap ? p 2 . ⑸抛物线的切线方程 ①抛物线 y 2 = 2 px 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y = p ( x + x0 ) . ② 过 抛 物 线 y 2 = 2 px 外 一 点 P ( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是
y0 y = p( x + x0 ) .

③ 抛 物 线 y 2 = 2 px( p > 0) 与 直 线 Ax + By + C = 0 相 切 的 条 件 是
pB 2 = 2 AC . x2 y 2 x2 y2 b ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的渐近线方程为 2 ? 2 = 0 即 y = ± x 。共 2 a b a b a x2 y2 b 渐近线 y = ± x 的双曲线标准方程为 2 ? 2 = λ ( λ 为参数, λ ≠ 0 ). a a b
2b 2 b2 ,焦准距为 p = ,抛物线 a c

4.双曲线

5.椭圆、双曲线的通径(过焦点的最短弦)为 的通径为 2 p ,焦准距为 p ;双曲线

x2 y 2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的焦点到渐近线的 a 2 b2

距离为 b ; 6.两个常见的曲线系方程: ⑴过曲线 f1 ( x, y ) = 0 , f 2 ( x, y ) = 0 的交点的曲线 系方程是 f1 ( x, y ) + λ f 2 ( x, y ) = 0 ( λ 为参数).⑵共焦点的圆锥曲线系方程
x2 y2 + 2 = 1 ,其中 k < max{a 2 , b 2 } .当 k < min{a 2 , b 2 } 时,表示椭圆;当 a ?k b ?k min{a 2 , b 2 } < k < max{a 2 , b 2 } 时,表示双曲线.
2

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7. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式

AB = ( x1 ? x2 ) 2 + ( y1 ? y2 ) 2 或

AB = 1 + k 2 | x1 ? x2 |
= (1 + k 2 )[( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] = 1 + 1 | y1 ? y2 | (弦端点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , k2

? y = kx + b 由方程 ? 消去 y 得到 ax 2 + bx + c = 0 , Δ > 0 , k 为斜率). 这里体 F ( x , y ) = 0 ? 现了解析几何中“设而不求”的思想; 8.圆锥曲线中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求 x2 y2 b2 x 解.在椭圆 2 + 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k = ? 2 0 ; a y0 a b

在双曲线

x2 y 2 b2 x ? 2 = 1 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线斜率 k = 2 0 ;在 2 a y0 a b p . y0

抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 中,以 P ( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k =

9.求轨迹方程的常用方法: ⑴直接法:直接通过建立 x 、 y 之间的关系,构成 F ( x, y ) = 0 ,是求轨迹 的最基本的方法. ⑵待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系 数,代回所列的方程即可. ⑶代入法(相关点法或转移法). ⑷定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线 的定义直接写出方程. ⑸交轨法(参数法):当动点 P( x, y ) 坐标之间的关系不易直接找到,也没有 相关动点可用时,可考虑将 x 、 y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程, 再消去参数得普通方程.

十一.排列组合与二项式定理
1.基本计数原理 ⑴ 分类加法计数原理:(分类相加) 做一件事情,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第 二类办法中有 m2 种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么 完成这件事情共有 N = m1 + m2 +

+ mn 种不同的方法.

⑵ 分步乘法计数原理:(分步相乘) 做一件事情,完成它需要 n 个步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法,做第

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二个步骤有 m2 种不同的方法……做第 n 个步骤有种不同的方法.那么完成这 件事情共有 N = m1 × m2 ×

× mn 种不同的方法.
(n ? m + 1) = n! (m ≤ n, m, n ∈ N *) ,当 m!(n ? m)!

m = n(n ? 1) 2.排列数公式: An

n = n! .规定 0! = 1 . m = n 时为全排列 An m 3. 组 合 数 公 式 : Cn =
0 n Cn = Cn =1.

m An n ? ( n ? 1) ? ? ? (n ? m + 1) ( m ≤ n) , 规 定 = m ! m ? (m ? 1) ? (m ? 2) ? ? ? 3 ? 2 ? 1

m n?m r r ?1 r 4.组合数性质: Cn ; Cn = Cn + Cn = Cn +1 .

