tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 高三数学 >>

高中数学竞赛训练题--填空题(每题含详解)


高中数学竞赛训练题—填空题 高中数学竞赛训练题 填空题
x 1. 若不等式 1-loga (10 ? a ) <0 有解,则实数 a 的范围是 . 有解,

.

2 . 设 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 满 足 f ( x + 2) = ? f ( x ) ; 又 当 0 ≤ x ≤ 1 时 ,

f ( x) =

1 1 x ,则方程 f ( x) = ? 的解集为 2 2



3. 设 a1 , a 2 , ? , a 2002 均 为 正 实 数 , 且

1 1 1 1 + + ?+ = , 则 2 + a1 2 + a 2 2 + a 2002 2

a1 ? a 2 ? ? ? a 2002 的最小值为 的最小值为____________________.
4. x ∈ R, 函数 f ( x ) = 2 sin

x x + 3cos 的最小正周期为 2 3

.

5. 设 P 是圆 x 2 + y 2 = 36 上一动点,A 点坐标为 ( 20, 0 ) 。当 P 在圆上运动时,线段 PA 的中 上一动点, 在圆上运动时, 点 M 的轨迹方程为 6.. 设 z 是虚数, w = z + 是虚数, .

1 ,且 ?1 < w < 2 ,则 z 的实部取值范围为 z

.

7. 设 f ( x ) = k ( x 2 ? x + 1) ? x 4 (1 ? x ) 4 。如果对任何 x ∈ [0,1] ,都有 f ( x ) ≥ 0 ,则 k 的最 小值为 8. cos( 1 ? . 9.设 f ( x) = . .

x 2 + 5 x + 7 + x 2 + 5 x + 6) =



1 1 1 1 + + ,则 f ( x) + f ( ) = _________ 。 lg x lg x lg x 1+ 2 1+ 4 1+ 8 x

10 . 设 集 合 S = {1 2 ?, } , A = {a1, 2, 3 } 是 S 的 子 集 , 且 ( a1,a2,a3 ) 满 足 : ,, 15 a a

1 ≤ a1 < a2 < a3 ≤ 15 , a3 ? a2 ≤ 6 ,那么满足条件的集合 A 的个数为 那么满足条件的集合

. .

11.已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 = a n + 1 + 2 1 + a n ( n = 1,2, ?) ,则 a n =___ . 12. 已知坐标 平面上三点 A ( 0,3 ) , B ? 3, 0 , C .

(

) (

3, 0 , P 是坐标平面上 的 点 , 且


)

PA = PB + PC ,则 P 点的轨迹方程为

tan(α + 10 ) 的值是______________. 13.已知 5 sin 2α = sin 2 ,则 已知 的值是 tan(α ? 10 )
0

14.乒乓球比赛采用 7 局 4 胜制,若甲、乙两人实力相当,获胜的概率各占一半,则打完 5 胜制,若甲、乙两人实力相当,获胜的概率各占一半, 乒乓球比赛采用 局后仍不能结束比赛的概率等于_____________. 局后仍不能结束比赛的概率等于 15.不等式 不等式

4x 2 (1 ? 1 + 2 x ) 2

的解集为_______________________. < 2 x + 9 的解集为

1

16. 从 m 个男生,n 个女生( 10 ≥ m > n ≥ 4 )中任选 2 个人当组长,假设事件 A 表示选 . 男生, 个女生( 个人当组长,假设事件 个人性别相同, 个人性别不同. 的概率相等, 出的 2 个人性别相同, 事件 B 表示选出的 2 个人性别不同. 如果 A 的概率和 B 的概率相等, 则(m,n)的可能值为 , ) .

