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中考第一轮复习


精品教案_第 精品教案 第 12 课时 二次函数
基础知识回放
考点 1 二次函数的解析式 1.二次函数的定义 形如=ax2+bx+c (a≠0, b、 为常数)的函数叫做二次函数. a、 c 特别当 a≠0, b=c=0 时, y=ax2 是二次函数的特例。 规律总结:判断一个函数是不是二次函数的方法与步骤:① 先将函数进行整理,使其 右边是含自变量的式子,左边是因变量;② 判断右边的自变量是否是整式;③ 判断含自变 量的最高项次数是否为 2;④ 判断二次项系数是否为 0。 2.二次函数的解析式 (1)一般式:y=ax2+bx+c (a≠0,a、b、c 为常数); (2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、h 为常数,其中 h,k 分别为顶点的横坐标、纵坐 标); (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a、x1、x2 为常数);其中 x1、x2 为抛物线与 x 轴的 交点横坐标。 (4)顶点式 ←?? 一般式 ←??? 交点式. ? ?
配方

因式分解

温馨提示:对于一般式,只要试题中出现 3 个已知条件就能求出二次函数的解析式,但 是对于顶点式、 交点式要根据实际操作中来确定不同的解析式。 如果题目中出现或隐含着抛 物线的顶点坐标一般采用顶点式; 如果出现抛物线与 x 轴的交点坐标宜采用交点式。 所以在 求解析式中要依据三种解析式各自的优点,合理选择,才能使解析过程简捷明了. 考点 2 二次函数的图象及其性质 1.二次函数的图象是一条① . 2.求二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0,a、b、c 为常数)最大值或最小值的一般方法: b b ⑴ 配方法:y=ax2+bx+c=a(x2+ x)+c= a(x2+ x+ ② )-a· ③ +c= a a b = a(x2+ x+ ④ )+ ⑤ = a(x+ ⑥ )2+ ⑦ a 所以当 x= ⑧ 时,y 最值= ⑨ 。初中英语词汇表

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注:n 名词 adv 副词 phr.短语 phr.短语

v 动词

adj 形容词

prep 介词 conj 连词 num 数词

第一册 1----833 1 what pron 什么 2 is v 是 3 what's what is 的缩写形式 4 your pron 你的 你们的 你的,你们 你们的 5 name n 名字 6 my pron 我的 7 I pron 我 8 am v 是 9 I'm I am 的缩写形式 10 in prep 在...里(内,上) 里 内上 11 row n (一)排,(一)行 一排 一行 12 one num 一 13 number n 数字 号码 数字,号码 14 two num 二 15 too adv 也 16 three num 三 17 are v 是 18 you pron 你,你们 你们 19 yes adv 是 20 four num 四 21 five num 五 22 no adv & adj 不,不是 不是 23 not adv 不 24 hi interj 喂(问候或唤起注意 问候或唤起注意) 问候或唤起注意 25 class n (学校里的 班级 年级 学校里的)班级 学校里的 班级,年级 26 grade n 年级 27 six num 六 28 seven num 七 29 eight num 八 30 nine num 九 31 ten num 十 32 zero num & n 零 33 plus prep 加,加上 加上 34 it pron 它 35 it's it is 的缩写形式 36 how adv (指程度 多少 怎样 指程度)多少 指程度 多少,怎样 37 old adj ...岁的 老的 岁的,老的 岁的

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38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