5.排列组合主要解题方法: ①优先法:特殊元素优先或特殊位置优先; ②捆绑法(相邻问题); ③插空法(不相邻问题) ; ④间接扣除法;(对有限制条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所 有情况去掉) ⑤多排问题单排法; ⑥相同元素分组可采用隔板法(适用与指标分配,每部分至少有一个) ; ⑦先选后排,先分再排(注意等分分组问题); ⑧涂色问题(先分步考虑至某一步时再分类). ⑨分组问题:要注意区分是平均分组还是非平均分组,平均分成 n 组问题别 忘除以 n ! . n n +1 n = An ; 6. 常 用 性 质 : n ? n ! = ( n + 1)!? n ! ; 即 nAn +1 ? An
r r +1 Crr + Crr+1 + ? ? ? + Cn = Cn +1 (1 ≤ r ≤ n) ;

7.二项式定理: ⑴掌握二项展开式的通项: Tr +1 = Cnr a n ? r b r ( 0 ≤ r ≤ n, r ∈ N , n ∈ N + ) ; ⑵项的系数与二项式系数:项的系数与二项式系数是不同的两个概念,但当 二项式的两个项的系数都为 1 时,系数就是二项式系数.如 r 在 (ax + b) n 的展开式中,第 r + 1 项的二项式系数为 Cn ,第 r + 1 项的系数 1 n r n?r r 为 Cn a b ;而 ( x + ) 的展开式中的系数等于二项式系数;二项式系数一定 x 为正,而项的系数不一定为正. 7.二项式系数具有下列性质: ⑴与首末两端等距离的二项式系数相等; n ⑵若 n 为偶数,中间一项(第 + 1 项)的二项式系数最大;若 n 为奇数,中间 2

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n ?1 n +1 +1 和 + 1 项)的二项式系数最大. 2 2 0 1 2 0 1 3 ⑶ Cn + Cn + Cn + ? ? ? + Cnn = 2n ; Cn + Cn2 + ? ? ? = Cn + Cn + ? ? ? = 2n ?1 .

两项(第

n 2 n 8.赋值法:若 (ax + b) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x , 则设 f ( x) = (ax + b)n . 有: ① a0 = f (0);

② a0 + a1 + a2 + ... + an = f (1);
n ③ a0 ? a1 + a2 ? a3 + ... + (?1) an = f (?1); f (1) + f ( ?1) ; ④ a0 + a2 + a4 + a6 + ... = 2 f (1) ? f ( ?1) . ⑤ a1 + a3 + a5 + a7 + ... = 2

十二.概率与统计
1.事件的概率 ⑴等可能事件的概率公式: P ( A) =
n ; m ⑵互斥事件有一个发生的概率公式为: P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) ; ⑶相互独立事件同时发生的概率公式为 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ;

⑷独立重复试验概率公式 Pn (k ) = Cnk p k (1 ? p) n ? k ; ⑸如果事件 A 与 B 互斥,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥 事件; ⑹如果事件 A 、 B 相互独立,那么事件 A 、 B 至少有一个不发生的概率是 1 ? P ( AB ) = 1 ? P ( A) P ( B ) ; ⑺如果事件 A 与 B 相互独立,那么事件 A 与 B 至少有一个发生的概率是
1 ? P( A ? B) = 1 ? P( A) P( B) . ⑻条件概率:对任意事件 A 和事件 B,在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生 的概率,叫做条件概率.记作 P ( B A) ,读作 A 发生的条件下 B 发生的概率. P ( B A) = P( AB) , P ( A) > 0. P( A)

2. 离散型随机变量的分布列 ⑴概率分布(分布列) :设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1 , x2 ,…, xi ,…, xn , X 的每一个值 xi ( i = 1, 2,…, n )的概率 P( X = xi ) = pi ,则称 表

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X p

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

… … ② ∑ pi = 1.
i =1 n

为随机变量 X 的概率分布,简称 X 的分布列. 性质:① pi ≥ 0, i = 1,2,...n;

⑵两点分布:如果随机变量 X 的分布列为则称 X 服从两点分布,并称 p = P ( X = 1) 为成功概率.

X

0
1? p

P ⑶二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重 k k n?k . 其中 复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是 P ( X = k ) = Cn p (1 ? p) k = 0,1,2,..., n, q = 1 ? p ,于是得到随机变量 X 的概率分布如下: n X k 0 1 … …
P

1 p

Cn p q

0

0

n

Cn p q

1

1

n ?1



Cn p q

k

k

n?k



Cn p q

n

n

0

我们称这样的随机变量 X 服从二项分布,记作 X ~B ( n, p ) ,并称 p 为成功概 率. 判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有三点: ①对立性:即一次试验中事件发生与否二者必居其一; ②重复性:即试验是独立重复地进行了 n 次; ③等概率性:在每次试验中事件发生的概率均相等. 注:⑴二项分布的模型是有放回抽样; ⑵二项分布中的参数是 p, k , n. ⑷几何分布:一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中 恰有 X 件次品数,则事件 { X = k } 发生的概率为
P( X = k ) =
k n?k CM CN ?M ( k = 0,1, 2, n CN

, m) ,于是得到随机变量 X 的概率分

布如下:

X P

0 0 n?0 CM CN ?M n CN

1 1 n ?1 CM CN ?M n CN

… …

m
m n?m CM CN ? M n CN

其中 m = min {M , n} , n ≤ N , M ≤ N , n, M , N ∈ N * .我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量 X 服从超几何分布.