是平面上不共线三点, 17.O, A, B 是平面上不共线三点,向量 OA = a ,OB = b ,设 P 为线段 AB 垂直平分线上 . 任 意 一 点 , 向 量 OP = p . 若 | a |= 5 , | b |= 3 , 则 p ? ( a ? b ) 的 值 是 ____ . 。

18. 若 3 x + 8 y + 44 z = 1 ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为

19. . 已知定点 A 3, ) B 0) (-2 1 , ( , 和 (-2, ) 又 M 是椭圆 的最大值与最小值之和等于 。

x2 y2 + = 1 上的一动点, MA + MB 上的一动点, 则 25 16

20.过正方体 ABCD—A1B1C1D1 的对角线 BD1 的截面面积为 S,Smax 和 Smin 分别为 S 的最 . — , 大值和最小值, 大值和最小值,则

S max 的值为 S min



21.已知 α , β ∈ R ,直线 .

x y x y + = 1与 + =1 sin α + sin β sin α + cos β cos α + sin β cos α + cos β
。 。

的交点在直线 y = ? x 上,则 sin α + cos α + sin β + cos β = 22. 整数 x > y > z ,且 2 + 2 + 2 = 4.625 ,则整数组 ( x, y , z ) 为
x y z

23. 关于 x 的 三次 函数 y = f ( x) 的两个 极值点为 P 、 Q, 其中 P 为 原点 , Q 在曲线 ,

y = 1 + 2 x ? x 2 上,则曲线 y = f ( x) 的切线斜率的最大值的最小值为 的切线斜率的最大值的最小值为__________.
24. 满 足 方 程

x ? 2009 ? 2 x ? 2010 + x ? 2009 + 2 x ? 2010 = 2 所 有 实 数 解

为 。 25.把半径为 1 的 4 个小球装入一个大球内,则此大球的半径的最小值为 个小球装入一个大球内,则此大球的半径的最小值为__________ . 把半径为 26.在边长为 1 的正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三 . 、 、 两点, 角形时, 角形时,顶点 A 正好落在边 BC 上,则 AD 长度的最小值为 。
?x 27. 已知函数 f(x)= ?2 ? 1( x ≤ 0) ,若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根,则实数 a . 有且只有两个不相等的实数根, 若方程 ?

? f ( x ? 1)( x? 0)

的取值范围是 28.6 个不同大小的数如图形式随机排列, . 个不同大小的数如图形式随机排列, 第二、 设第一行的数为 M 1 ,第二、三行中的最大 数分别为 M 2 , M 3 ,则满足 M 1 < M 2 < M 3 的 概率是 .

▲ -------------第 1 行 第 ▲ ▲ ---------第 2 行 第 ▲ ▲ ▲--------第 3 行 第

2

29.方程 16 sin π x cos π x = 16 x + .
x y

1 的解的集合为 x
z

。 。

30.整数 x > y > z ,且 2 + 2 + 2 = 4.625 ,则 x, y , z 分别为 . 31. 设在 xOy 平面上, 0 < y ≤ x 2 , 0 ≤ x ≤ 1 所围成图形的面积为 . 平面上,

1 ,则集合 3

M = {( x, y ) y ? x ≤ 1}, N = {( x, y ) y ≥ x 2 + 1} 的交集 M ∩ N 所表示的图形面积为
32. 设N = 2
4016

,则不超过


n =1

N

1 的最大整数为 n



33. 在三棱锥 S ? ABC 中,SA = 4 ,SB ≥ 7 ,SC ≥ 9 ,AB = 5 ,BC ≤ 6 ,AC ≤ 8 . . 在三棱锥 则 体积的最大值为 三棱锥 S ? ABC 体积的最大值为 . 的末二位数字是 。

2007 2007? 34. 34. 2007

2007 的 重

35.设 a , b, c, d 为非负实数,满足 . 为非负实数,

a+b b+c c+d d +a + + + = c+d a+d a+b b+c

a b c d = = = ,则 b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c


36. 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角形,则 分成两个等腰三角形, , △ABC 的最小内角的取值范围为