eleven num 十一 twelve num 十二 minus prep 减,减去 减去 thirteen num 十三 fourteen num 十四 fifteen num 十五 hello interj 喂(问候或唤起注意 问候或唤起注意) 问候或唤起注意 please interj 请 can v.aux 能,可以 会 可以,会 可以 spell v 拼写 that pron 那,那个 那个 secret n 秘密 this pron 这,这个 这个 in prep 用...(表达 表达) 表达 English n & adj 英语 英国人 英语,英国人 英国的,英国人的 英国的 英国人的 in English phr. 用英语 表达 用英语(表达 表达) a art 一(个,件...) 个件 clock n 钟 and conj 和,又,而 又而 pencil-box n 铅笔盒 an art 一(个;件.)(用于元音开头的词前 用于元音开头的词前) 个 件 用于元音开头的词前 pencil n 铅笔 ruler n 尺子 pen n 钢笔 sharpener n 卷笔刀 eraser n 橡皮擦 room n 房间 book n 书 map n 地图 desk n 书桌 cup n 杯子 bag n 书包 computer n 电脑 电子计算机 电脑,电子计算机 mouse n 鼠,耗子 鼠标 耗子,鼠标 耗子 bed n 床 keyboard n 键盘 isn't is not 的缩写形式 pear n 梨 cake n 蛋糕 饼,糕 蛋糕,饼 糕 banana n 香蕉 apple n 苹果 orange n 橙子 橘子 橙子,橘子 egg n 蛋

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81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122

bike n 自行车 bus n 公共汽车 car n 汽车 小汽车 汽车,小汽车 jeep n 吉普车 Chinese adj 中国的 中国人的 中国的,中国人的 n 中国人 汉语 中国人,汉语 Japanese adj 日本的 日本人的 日本的,日本人的 n 日本人 日语 日本人,日语 look v 瞧,看 看 who pron 谁 she pron 她 he pron 他 bird n 鸟 its pron 它的 do v.aux (构成否定句 疑 问句的助动词 构成否定句,疑 问句的助动词) 构成否定句 don't do not 的缩写形式 know v 知道 懂得 知道,懂得 think v 想,认为 认为 Mr=mister n 先生 用于姓名前 先生(用于姓名前 用于姓名前) very adv 很,非常 非常 picture n 图画 照片 图画,照片 Mrs n 夫人 boy n 男孩 girl n 女孩 woman n 妇女 女人 妇女,女人 man n 男人 人 男人,人 cat n 猫 his pron 他的 teacher n 教师 her pron 她的 everyone pron 每人 人人 每人,人人 here adv 这里 这儿 这里,这儿 today adv & n 今天 at prep 在 school n 学校 at school phr. 在学校 sorry adj 对不起 抱歉的 对不起,抱歉的 where adv 在哪里 home n 家 at home phr. 在家 How are you? 你(身体 好吗 身体)好吗 身体 好吗? fine adj (身体 好的 身体)好的 身体 thanks n 谢谢 只用复数 谢谢(只用复数 只用复数) OK adv (口语 好,对,不错 可以 口语)好 对 不错 不错,可以 口语

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123 thank v 谢谢 124 goodbye interj 再见 再会 再见,再会 125 bye interj 再见 126 parrot n 鹦鹉 127 sister n 姐,妹 妹 128 father n 父亲 129 mother n 母亲 130 box n 盒子 箱子 盒子,箱子 131 excuse v 原谅 132 me pron 我 133 Here you are. 给你 134 but conj 但是 135 these pron 这些 136 they pron 他(她,它)们 她它 们 137 good adj 好的 138 those pron 那些 139 boat n 船 140 hill n 小山 141 tree n 树 142 their pron 他们 她们 它们 的 他们(她们 它们)的 她们,它们 143 much adv 多,很,非常 很 非常 144 very much phr. 很,非常 非常 145 all adv 都,完全 完全 146 right adv & adj 对的 正确的 对的,正确的 147 all right phr. 好,行,不错 行 不错 148 mum n (口语 妈妈 口语)妈妈 口语 149 friend n 朋友 150 brother n 兄,弟 弟 151 nice adj 令人愉快的 152 to prep (表示方向 到,向 动词不定式符号 表示方向)到 向 表示方向 153 meet v 见面 会面 遇见 见面,会面 会面,遇见 154 child n 小孩 155 children n child 的复数形式 156 welcome v 欢迎 157 our pron 我们的 158 come v 来 159 come in phr. 进来 进入 进来,进入 160 morning n 早晨 上午 早晨,上午 161 class n 同一个班的学生 162 on prep 在,在...上 在 上 163 duty n 职责 责任 职责,责任 164 on duty phr. 值日 165 we pron 我们 166 aren't are not 的缩写形式