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注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样; ⑵超几何分布中的参数是 M , N , n. 其意义分别是总体中的个体总数、N 中 一类的总数、样本容量. ⑸正态总体的概率密度函数: f ( x) = 分别表示总体的平均数与标准差;
? 1 e 2πσ ( x ? μ )2 2σ 2

, x ∈ R ,式中 μ ,σ 是参数,

正态曲线的性质: ⑴曲线在 x = μ 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降 低; ⑵曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定, σ 越大,曲线越矮胖;反 过来曲线越高瘦. ⑶曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x = μ 对称; ⑷ N ( μ ,σ
2

) 与 N ( 0,1) 的关系:
2

①若 ξ ~ N ( μ ,σ ②若 ξ ~ N ( μ ,σ

ξ ?μ ?x ?μ? ), 则η = ~ N ( 0,1) , 有 P (ξ < x ) = F ( x ) = Φ ? σ σ ?
0 0 0

?

?

?x ?μ? ? x1 ? μ ? < x < x2 ) = Φ ? 2 ? ? Φ? ? ? σ ? ? σ ? 4.记住以下重要公式和结论: ⑴期望值 Eξ = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn + .
2

) ,则 P ( x

1

⑵方差 Dξ = ( x1 ? Eξ ) 2 p1 + ( x2 ? Eξ ) 2 p2 + ? ? ? + ( xn ? Eξ ) 2 pn + ? ? ? . ⑶标准差 δξ = Dξ ; E (aξ + b) = aEξ + b; D(aξ + b) = a 2 Dξ . ⑷若 ξ ~ B ( n, p ) (二项分布),则 Eξ = np , Dξ = npq ( q = 1 ? p ) . ⑸若 ξ ~ g ( k , p ) (几何分布),则 Eξ =

1 q , Dξ = 2 . p p

5.掌握抽样的三种方法: ⑴简单随机抽样(包括抽签法和随机数表法); ⑵(理)系统抽样,也叫等距抽样; ⑶分层抽样(按比例抽样),常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形.

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它们的共同点都是等概率抽样.对于简单随机抽样的概念中, “每次抽取时的 采用随机抽样法, 各个个体被抽到的概率相等” .如从含有 N 个个体的总体中, 1 抽取 n 个个体,则每个个体第一次被抽到的概率为 ,第二次被抽到的概率 N 1 n n 为 ,…,故每个个体被抽到的概率为 ,即每个个体入样的概率为 . N N N 6.总体分布的估计:用样本估计总体,是研究统计问题的一个基本思想方法, 一般地,样本容量越大,这种估计就越精确,要求能画出频率分布表和频率 分布直方图; 1 1 n ⑴学会用样本平均数 x = ( x1 + x2 + ? ? ? + xn ) = ∑ xi 去估计总体平均数; n n i =1 ⑵会用样本方差 1 1 n 1 n S 2 = [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + ? ? ? + ( xn ? x ) 2 ] = ∑ ( xi ? x ) 2 = ∑ ( xi2 ? nx 2 ) 去 估 n i =1 n i =1 n 计总体方差 σ 2 及总体标准差; 1 ⑶学会用修正的 样本方差 S *2 = [( x1 ? x ) 2 + ( x2 ? x ) 2 + ? ? ? + ( xn ? x ) 2 ] 去 n ?1 估计总体方差 σ 2 ,会用 S * 去估计 σ .