3

高中数学竞赛训练题答案---填空题部分 高中数学竞赛训练题答案 填空题部分 x a,要使不等式有解 要使不等式有解, 101、当 a>1 时,不等式化为 10-a >a,要使不等式有解,必须 10-a>0 10、 ∴1<a<10 x x 1010当 0<a<1 时,不等式化为 0<10-a <a ? 10-a<a <10 不等式恒有解 的范围是( 10) 故满足条件 a 的范围是(0,1)∪(1,10) 2 解:依题意, f ( x + 4) = ? f ( x + 2) = f ( x) ,即 f ( x ) 是以4为周期的周期函数。 依题意, 是以4为周期的周期函数。

可求得

? 1 ?1 ≤ x ≤ 1 ? 2x ? f ( x) = ? ?? 1 x + 1 1 ≤ x ≤ 3 ? 2 ?
f (4k ? 1) = ? 1 , k ∈Z ) ( 。 2

由图象有
2002

3. 4002

提示: . 提示:令

1 ? xi 2 = x i ,则 a i = 2 ? ,且 x1 + x 2 + ? + xi = 1 , 2 + ai xi

其中 i = 1,2, ? ,2002.

∴ a1 ? a 2 ? ? ? a 2002 = 2 2002 ?

1 ? ( x 2 + x3 + ? + x 2002 ) x1 x 2 ? x 2002

? ( x1 + x3 + ? + x 2002 ) ? ? ? ( x1 + x 2 + ? + x 2001 )
≥ 2 2002 ? 1 ? 2001 ? 2001 x 2 x3 ? x 2002 ? 2001 ? 2001 x1 x3 ? x 2002 ? ? ? 2001 ? 2001 x1 x 2 ? x 2001 x1 x 2 ? x 2002

= 2 2002 × 20012002 = 4002 2002
4. x ∈ R, 函数 f ( x ) = 2 sin

x x + 3cos 的最小正周期为 12π . 2 3 x x 4.解答 2 sin 的周期为4π , 3cos 的周期为6π ,所以函数f ( x)的周期为12π 。 解答 2 3 x + 20 y 5.设 M 的坐标为 ( x, y ),设P点坐标为( x0 , y0 ), 则有 x= 0 ,y= 0 设 2 2

? x0 = 2 x ? 20, y0 = 2 y ,因为 P 点在圆上,所以 (2 x ? 20) 2 + (2 y ) 2 = 36 所以 P 点轨迹 点在圆上,
2 2 为 ( x ? 10) + y = 9 。

6.. 设 z 是虚数, w = z + 是虚数,

1 1 ,且 ?1 < w < 2 ,则 z 的实部取值范围为 ? < a < 1 . z 2

4

6.设 z = a + bi ? ?1 < a + bi + 设

a ? bi b < 2?b? 2 = 0 ? b = 0或a 2 + b 2 = 1 2 2 2 a +b a +b 1 2 2 无解; 当 b = 0 ,无解;当 a + b = 1 ? ? < a < 1 。 2
7. k ≥

x 4 (1 ? x) 2 1 3 3 1 3 因为x 2 ? x + 1 = ( x ? ) 2 + ≥ , x = 时x 2 ? x + 1最小值为 2 2 4 4 2 4 x ? x +1 1 1 1 8 1 , x = 时,x 4 (1 ? x) 4 取最大值( ),所以 k 的最小值为 。 2 2 2 192

2

分子 x(1 ? x) ≤ 8. cos( 1 ? .

x 2 + 5 x + 7 + x 2 + 5 x + 6) =
2 2

8.根据题意要求, x + 5 x + 6 ≥ 0 , 0 ≤ x + 5 x + 7 ≤ 1 。于是有 x + 5 x + 7 = 1 。因此 根据题意要求, 根据题意要求

cos( 1 ? x 2 + 5 x + 7 + x 2 + 5 x + 6) = cos 0 = 1 。因此答案为 1。 。
9.设 f ( x) = .

