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2018-2019学年高中新创新一轮复习理数通用版:第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布列 Word版含解析

第十一章? 计数原理、概率、随机变量及其分布列 ? ? 第一节 本节主要包括 2 个知识点: 排列、组合 1.两个计数原理; 2.排列、组合问题. 突破点(一) 两个计数原理 [基本知识] 1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤, 做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法. 3.两个计数原理的比较 名称 相同点 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 运用加法运算 分类完成一件事,并且每类办法中 运用乘法运算 分步完成一件事,并且只有各个步骤都完 成才算完成这件事情,要注意“步”与 “步”之间的连续性.分步计数原理可利 用“串联”电路来理解 不同点 的每种方法都能独立完成这件事 情,要注意“类”与“类”之间的 独立性和并列性.分类计数原理可 利用“并联”电路来理解 [基本能力] 1.判断题 (1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.( ) ) ) (2)在分步乘法计数原理中,只有各步骤都完成后,这件事情才算完成.( (3)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( 答案:(1)× 2.填空题 (2)√ (3)√ (1)从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中, 任取两个不同数字相加, 其和为偶数的不同取法的种数 是________. 解析:从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取两数和为偶数可分为两类,①取出的两数都是偶 数,共有 3 种方法;②取出的两数都是奇数,共有 3 种方法,故由分类加法计数原理得共有 N=3+3=6(种). 答案:6 (2)从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+ bi,其中虚数有 ________个. 解析:∵a+bi 为虚数,∴b≠0,即 b 有 6 种取法,a 有 6 种取法, 由分步乘法计数原理知可以组成 6×6=36 个虚数. 答案:36 (3)书架的第 1 层放有 4 本不同的语文书,第 2 层放有 5 本不同的数学书,第 3 层放有 6 本不同的体育书.从第 1,2,3 层分别各取 1 本书,则不同的取法种数为________. 解析:由分步乘法计数原理,从 1,2,3 层分别各取 1 本书不同的取法种数为 4×5×6= 120. 答案:120 [全析考法] 分类加法计数原理 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点: (1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成 n 类. (2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事. (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数. [例 1] (1)三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过 4 次传 递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有( A.4 种 C.10 种 B.6 种 D.16 种 ) (2)(2018· 杭州二中月考)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数 解的有序数对(a,b)的个数为( A.14 C.12 ) B.13 D.10 [解析] (1)分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件的有 3 种方法(如图), 同理,甲先踢给丙时,满足条件有 3 种方法. 由分类加法计数原理,共有 3+3= 6 种传递方式. b (2)①当 a=0 时,有 x=- ,b=-1,0,1,2,有 4 种可能; 2 ②当 a≠0 时,则 Δ=4-4ab≥0,ab≤1, (ⅰ)当 a=-1 时,b=-1,0,1,2,有 4 种可能; (ⅱ)当 a=1 时,b=-1,0,1,有 3 种可能; (ⅲ)当 a=2 时,b=-1,0,有 2 种可能. ∴有序数对(a,b)的个数为 4+4+3+2=13. [答案] (1)B [易错提醒] (1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要统一,不能遗漏. (2)分类时,注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类,不能重复. (2)B 分步乘法计数原理 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点: (1)完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可. (2)完成每一步有若干种方法. (3)把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数. [例 2] (1)从-2,0,1,8 这四个数中选三个数作为函数 f(x)=ax2+bx+c 的系数, 则可组 成________个不同的二次函数,其中偶函数有________个(用数字作答). (2)如图,某电子器件由 3 个电阻串联而成,形成回路,其中有 6 个焊接点 A,B,C, D,E,F,如果焊接点脱落,整个电路就会不通.现发现电路不通,那么焊接点脱落的可 能情况共有________种. [解析] (1)一个二次函数对应着 a,b,c(a≠0)的一组取值,a 的取法有 3 种,b 的取法 有 3 种,c 的取法有 2 种,由分步乘法计数原理知共有 3×3×2=18 个二次函数.若二次函 数为偶函数,则 b=0,同理可知共有 3×2=6 个偶函数. (2)因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况,而只要有一个焊接点脱落,则电路就 不通,故共有 26-1=63 种可能情况. [答案] (1)18 6 [易错提醒] (1)利用分步乘法计数原理解决问题时要注意按事件发生的过程来合理分步,即分步是 有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都 完成了,才算完成这件事. (2)谨记分步必须满足的两个条件:一是各步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保 连续,逐步完成. 两个计数原理的综合问题 在解决实际问题的过程中,并不一定

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