十三.复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模的概念和复数的几何表示. 2.熟练掌握与灵活运用以下结论: ⑴ a + bi = c + di ? a = c 且 c = d ( a, b, c, d ∈ R ) ; ⑵复数是实数的条件: ① z = a + bi ∈ R ? b = 0( a, b ∈ R ) ; ② z ∈ R ? z = z ;③ z ∈ R ? z 2 ≥ 0 . 3.复数是纯虚数的条件: ① z = a + bi 是纯虚数 ? a = 0 且 b ≠ 0( a, b ∈ R ) ; ② z 是纯虚数 ? z + z = 0( z ≠ 0) ; ③ z 是纯虚数 ? z 2 < 0 . 4.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行:设 z1 = a + bi ,

z2 = c + di(a, b, c, d ∈ R) ,则 z1 + z2 = (a + c) + (b + d )i , z1 z2 = (a + bi)(c + di) = (ac ? bd ) + (ad + bc)i

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z1 ac + bd bc ? ad = + i( z2 ≠ 0) z2 c 2 + d 2 c 2 + d 2

5.几个重要的结论: ⑴ | z1 + z2 |2 + | z1 ? z2 |2 = 2(| z1 |2 + | z2 |2 ) ;⑵ z ? z =| z |2 =| z |2 ;⑶若 z 为虚数, 则 | z |2 ≠ z 2 . 6. 运 算 律 仍 然 成 立 : ⑴ z m ? z n = z m + n ;
( z1 ? z2 ) m = z1m z2 m ( m, n ∈ N ) .

⑵ ( z m )n = z mn ; ⑶

7.注意以下结论: ⑴ (1 ± i)2 = ±2i ;⑵
1+ i 1? i =i, = ?i ;⑶ i n + i n +1 + i n + 2 + i n + 3 = 0(n ∈ N) ; 1? i 1+ i 1 ⑸ | z |= 1 ? z z = 1 ? z = . z

⑹ 十四.推理与证明
1.推理 ⑴归纳推理:把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称 归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: n 通过观察个别情况发现某些相同的性质; m1 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ;

m2 证明(视题目要求,可有可无).
⑵类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) .简言之, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: n 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; n 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; n 检验猜想。 ⑶合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、 比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情 理”的推理. ⑷演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理 称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理;

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⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 用集合的观点来理解:若集合 M 中的所有元素都具有性质 P , S 是 M 的 一个子集,那么 S 中所有元素也都具有性质 P .

M ·a S

从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明; 演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确. 2.直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等)为止. 框图表示: 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证 明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 3.数学归纳法:数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 ( n0 ∈ N * ) 时命题成立; (2) (归纳递推)假设 n = k (k ≥ n 0 , k ∈ N * ) 时命题成立,推证当 n = k + 1 时 命题也成立.

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只要完成了这两个步骤, 就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成 立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题,其中包括恒等式、 不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.

十五.坐标系与参数方程
⑴平面直角坐标系中的伸缩变换:

? x ' = λ ? x(λ > 0) 设点 P ( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? ? y ' = μ ? y ( μ > 0) 的作用下,点 P ( x, y ) 对应到点 P′( x′, y′) ,称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸 缩变换,简称伸缩变换。 ⑵极坐标系的概念: 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴; 再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针 方向),这样就建立了一个极坐标系。 点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离 | OM | 叫做 点 M 的极径,记为 ρ ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ∠xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ 。有序数对 ( ρ ,θ ) 叫做点 M 的极坐标,记为 M ( ρ ,θ ) . ①极坐标 ( ρ ,θ ) 与 ( ρ ,θ + 2kπ )( k ∈ Z) 表示同一个点。极点 O 的坐标为 (0,θ )(θ ∈ R) . ②若 ρ < 0 ,则 ? ρ > 0 ,规定点 ( ? ρ ,θ ) 与点 ( ρ ,θ ) 关于极点对称,即 ( ? ρ ,θ ) 与 ( ρ , π + θ ) 表示同一点。 ③如果规定 ρ > 0,0 ≤ θ < 2π ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极 坐标 ( ρ ,θ ) 表示(即一一对应的关系) ;同时,极坐标 ( ρ ,θ ) 表示的点也是唯一 确定的。 ④极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系 下,一对有序实数 ρ 、 θ 对应惟一点 P( ρ , θ ),但平面内任一个点 P 的极 坐标不惟一. 一个点可以有无数个坐标, 这些坐标又有规律可循的, P( ρ ,θ ) (极点除外)的全部坐标为( ρ , θ + 2kπ )或( ? ρ , θ + (2k + 1)π ) , ( k ∈ Z). 极点的极径为 0, 而极角任意取. 若对 ρ 、 θ 的取值范围加以限制. 则 除极点外, 平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ρ >0, 0≤ θ < 2π 或 ρ <0,?π < θ ≤ π 等. ⑤极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的, 而极坐标系中,点与坐标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的.
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⑶极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐标是 ( ρ ,θ ) ,可以 得出: x = ρ cosθ , y = ρ sinθ