1 1 1 1 + + ,则 f ( x) + f ( ) = _________ 。 lg x lg x lg x 1+ 2 1+ 4 1+ 8 x 1 x 1 1 1 1 1 1 + + + + + = 3。 lg x lg x lg x ? lg x ? lg x 1+ 2 1+ 4 1+ 8 1+ 2 1+ 4 1 + 8? lg x
2

解: f ( x ) + f ( ) =

种选择方法, 种选择方法, 10、371.解: 当 2 ≤ a2 ≤ 9 时, ( a1 , a2 ) 有 C9 种选择方法, a3 有 6 种选择方法,所以 、 . 种选择方法; 取定, ( a1 , a2 , a3 ) 共有 6 × C92 = 216 种选择方法;当10 ≤ a2 ≤ 14 时,一旦 a2 取定, a1 有 a2 ? 1 种 选 择 方 法 , a3 有 15 ? a2 种 选 择 方 法 , 所 以 选 择

( a1 , a2 , a3 )

的 方 法 有

a2 =10

∑ (a

14

2

? 1)(15 ? a2 ) = 9 × 5 + 10 × 4 + 11× 3 + 12 × 2 + 13 ×1 = 155 种.

综上,满足条件的子集共有 综上,满足条件的子集共有 371 个. 11.已知数列 {a n } 满足 a1 = 0, a n +1 = a n + 1 + 2 1 + a n ( n = 1,2, ?) ,则 a n =___ .
2 2

.

11. a n = n ? 1 . 解 : 由 已 知 得 a n +1 + 1 = a n + 1 + 2 1 + a n + 1 = ( a n + 1 + 1) , 且

a n + 1 > 0 .所以 a n +1 + 1 = a n + 1 + 1 ,即{ a n + 1 }是首项、公差均为 1 的等差数列, 是首项、 的等差数列, 是首项 公差均
所以 a n + 1 =n,即有 a n = n ? 1 . ,
2 2 12. x + ( y ? 1) = 4 2

A

( y ≤ 0) .解:如图,作正三角形 PCD , 解 如图,
?ACP ≌ ?BCD ,
B C P

也是正三角形, 由于 ?ABC 也是正三角形,所以可证得 所以 BD = AP .

D

5

共线. 又因为 BD = PB + PC = PB + PD ,所以点 B, P, D 共线.

∠CBP = ∠PAC ,所以 P 点在 ?ABC 的外接圆上,又因为 PA > PB, PA > PC ,所以所 的外接圆上,
求的轨迹方程为 x + ( y ? 1) = 4
2 2
0

( y ≤ 0) .

tan(α + 10 ) 13.已知 5 sin 2α = sin 2 ,则 的值是_____________________. 已知 的值是 tan(α ? 10 )
13、 答案】 【 13、 答案】 ?

3 提示:弦切变换,构造齐次式解题. .提示:弦切变换,构造齐次式解题. 2

5 sin[(α + 10 ) + (α ? 10 ] = sin[(10 + α ) + (10 ? α )]

? 4 sin(α + 10 ) cos(α ? 10 ) = ?6 cos(α + 10 ) sin(α ? 10 ) .
14【答案】 提示: 方法一) 局后仍不能结束比赛的情况是甲、 14【答案】 . 提示: 方法一)打完 5 局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某 (

5 8

( 个人任意胜 3 局,另一个人胜 2 局,其概率为 C 2 ? C( ) 1 ? ) = 5
1 3 3 2

1 2

1 2

5 . 8

局后能结束比赛的情况是: (方法二)打完 5 局后能结束比赛的情况是:甲、乙两人中任意某个人任意胜 4 局或 5 局 方法二) 全胜, 全胜,其概率等于 C 2 ? [C 5 ( ) (1 ? ) + C 5 ( ) ] =
1 4 4 5 5

1 2

1 2

1 2

3 所以, ,所以,打完 5 局后仍不能结束比 8

赛的概率等于 1 ? 15.不等式 不等式

3 5 = . 8 8
的解集为_______________________. < 2 x + 9 的解集为

4x 2 (1 ? 1 + 2 x ) 2

15. [ ? , ∪ (0, 0)