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167

have v 有

⑵ 公式法:当 x= ⑩ 时,y 最值=11。 ○ 3.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0,a、b、c 为常数)通过配方可得 y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、 h 为常数),其顶点坐标为12,对称轴方程为直线 x=13. ○ ○ b 4.当 a>0 时,抛物线开口向上,并向上无限延伸;在对称轴左侧(即 x<- )时,y 随 x 2a b b 的增大而14;在对称轴右侧(即 x>- )时,y 随 x 的增大而15;当 x=- 时,函数有极小值 ○ ○ 2a 2a y= 4ac-b2 b ;当 a<0 时,抛物线开口向下,并向下无限延伸;在对称轴左侧(即 x< - )时,y 4a 2a

b b 随 x 的增大而16 ;在对称轴右侧(即 x> - )时,y 随 x 的增大而 17 ;当 x= - 是时, ○ ○ 2a 2a 函数有极大值 y = 4ac-b2 . 4a

5.对称轴:x=18,对称轴在原点左侧 ? a,b 同号;对称轴在原点右侧 ? a,b 异号; ○ 对称轴与 y 轴重合 ? b=0. b 4ac-b2 ), M 在 x 轴上方 ? a,△异号; M 在 x 轴上方 ? a,△ 点 点 6. 顶点坐标 M(- , 2a 4a 同号;点 M 在 x 轴上 ? △=0. (其中△=b2-4ac) 7.抛物线与 M 轴的交点:抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交于点(0,c);若方程 ax2+bx+c=0 有根 x1,x2,则抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点(x1, ,0)(x2,0). 8.抛物线 y=ax2+bx+c 中 a,b,c 的作用. (1)a 决定开口方向及开口大小.a>0,抛物线开口向上;a190,抛物线开口20,|a|越大, ○ ○
21 抛物线的开口越○ ,|a|越小,抛物线的开口越22. ○

(2)a 和 b 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=- b b b ,故:b=0 时,对称轴为 y 轴; >0 时,对称轴在 y 轴左侧; <0 时,对称轴在 y 轴右侧. 2a a a (3)c 的大小决定抛物线 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点的位置,当 x=0 时,y=c,所以抛物线与 y 轴有且只有一个交点(O,c).c=0,抛物线经过原点;c>0,抛物线与 y 轴交于正半轴;c<0, 抛物线与 y 交于负半轴. 温馨提示:以上三点中,当结论与条件互换时,仍成立. (4)抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴是否有交点由 a,b,c 联合决定.当△=b2-4ac>O 时,抛
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物线与 x 轴有两个交点;当△= b2-4ac =0 时,抛物线与 x 轴有一个交点;当△= b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴无交点. 温馨提示:画抛物线时点取的越多图象越精确,但一般采用五点法作抛物线.①找顶点 b 4ac-b2 b (- , ),画对称轴;②找图象上关于直线 x= - 对称的四个点(一般找与坐标轴的交 2a 4a 2a 点及 y=c 的点);③把上述五个点用光滑的曲线连接起来. 9.二次函数的图象与性质附图如下:
函数的图象 图象特点 函数性质

①当a>O时向上无限伸展; 当 ①自变量x的取值范围是全体实数. a<O时向下无限伸展. ②a>O时开口向上; a<O时开口 ②a>O时,当x=- b 时,y有最小 2a 向下; 值 2 b 4ac ? b 顶点为(- , ). 4ac ? b 2 b 为 ;a<O时,当x=- 2a 4a 4a 2a 4ac ? b 2 时,y有最大值为 . 4a b b ③对称轴为x=- ,a>O时, ③a>O时,当x<- 时,y随x的 2a 2a 对称轴左侧图象从左到右下降,增大而减小;当x>- b 时,y随x 2a 对称轴右侧图象从左到右上升; 的增大而增大; a<O时,对称轴左侧图象从左到 b a<O时,当x<- 时,y随x的增大 2a 右上升, 对称轴右侧图象从左到 b 而增大;当x>- 时,y随x的增 右下降. 2a 大而减小. 10.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的平移 二次函数 的图象的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数 a 确定, 所以两个二次函数如果 a 相 等, 那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到, 所以形如 y=ax2, y=ax2+k, y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、h 为常数)形式的函数图象可以相互平移得到,而具体平移方式一 般由各函数的顶点坐标来确定.平移方式如下图: 任意抛物线 y=ax2+bx+c 可以由抛物线 y=ax2 经过适当地平移得到,具体平移方法下图 所示:

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注意:上述平移的规律是:“h 值正、负,右、左移;k 值正、负,上、下移”实际上有 关抛物线的平移问题,不用死记硬背平移规律,只要先将其解析式化为顶点式,然后根据它 们的顶点的位置关系,确定平移方向和平移的距离非常简便. 例如,要研究抛物线 L1:y=x2-2x+3 与抛物线 L2:y=x2 的位置关系,可将 y=x2-2x+3 通过配方变成顶点式 y=(x-1)2+2,求出其顶点 M1(1,2),因为 L2 的顶点为 M2(O,0),根 据它们的顶点的位置,容易看出:由 L2 向右平移 1 个单位,再向上平移 2 个单位,即得 L1; 反之,由 L1 向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,即得 L2. 温馨提示:以 y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、h 为常数)为例,函数 y=ax2 的顶点坐标为 A(O, b 4ac-b2 0),而 y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、h 为常数)的顶点坐标为 B (- , )只要正确说出由 2a 4a 点 A 到点 B 的平移方式,也就是函数 y=ax2 平移到函数 y=a(x-h)2+k(a≠O,a、k、h 为常数) 的方式. 10.二次函数与一元二次方程、二元一次不等式的联系. (1) y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c)等号左边是函数 y,右边是自变量 x 的二次三项式,若函 数值 y=0(即图象上的点在 x 轴上),函数即转化为一元二次方程 ax2+bx+c =0;方程是否有解 即为抛物线与 x 轴是否有交点;方程的解即为抛物线与 x 轴交点的横坐标. (2)函数和不等式的联系:若函数 y>0(或)y<0)即得到一元二次不等式(或 ax2+bx+c <0), 此时确定不等式的解集就转化为抛物线相应点横坐标的取值集合. 温馨提示:理解变量 x,y 双重含义. 代值计算时:x——自变量;y—一函数值; 在函数图象中:x——图象上点的横坐标;y——图象上点的纵坐标. b2 b2 b2 4ac-b2 b 4ac-b2 b 4ac-b2 参考答案:①抛物线、② 2、③ 2、④ 2、⑤ 、⑥ 、⑦ ⑧- 、⑨ 、 4a 4a 4a 4a 2a 4a 2a 4a b 4ac-b2 b ⑩- 、11 、12(h,k) 13x=h、14减小、15增大、16增大、17减小、18- 、19<、 、○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ 2a ○ 2a ○ 4a

-8-

20向下、21小、22大. ○ ○ ○

中考热点难点突破
例 1 反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图 )

象,如图所示,它们的解析式可能分别是( k (A) y= ,y=kx2-x x (C)y=- k , y=kx2+x x

k (B)y= ,y=kx2+x x k (D)y=- , x y=kx2-k,

分析:采用排除法.先通过反比例函数的图象可知,在 A 中,k<0,则开口向下,对称轴 x<0,这与图象不符合,同理 B 中,k<0,对称轴 x>0,这与图象符合;C 中,k>O,对称轴 x<0,这与图象不符合.D 中,k>O,对称轴 x<0,这与图象不符合,所以选择 B. 【点拨】解决此题的关键是能通过图象确定系数。反之,知道系数的正负也能确定图象 的大概形状. 二次函数图象主要就是看开口方向及对称轴的正负, 相对应的系数之间的关系 应该清楚.大多数情况下,要对各选项分别讨论. 例 2(’09 湖北黄石市)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象如图所示,下列结论:①abc>0 <0 ④a+c>0, 其中正确结论的个数为( A、4 个 B、3 个 ) C、2 个 D、1 个 例2图 ②2a+b<0 ③4a-2b+c