ρ 2 = x 2 + y 2 , tanθ = ( x ≠ 0).
⑷简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ρ = a ; ②以 ( a,0) ( a > 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ρ = 2acosθ ; π ③以 (a, ) ( a > 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是 ρ = 2 asinθ ; 2 ⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 θ = α ( ρ ≥ 0) 和 θ = π + α ( ρ ≥ 0) . ②过点 A( a , 0)( a > 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ρ cosθ = a . 化 为直角坐标方程为 x = a . π ③过点 A(a, ) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是 ρ sin θ = a . 化为直角 2 坐标方程为 y = a . ⑸参数方程的概念 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x, y 都是某个变数 t 的

y x

? x = f (t ), 函数 ? 并且对于 t 的每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) ? y = g (t ), 都在这条曲线上, 那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数 x, y 的 变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 ⑹常见曲线的参数方程 ? x = a + r cosθ ①圆 ( x ? a)2 + ( y ? b)2 = r 2 的参数方程为 ? ( θ 为参数) ; ? y = b + r sin θ ? x = a cos ? x2 y 2 ②椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ;椭圆 a b ? y = b sin ? ? x = b cos ? y2 x2 + = 1( a > b > 0) 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ; a 2 b2 ? y = a sin ?
③双曲线

x2 y 2 ? = 1( a > b > 0) 的参数方程 a 2 b2
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? x = a sec? ( ? 为参数) ;双曲 ? ? y = b tan ?

线

y 2 x2 ? = 1(a > b > 0) 的参数方程 a 2 b2

? x = b cot ? ( ? 为参数) ; ? ? y = a csc ?

2 ? 1 ? x = 2 pt ④抛物线 y 2 = 2 px 参数方程 ? ) ;参数 t 的几何 (t 为参数, t = tan α ? ? y = 2 pt 意义:抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数. ? x = x0 + t cos α π ⑤过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 α (α ≠ ) 的直线的参数方程 ? (t 2 ? y = y0 + t sin α 为参数). ⑻参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与 普通方程的互化中,必须使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数,并且要保证等价性。若不可避免 地破坏了同解变形,则一定要通过 x = f (t ), y = g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x, y 的取值范围.

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认识组合教育
?学校简介
组合教育是一家专注高中数学课外辅导和教辅出版的教育机构。近些年, 组合教育整合各种优秀教学资源,全力打造教学教辅精品,已经形成了以教 研出版为核心竞争力,以学生潜能开发及课外辅导、家庭教育研究、学习习 惯和心理辅导平行发展的专业机构,公司以服务社会,发展教育为宗旨,竭 诚为广大学生服务。

?教学模式
上课形式有小班和一对一两种。授课均以总复习、专题和考点为核心展 开,适应学生在不同备考阶段的复习。老师按照中高考对考察知识和能力的 要求进行授课,帮助学生完成知识从点到线再到面的网络构建,侧重点拨思 路,传授方法,最终提升学生综合能力。

?独家推出
① ② ③ ① ② ③ 数学独创“题型+模型”的教学模式,开数学辅导之先河,效果比传统教 学模式显著提高。 秘授独家资料,比正式出版的辅导书至少提前半年,让学生在第一时间 学习最好的解题方法。 为尖子班和拔高班量身打造不同版本讲义。 《洞穿高考》丛书涵盖高考所有考试热点。 组合教育金牌教师临考前预测趋势。 聘请多位特高级教师倾力授课,打造全方位专家团队。 2012 年末,组合教育和清华大学出版社正式成为战略合作伙伴关系,这 也标志着组合教育的图书质量和教研能力得到了中国顶级学术出版社的认 可,组合教育真正成为了集研究和教学为一体的综合性教育机构,今后必将 在质量和品牌上有更大的提升。

?必胜秘籍

?战略伙伴

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组合教育名师简介(部分)
张永辉
组合教育创始人,全国知名高考数学研究与教学专 家、 数学奥林匹克优秀教练。 张老师对历年高考数学命题有

深入研究,能够带领广大考生准确把握高考数学的命题脉络 和思想,开创了以“题型+模型”的全新型教法;通过对题型 的深度把握, 培养学生的思维, 让学生准确快速地找到解题 途径,获得驾驭数学的能力。张永辉老师团队研发出版了“洞穿高考”系列 多部数学辅导作品,深受广大高考学生推崇。
★学生评价:陈雅桐(实验中学) :张老师讲课幽默风趣,对高考数学研究