1 2

45 ) .提示:原不等式等价于 4 x 2 < (2 x + 9) ? (2 + 2 x ? 2 1 + 2 x ) 提示: 8
2

设 1 + 2 x = t ,则 t ≥ 0且t ≠ 1 , 2 x = t ? 1 ,从而原不等式可化为

?t ≥ 0 ?t ≥ 0 7 ? ? ? ?t ≠ 1 ? 0 ≤ t < 1或1 < t < ?t ≠ 1 2 ?(t 2 1) 2 (1 t ) 2 (t 2 8) ?(t 1) 2 t 2 8 ? < ? + + < + ? ?
2 1 1 Cm + Cn2 Cm Cn 16. 答案 :( 10 , 6 ) . 解 : P ( A ) = , P ( B ) = 2 , 由于 P ( A) = P ( B ) , 所以 ( 2 Cm + n Cm + n
2 2 1 1 Cm + Cn = Cm Cn ,整理得 ( m ? n ) = m + n .即 m + n 是完全平方数,且 9 ≤ m + n ≤ 19 , 是完全平方数,

2

?m + n = 9 ?m + n = 16 ?m = 6 ?m = 10 不合条件) .故 ( m, n ) = (10, 6 ) . ,? ,解得 ? (不合条件) ? , 故 ? ?m ? n = 3 ? m ? n = 4 ?n =3 ? n=6

6

17 答案 .解:如图 QP 是线段 AB 的垂直平分线, OP = OQ + QP , 答案:8. 如图, 的垂直平分线 平分线,

1 OQ = a + b , QP ⊥ BA , 2 p ? (a ? b ) = (OQ + QP ) ? BA = OQ ? BA + QP ? BA =
1 1 (a + b) ? (a ? b) = | a |2 ? | b |2 = 8 . 2 2
Q O B

(

)

P

A

(

)

18. 若 3 x + 8 y + 44 z = 1 ,则 x 2 + y 2 + z 2 的最小值为

1 。 2009

18 解:由柯西不等式 ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( 32 + 8 2 + 44 2 ) ≥ 3 x + 8 y + 44 z =1 可得。 可得。 =10+|MB|-|MF|,线段 19 解: 设椭圆另一焦点为 F, MA + MB =10+|MB|-|MF|,线段 MF 延长线与椭圆的两交点即 为取得最小值和最大值的点。 为取得最小值和最大值的点。 20.面 DD 1 BB 1 或 D 1 C 1 BA 等最大,面 D 1 EBF 等最小(E 为 C 1 B 1 中点,F 为 AD 中点) . 等最大, 等最小( 中点, 中点) 。 21 解:由已知可知,可设两直线的交点为 ( x0 , ? x0 ) ,且 sin α , cos α 为方程 由已知可知,

x0 ? x0 + = 1, t + sin β t + cos β
的两个根, 的两个根,即为方程 t + (cos β + sin β )t + sin β cos β ? x0 (cos β ? sin β ) = 0
2

的两个根。 的两个根。因此 sin α + cos α = ?(sin β + cos β ) ,即 sin α + cos α + sin β + cos β = 0。 。 22. 整数 x > y > z ,且 2 + 2 + 2 = 4.625 ,则整数组 ( x, y , z ) 为(2,-1,-3) , , ) 。
x y z

22 解:方程两边同乘以8,得 2 方程两边同乘以8

x+3

+ 2 y +3 + 2 z +3 = 37 。 因为 x > y > z ,所以要使左边为
x+3

z+ 3 奇数, 奇数,只有 2 = 1 ,即 z = ?3 。则 2 y+1 只有 2 = 1 ,即 y = ?1 。从而有

+ 2 y +3 = 36 ? 2 x +1 + 2 y +1 = 9 。要使左边为奇数, 要使左边为奇数,

2 x+1 = 8 ,即 x = 2 。故有 ( x, y, z ) = (2, ?1, ?3) 。

23、 答案】 【 23、 答案】

3 3 2 ' 提示: 依题意知: . 提示:设 f ( x ) = ax + bx + cx + d ,依题意知: f (0) = 0且f (0) = 0 , 4 2 x ? x 2 及点 Q

3 2 ' 2 ∴ c = d = 0 ,故 f ( x ) = ax + bx , f ( x) = 3ax + 2bx ,由 y = 1 +

在其上, 在其上,可设 Q 点的坐标为 (1 + cos θ ,1 + sin θ ), θ ∈ [0, π ] . 由 Q 为 y = f (x) 的一个极值
3 2 ? ?1 + sin θ = a (1 + cos θ ) + b(1 + cos θ ) 点得 ? , ?0 = 3a (1 + cos θ ) 2 + 2b(1 + cos θ ) ?