分析:从图像的开口方向和图像与 y 轴交点的纵坐标可以直接得到 a<0,c>0.对于 b,要根据 b b 抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在 y 轴右侧,即- >0,则 <0,所以 a、b 异号;反之,a, 2a a b 同号.本题中抛物线对称轴在 y 轴右侧,所以 b>0;所以 abc<0.对于 2a+b,需要根据抛物线顶点 b 横坐标与 1 的大小比较.观察图像可得, - <1,所以 2a+b<0.而 4a-2b+c 是二次函数当自变 2a 量取值为-2 时的函数值,观察图像可发现点(-2, 4a-2b+c)在 x 轴下方,所以 4a-2b+c<0.又 由图像可得当 x=1 时的函数值 a+b+c 的绝对值大于 x=-1 时的函数值 a-b+c 的绝对值,所以 a+b+c+ (a-b+c)>0,所以 a+c>0.故选答案 B. 【点拨】由抛物线开口方向判定 a 的符号,由对称轴的位置判定 b 的符号,由抛物线与

y 轴交点位置判定 c 的符号。由抛物线与 x 轴的交点个数判定 b 2 ? 4ac 的符号,若 x 轴标

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出了 1 和-1,则结合函数值可判定 2a + b 、 a + b + c 、 a ? b + c 的符号。 例 3.已知 a + b + c = 0 , a ≠0,把抛物线 y = ax + bx + c 向下平移 1 个单位,再向
2

左平移 5 个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0) ,求原抛物线的解析式。 分析:①由 a + b + c = 0 可知:原抛物线的图像经过点(1,0) ;②新抛物线向右平移 5 个单位,再向上平移 1 个单位即得原抛物线。 解:可设新抛物线的解析式为 y = a ( x + 2) ,则原抛物线的解析式为
2

y = a ( x + 2 ? 5) 2 + 1 ,又易知原抛物线过点(1,0)
2 ∴ 0 = a (1 + 2 ? 5) + 1 ,解得 a = ?

1 4



原抛物线的解析式为: y = ?

1 ( x ? 3) 2 + 1 4

【点拨】解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析 式间的联系,并注意逆向思维的应用。另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常 见的几种变动方式有:①开口反向(或旋转 1800) ,此时顶点坐标不变,只是 a 反号;②两 抛物线关于 x 轴对称,此时顶点关于 x 轴对称, a 反号;③两抛物线关于 y 轴对称,此时顶 点关于 y 轴对称; 例 4.某商场购进一批单价为 16 元的日用品,经试验发现,若按每件 20 元的价格销售 时,每月能卖 360 件,若按每件 25 元的价格销售时,每月能卖 210 件,假定每月销售件数 y(件)是价格 x(元/件)的一次函数. (1)试求 y 与 x 之间的关系式; (2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每月 获得最大利润?每月的最大利润是多少? 分析: 总利润等于总收入减去总成本, 然后再利用一元二次函数求最值. 利润、 销售额、 分析: 销售价格等之间的关系是:销售金额=销售量×价格,利润=销售金额-进货价. 解:(1)依题意设 y=kx+b,则有

?360 = 20k + b ? ?210 = 25k + b
解得 k=-30,b=960. ∴ y=-30x+960(16≤x≤32). (2)每月获得利润 P=(-30x+960)(x-16)
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=30(-x2+48x-512) =-30(x-24)2+1920. ∴ 当 x=24 时,P 有最大值,最大值为 1920. 答:当价格为 24 元时,才能使每月获得最大利润,最大利润为 1920 元. 例 5.如图所示,将一个下底为 3,上底为 1,且底角为 45°的等腰梯形 ABCD 放置在 直角坐标系中,一条动直线 x=t;从点 A 开始自左向右右匀速运动,至 B 点处停止运动,它 扫过的梯形面积为 S(图中阴影部分). (1)求出梯形 ABCD 各顶点的坐标; (2)求过 B、C 两点的直线解析式; (3)求出 S 关于 t 的函数关系式(从三种情况去考虑:①-1≤t≤0,②0<t≤0,③1<t≤2 分析: 分析: (1)利用等腰梯形底角等于 45°,可求出梯形各顶点的坐标.(2)由 B、C 两点坐 标可求出过 B、C 两点的直线解析式,(3)动直线 x=t 是垂直于 x 轴的直线,由 A 点运动到 B 点的过程中,动直线扫过的面积要分类讨论,即-1≤t≤0,0<t≤1,1<t≤2,并借助数形结合 的方法求解.