透彻,讲课几乎都是信手拈来!他讲课太有吸引力啦!我上他的课受益菲浅。
郭旭(十三中分校):从没想过会有如此大的进步,尤其是在高考前的

那段时间,我的心理压力比较大,是张老师的鼓励和关怀给了我信心,我要 感谢张老师对我的巨大帮助。 陈飞
组合教育特级教师,原学而思高中部顶级数学教师、

学而思高中数学教研高级顾问。 陈老师一直致力于钻研高中

数学的教研教法,? 2009、2010、2011 连续三年带高三毕业 班,30 多位学生考入清华北大。陈老师课上声音洪亮,思 路清晰,表达清楚,语言幽默诙谐,整个课堂的气氛活泼有 生气,深受学生和家长的欢迎和好评。?
:喜欢陈老师的上课风格,处事态度,说话的风趣。 ★学生评价:张昊(人大附中)

在相处的三年中,陈老师对我们每一个人都很好,都很公平,在课间的时候,会和 我们聊天或讲一些课外的事情,不管是在课上有问题还是在课下,陈老师都会帮助 我们解决。常会告诉我们他自己的学习方法。经常鼓励我们。很友善,很有耐心是 一个很好的老师! 徐宣庆
组合教育特级教师,自主招生考试教练、高三把关

教师。徐老师课堂节奏紧凑、轻松励志,深受学生喜爱。许

老师也是最受学生喜爱的实力派教师,所教重点班平均成绩

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135 分以上,并有多名学生提前锁定清华北大等名校。徐老师长期从事中数学 教学和高考备考指导工作.具有丰富的教学经验, 擅长培优辅导, 从学习方法、 解题技巧、 解题思路和高考命题规律等方面进行全面剖析高中数学, 有针对性 地辅导,效果显著。
★学生评价:谭亚雄(首师大附中) 徐老师上课很有激情、很认真。课上把

数学题变得如此简单有趣,让我学会了许多原先不会的方法,大开眼界。课下 还经常给我们讲故事,讲人生,让我们学会了许多成长的道理。徐老师是我们 的良师益友。? 徐贵冬
组合教育高级教师,教研组长,数学竞赛领衔教

练。 徐老师毕业于南开大学数学研究所重点班 (中国数学专

业最强的三所院之一),数学功底强大,课堂纵横开阖,引 人入胜。 徐老师对高考有深入的研究, 善于培养学生扎实的 基本功, 拓展数学思维, 许多学生在进行过系统训练以后均 可以直接参加自主招生的数学考试。
★学生评价:陈海吉(八一中学)徐老师的数学课给我打开了一扇天窗,让我

看到了更广阔的数学天地。以前我的数学思维比较简单,做题没有什么思路, 徐老师教会了我许多有效的数学方法和思想, 现在我的数学成绩比原先有了很 大的进步,感谢许老师的数学课,推荐其他学生也来听。 余臣
组合教育高级教师, 原学而思高中部顶级数学教师,

教研高级顾问。余老师从教十年,教学中擅长引导学生思

考,及时发现学生学习中的困难和弱点并且迅速解决、对 落后生的提高有独特的方法。许多基础不好的学生在余老 师的教导下很快都有极大进步。
★学生评价:刘诗艺(中关村中学) :余老师的课孩子

听一次就很喜欢,做家长的为孩子找到喜欢的老师而高兴,孩子有个好老师 是件很幸福的事情,学习就会充满着乐趣。谢谢陈老师,给孩子学习数学带 来更多的乐趣!

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高中阶段关键词
?高一年级课程关键词“多而难” ?重视高一、成就高中

高一是整个高中阶段的开始,抓住高一,让自己一

开始就能占据领先位置,对学生高中阶段的发展至关重要,教育专家多年的 高考统计结果显示:对高一的重视程度和三年后高考成绩成正比关系,要想 在高考中取得好成绩,就一定要从高一抓起。
?提前动手,从容应对

刚刚经历了中考,很多学生沉浸在紧张过后的轻松

中,但是学习如逆水行舟,不进则退,稍一放松,可能就会给自己的高一学 习带来麻烦,而且这种麻烦会随着学习的深入越来越成为进步的阻碍。所以, 抓住高一伊始,才会让自己的高中学习一帆风顺。
?发现漏洞、及时弥补 高中学习比较紧张,发现漏洞千万不要以为忙就任其

发展。因为知识之间是有内在联系的,漏洞不补,会影响其他知识的学习和 综合应用,并且积累的太多,会觉得无从下手,只好放弃,给高考造成很大 的损失。
?成绩波动、正确看待 高一学习成绩的波动是非常正常的事情,一般来说,