7

? 2(1 + sin θ ) ? ? a = (1 + cos θ ) 3 2b ? 显然 cos θ ≠ ?1, θ ≠ π ,∴ 1 + cos θ = ? ,∴ ? , 3a ?b = 3(1 + sin θ ) ? (1 + cos θ ) 2 ? 2b 1 + cos θ 3 1 + sin θ ' ' 2 ) = f '( )= ? ∵ a < 0 ,∴ f ( x) = 3ax + 2bx 存在最大值 f ( ? , 3a 2 2 1 + cos θ 3 1 + sin θ 3 3 数形结合可求得 ? = ? k OQ ,其最小值为 . 2 1 + cos θ 2 4
24.解答 变形得 ( x ? 2010 ? 1) + ( x ? 2010 + 1) = 2 ? 0 ≤ 解答
2 2

x ? 2010 ≤ 1 ,解得

2010 ≤ x ≤ 2011 。
25.把半径为 1 的 4 个小球装入一个大球内,则此大球的半径的最小值为 把半径为 个小球装入一个大球内,则此大球的半径的最小值为_______________. 25、 答案】1 + 、 答案】 【

6 .提示:4 个小球在大球内两两相切,4 个小球的球心连线构成 1 个正四 提示: 个小球在大球内两两相切, 提示 2

面体,正四面体的中心与大球的球心重合, 面体,正四面体的中心与大球的球心重合,大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小 球的半径, 所以大球半径为 球的半径, 所以大球半径为

3 3 6 6 6 h +1= × .(其中 h 表示正 其中, ?a +1= × 2 +1 = 1+ 其中 4 4 3 4 2

四面体的高 表示正四面体的棱长.) 四面体的高, a 表示正四面体的棱长.) 26.解: AD = x, ∠ADE = α , △ADE 关于 DE 的对称图形, 的对称点 G 落在 BC 上。 解 设 作 的对称图形, A 在△DGB 中,

x sin

π
3

=

1? x

sin(2α ? ) 3

π

?x=

3

3 + 2 sin(2α ? ) 3 3 2+ 3 = 2 3 ? 3。

π

当 sin(2α ?

π
3

) = 1 时,即 xmin =

27.作出函数 f(x)的图象 的图象, y=f(x),有两个不同的交点 有两个不同的交点, 27.作出函数 f(x)的图象,要使斜率为 1 的直线与 y=f(x),有两个不同的交点,必须 a<1, 28.解: A2 A3 (1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 3) / A6 = 解
2 3 6

1 3

1 1 ≥ 8 , x = 取到等号) 取到等号) ( 。 x 4 1 取到等号) 。于是有 而 16 sin π x cos π x = 8sin 2π x ≤ 8 , x = + k , k ∈ Z 取到等号) 于是有 当 x > 0 时, ( 。 4 1 1 方程只有一个解 x = 。由于奇函数的性质,可知 x = ? 是方程的另一解。 由于奇函数的性质, 是方程的另一解。 4 4
29. 解: 当 x > 0 时, 16 x + 故方程的解集合为 ? , ? ? 。

?1 ?4

1? 4?