只要适应高中老师的讲课方式、掌握了高中知识的学习方法,成绩都会逐步 上升并且趋于稳定。因为成绩的暂时下降而失去信心或对某一学科失去兴趣, 都是得不偿失的。
?高二年级课程关键词“分水岭”

在高二年级会把整个高中的所有课程都学完,高二是高中阶段知识容量 最大的一年,占高考考核知识的 50%以上!而且难度很大,是高考拉开档次 的关键。因此高二的学习质量直接影响到高三的复习质量,也就直接影响到 高考成绩。在此期间,如果发现高一的部分知识没有完全掌握,千万不能等 到高三复习的时候再去解决,要尽快在高二阶段补上。
?均衡发展

高考录取依据的是总成绩,只要没有严重偏科,即使各科都成

绩平平,在高考中也能取得一个相对不错的成绩。如果在高三冲刺中能有部 分学科有所突破,就会考的非常理想,所以均衡发展是取得高考好成绩的基 础。
?提前备考

高考考察的是高中三年的知识,而不只是高三的知识。不要认

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为高考就是高三的事情,其实每个阶段都是在备考,都是在为高考打基础。 高二尤其如此。
?强化基础 高二的很多知识是在以后的学习中必须要用到的基础知识,所以

如果发现高二的部分内容没有安全掌握,千万不能等到高三的时候再去解决, 要尽快补上,使得自己的高二高三的学习更加顺畅。
?高三年级课程关键词“冲刺”

步入高三,就像战场上吹响了冲锋号,从这一刻起,需要全力冲刺—— 心无旁骛、全力以赴、坚持不懈、就算遇到再大的困难,在内心里永远都要 有一个声音:决不,决不,决不放弃!不管自己的水平如何,不管自己的能 力如何,都要有勇气面对自己生命中第一次重要的抉择和考验;无论结果如 何,都要给自己一个满意的交代。高三,你准备好冲刺了吗?
?高考目标明确

明确参加高考的目标,同时分析自己的程度,明确差距。

对目标学校的情况初步了解(包括历年招生情况对比,有无加分限制) 。还要 明确自己将来喜欢什么专业,希望在大学获得什么样的学习经历,多和老师 以及学哥、学姐聊聊。如果对自己没有合理的定位,是无法形成科学规划的。
?选择辅导方式

对于高三的学生来说,选择课外辅导是必不可少的,老师

的引导和点拨可以让你进步的更快,根据自身情况选择合适的学习模式,才 能用最短时间,取得最好的效果。
?重视一轮复习

第一轮复习是最全面、最系统的,也是大多数学生最认真,

最有效的复习。第一轮复习需要学习许多重要的数学题型和解题方法。复习 时不投机、不偏颇、不耍小聪明,才能有大收获。
?调整复习心态

高三课程多、作业多、考试多、压力大,许多学生很容易

出现急躁、迷茫、懈怠的情绪。要知道高考绝不仅仅是对知识的考查,而是 对考生心理素质、应变能力、学科知识乃至于身体素质的综合考察。所以一 定要养成不骄不躁、稳健有序的学习习惯,及时调整可能出现的各种不良情 绪。否则,就会在复习的道路上先败给自己。

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高考进步之星
谭亚雄,首师大附中,模拟考试 103,高考成绩 131 分。零基础入学,爱转牛

角尖,不注重解题步骤,老师在思维方式和学习习惯上进行疏导要求,高考 进步 28 分。
徐中哲,翠微中学,模拟考试 87,高考成绩 115 分。之前不爱学习,上课爱

看小说,学校对学生要求也不高。徐老师对学生进行严格要求,给学生以信 心,学生后阶段非常踏实肯学,最终进步 28 分。
陈锦阳,首师大二附中,模拟考试 80 分,高考成绩 108 分。学生动手能力差,

学习缺乏主动,做题少。教师通过增加限时训练和巩固练习,学生解题能力 得到极大改善,家长给与极高评价,高考进步 28 分。
郭 旭,十三中分校,模拟成绩 99 分,高考成绩 125 分。学生不注重基础,

做题不规范,教师经常与学生交流,给与针对性辅导,改掉不少小毛病,高 考进步 26 分。
汪思华,66 中学,模拟成绩 68 分,高考成绩 94 分。学生基础不扎实,心态

浮躁,成绩波动很大,教师通过与家长交流,找到有效的辅导方案,在高考 前进行针对性一对一辅导,高考进步 26 分。
杨翘夷,101 中学,模拟考试 93 分,高考成绩 119 分。学生已开始极度缺乏