8

30.整数 x > y > z ,且 2 + 2 + 2 = 4.625 ,则 x, y , z 分别为 .
x y z

2, ?1, ?3 。

30 解:方程两边同乘以8,得 2 方程两边同乘以8

x+3

+ 2 y +3 + 2 z +3 = 37 。 因为 x > y > z ,所以要使左边为
x+3

z+ 3 奇数, 奇数,只有 2 = 1 ,即 z = ?3 。则 2 y+1

+ 2 y +3 = 36 ? 2 x +1 + 2 y +1 = 9 。要使左边为奇数, 要使左边为奇数 为奇数,

只有 2

= 1 ,即 y = ?1 。从而有

2 x+1 = 8 ,即 x = 2 。故有 x = 2, y = ?1, z = ?3 。

31.解: M ∩ N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ∩ N 的图形面 解 轴均对称, 为此, 积只要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面

积就可以了。 由题意可得, ∩ N 的图形在第一象限的面积为 A= M 积就可以了。 由题意可得, = 的图形面积为 32. 设N = 2

1 1 1 ? = 。 M ∩N 因此 2 3 6

2 。 3
,则不超过

4016


n =1

N

1 2009 ?2。 的最大整数为 2 n

32 解:∵

2 n +1 + n

<

1 n 1 n

<

2 n + n ?1

∴ 2( n + 1 ? n ) <
N

< 2( n ? n ? 1) ,
N N 1 < 1 + 2∑ ( n ? n ? 1) , n n=2 N

∴ 2∑ ( n + 1 ? n ) < ∑
n =1 n =1

∴ 2( N ? 1) < 2( N + 1 ? 1) < ∑
n =1

1 < 1 + 2( N ? 1) , n

∴ 2 2009 ? 2 < ∑
n =1

N

1 < 2 2009 ? 1, 所以最大整数为2 2009 ? 2。 n

33、 8 6 .解:设 ∠SAB = α ,根据余弦定理有 、 解

cos α =

SA2 + AB 2 ? SB 2 42 + 52 ? 7 2 1 ≤ ≤? , 2 × SA × AB 2× 4×5 5
2

故 sin α = 1 ? cos α ≤

2 2007 重 6 1 ,S ?SAB = × SA × AB sin α ≤ 4 6 .由于棱锥的高不超过它 5 2 1 S ?SAB × BC ≤ 8 6 . 事 实 上 , 取 SB = 7 , BC = 6 且 3

的 侧 棱 长 , 所 以 VC ? SAB ≤

CB ⊥ 平面SAB 时,可以验证满足已知条件,此时 VSABC = 8 6 ,棱锥体积可以达到最大. 验证满足已知条件 满足已知条件, 棱锥体积可以达到最大.
9

2007 2007? 34.解:记 N k = 2007 解

k重 。题目要求 N 的末二位数。 2007 的末二位数。

N 2007 = 2007 N2006 = (2000 + 7) N 2006 = 2000 × M + 7 N2006
其中M为正整数。 其中M为正整数。由此可得 N 2007 的末二位数与 7 二位数字的变化规律。 二位数字的变化规律。 n 2
N 2006

的末二位数字相同。 的末二位数字相同。首先来观察 7 的末

n

3 43

4 01

5 07

6 49

7 43

8 01

9 07

? ?

7 n 的末二位
数字

49

7 n 的末二位数字的变化是以4为周期的规律循环出现。 的末二位数字的变化是以4为周期的规律循环出现。

N 2006 = (2007) N2005 = (502 × 4 ? 1) N 2005

为奇整数) ( N 2005 为奇整数) 为正整数) ( M 1 为正整数)

= 4M 1 ? 1 = 4( M 1 ? 1) + 3
因此, 因此, 7
N 2006

= 7 4( M1 ?1) +3 与 73 的末二位数字相同,为 43。 的末二位数字相同, 。

35 解:显然 a + b + c + d ≠ 0 ,由于

a b c d = = = ,有 b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c 1 1 1 1 = = = 。于是有 a = b = c = d ,故 b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c a+b b+c c+d d +a + + + = 4。 c+d a+d a+b b+c

36.解答 如图, )AD=AC=BD; )DC=AC,AD=BD。 解答 如图, (1) (2) ( ; ( , 。 在(1)中,设最小的角为 x,则 2x<90,得 x<45,又 x+180-4x<90,得 x>30,所以 30<x<45; ) , 得 又 得 所以 ; 在(2)中,设最小的角为 x,则 3x<90,得 x<30,又 180-4x<90,得 x>22.5,所以 22.5<x<30 ) , 得 又 得 所以 A A

B

D (1)

C B D (2)

C

10


推荐相关:

数学竞赛训练题--填空题(每题含详解).doc

数学竞赛训练题--填空题(每题含详解) - 高中数学竞赛训练题填空题 x 1.