自信,基础薄弱,对学校数学老师很有意见,计算马虎。老师针对学生加强 励志教育,是学生重拾对数学和高考的信心,对审题和计算加以严格训练, 高考进步 26 分。
张赫,北师大附中,期末考试 94 分,高考成绩 124 分。学生入学时基础不扎

实,成绩经常在 70-80 分左右。来到组合教育后,老师根据学生特点以及基 础薄弱的环节,给与鼓励与针对性辅导,大量练习选择填空,学生态度非常 踏实,高考进步 30 分。
郝博韬,清华附中,一模考试 99 分,高考成绩 126 分。学生在一模考试前来

到组合教育接受一对一辅导。老师通过分析学生试卷及丢分特点,找到了学 习的症结所在,之后狠抓基础,成绩一路攀升,高考进步 27 分。

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《洞穿高考》数学系列丛书

一. 《高考数学题型全归纳(理、文科版) 》

张永辉? ? 主编

一本具有变革意义的教辅图书,与以往所有数学教辅相比,实现了质的 飞跃。本书精选 200 个重要题型,归纳总结各种变式及解题方法,凝结作者 团队辛勤的劳动和深刻的数学思想。研读本书可快速提高数学解题水平和技 巧的书,让你脱胎换骨,轻松搞定数学。

适用阶段:高考数学第一轮复习 二.《洞穿高考数学解答题核心考点(理、文科版)》 张永辉? ? 主编?

本书通过深度提炼高考解答题的核心考点,直接构建出高考试题的原型, 让考生“秒杀”高考解答题,大幅度提高复习效率,从容解答高考试题。

适用阶段:高考数学第二轮复习 三.《30 分钟拿下高考数学选择题、填空题(理、文科版)》张永辉? ? 主编?
系统总结出做选择题和填空题的 5 种方法技巧,精编 20 套限时训练模拟 题,让考生 30 分钟拿下高考选择题填空题。

适用阶段:高考数学第二轮复习 四.《高考数学临门一脚(含密押三套卷) :理、文科版》 张永辉? ? 主编?
张永辉老师及组合教育数学团队最新力作,市场上唯一的以高考前查漏 补缺为主题的复习宝典。本书以帮助学生调整状态,回归数学知识本身为目 的,帮助学生实现高考前全方位、无死角的复习。密押三套卷涵盖所有重要 考点,点明考试方向。

适用阶段:高考数学考前冲刺阶段

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组合教育常设班型
组合教育专注高中数学教学, 致力打造中国数学高考辅导第一品牌。 常年 开设高中数学小班和一对一课程。 小班按照北京各区的不同进度分班, 并且配 备专门针对北京教学研发的讲义,保证了精良的教学质量。
安贞校区小班课程安排 开课教师:张永辉、徐宣庆、徐贵冬、余臣

◎上课时间:周五晚上,周六全天,周日全天 ◎班型及课程:高中各年级和进度均有对应课程。 ◎上课地点:北三环安贞桥西仟村商务楼 A902 ◎联系电话:84109400 (组合教育本部) 中关村教学点小班课程安排 ◎上课时间及课程:高二 (选修 2-3 进度,排列组合,概率) 周六下午(13:30——16:30) 周六晚上(18:00——21:00) (选修 2-3 进度,排列组合,概率) 周日上午(09:00——12:00) (选修 2-3 进度,排列组合,概率) 周日下午(14:00——17:00) (选修 2-2 进度,导数,复数,推理证明) 周日晚上(18:00——21:00) (文科进度,一轮复习) 高二下学期是高中阶段承上启下的一个学期, 在这个学期中我们既要完成 高中数学的全部新的知识学习, 还要准备一年之后的自主招生考试, 所以本课 程以同步知识为主,兼顾讲解自主招生的知识(增加北约、华约、卓越 2010-2013 真题讲解) ,本课程尤其适合于高三打算参加自主招生的同学。 ◎上课地点:誉德商务楼 310 室(离海淀黄庄地铁走路五分钟) ◎联系电话:15010062116(陈飞老师) 大兴教学点小班课程安排 开课教师:陈飞、张永辉 13011286838 (张老师)

开课教师:陈飞

◎上课时间及课程:大兴区进度高一班, ◎上课地点:大兴区火神庙 D 座 633 室(陈飞) ; 黄村西大街教学点(大兴三中旁边) (张永辉) ◎联系电话:15010062116 84109400 13011286838

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