高中数学竞赛训练题--填空题(每题含详解).doc

高中数学竞赛训练题--填空题(每题含详解) - 高中数学竞赛训练题填空题 高中数学竞赛训练题 填空题 x 1. 若不等式 1-loga (10 ? a ) <0 有解,则实数...


高中数学竞赛训练题--解答题_每题含详解_.pdf

高中数学竞赛训练题--解答题_每题含详解__数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 高中数学竞赛训练题--解答题_每题含详解__数学_高中教育_教育...


数学竞赛训练题--解答题(每题含详解).doc

数学竞赛训练题--解答题(每题含详解) - 高中数学竞赛训练题解答题 3 3


高中数学竞赛训练题--选择题(每题含详解).doc

高中数学竞赛训练题--选择题(每题含详解) - 高中数学竞赛训练题选择题 高中数学竞赛训练题 选择题 1.当 0 < x < 1 时, f ( x ) = . x 则下列...


数学竞赛训练题--选择题(每题含详解).doc

数学竞赛训练题--选择题(每题含详解) - 高中数学竞赛训练题选择题 1.当


数学竞赛训练题--选择题(每题含详解).doc

数学竞赛训练题--选择题(每题含详解) - 高中数学竞赛训练题选择题 1.当


考试必备-高中数学竞赛预赛训练试题5份合集-含答案.doc

考试必备-高中数学竞赛预赛训练试题5份合集-含答案 - 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、 填空题(本题满分 56 分,每...


高中数学竞赛(预赛)真题训练(一).doc

高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) - 高中数学竞赛(预赛)训练试题(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 70 分,每小题 7 分) x x 1.方程 9 ...


考试必备-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(1....doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 56 分, 每小题 7 分。 ) 1 已知复数 m 满足 m ? ① 1 ...


考试必备-湖北黄冈-高中数学竞赛预赛试题及6份合集-含答案.doc

考试必备-湖北黄冈-高中数学竞赛预赛试题及6份合集-含答案 - 湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、 填空题(本题满分 56...


最新的高中数学竞赛函数练习题.doc

最新的高中数学竞赛函数练习题_初中教育_教育专区。高中数学竞赛 函数练习题 (幂函数、指数函数、对数函数) 一、选择题 1.定义在 R 上的任意函数 f(x)都可以...


试题精选-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(1).doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(一) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 56 分, 每小题 7 分。 ) 1 已知复数 m 满足 m ? ◎ 1 ...


试题精选-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(2).doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(二) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 70 分, 每小题 7 分) x x 1 方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的...


高中数学竞赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题).doc

高中数学竞赛专题讲座---专题训练_(同余部分的例题与习题)_学科竞赛_高中教育


高中数学训练题组(选修2-3)含答案.doc

高中数学训练题组(选修2-3)含答案_数学_高中教育_教育专区。《高中数学训练题...100 B. 10 C. 9 D. 90 二、填空题 1.将数字 1, 2,3, 4 填入标号...


针对练习-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(5....doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)真题训练(五) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 64 分, 每小题 8 分。直接将答案写在横线上。 ) 1 数列 {...


高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解).doc

高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》练习题(含详解) - 数学选修 4-4 [


考试必备-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(2....doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(二) 姓名: 班级 : 分数 : 一、填空题(本题满分 70 分, 每小题 7 分) x x 1 方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的...


精美编排-湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(3....doc

湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(三) 姓名: 班级 : 分数 : 在每小题给出的四个答案中, 一、选择题(本大题共 10 个小题, 每小题 5 分, 共...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com