解:(1)∵∠B=∠A=45° ∴ A(-1,0), B(2,0), C(1,1), D(0,1) (2)设过 B、C 两点的直线解析式为 y=kx+b(k≠0), ∴?

?0 = 2k + b ? k = ?1 , 解得, ? , ?1 = k + b ?b = 2

∴ y=-x+2 即解析式为:y=-x+2 (1)动直线 x=t 是垂直于 x 轴的直线,它与 x 轴的交点为(t,0), 在它由点 A 运动到点 B 的过程中, 有-1<t≤2, 设这条动直线与 x 轴的交点为 E, AD、 与 DC、BC 的交点为 F, 如图(1)所示,当-1≤t≤0 时,EO=-t,EF=AE=OA-OE=1+t. 1 ∴S= (1+t)2(-1≤t≤0) 2

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如图(2)所求,当 0<t≤1 时, 1 1 S=S△AOD+S 矩形 DOEF= ×1×1+t×1= +t; 2 2 如图(3)所求,当 1≤t≤2 时, ∵△BEF 为等腰直角三角形 ∴EF=EB=2-t,

【点拨】研究动态问题通常采用分类讨论的方法解答。首先根据运动的路径判断点所 在的位置; 其次根据运动的速度及运动路程确定自变量的取值范围; 最后根据相应的数学模 型建立相应的函数关系式。

中考效能测试
1.(09 湖北荆州市)抛物线 y = 3( x ? 1) 2 + 2 的对称轴是( A. x = 1 B. x = ?1 C. ) D. x = ?2

x=2

A【解析】本题考查利用顶点式求对称轴.在顶点式的抛物线解析式 y=a(x-h)2+k 中,(h,k) 【解析】本题 是抛物线的顶点坐标,其中 x=h 是抛物线的对称轴. 2.(09 广州)二次函数 y = ( x ? 1) 2 + 2 的最小值是( (A)2 (B)1 (C)-1 )

(D)-2

A 解析】 【解析】 本题考查利用顶点式求极值. 在顶点式的抛物线解析式 y=a(x-h)2+k 中,若 a>0, 本题 当 x=h 时,y=k 是函数的最小值; 若 a<0,当 x=h 时,y=k 是函数的最大值.所以该函数的最小值 为 2. 3.函数 y=ax+b 的图象经过一、二、三象限,则二次函数 y=ax2+bx 的大致图象是 ( )

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B【解析】本题考查【解析】由函数 y=ax+b 的图象经过一、二、三象限,可得:a>O, 【解析】本题 b b>O,则函数 y=ax2+bx 的开口向上,对称轴为 x=- <0,所以应该选择 B. 2a 4.二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数 y=ax+c 在同一坐标系中的图象大致是( )

A

B

C

D

D【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道 【解析】本题 这两个函数图像与 y 轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于 A、B,直线 y=ax+c 与二次 函数 y=ax2+bx+c 不经过同一点(0,c),所以不正确.对于 C、 D,直线都经过第一、 二、 四象限, 所以 a<0,所以抛物线开口向下.答案为 D. 5.把抛物线 y=2x2 的图象先向下平移 2 个单位后,再向左平移 1 个单位,那么这样平移后 抛物线的解析式是 A.y=2(x-1)2-2 ( ) C.y=2(x-1)2+2 D.y=2(x+1)2+2

B.y=2(x+1)2-2

A【解析】把抛物线 y=2x2 的图象先向下平移 2 个单位,得到 y=2x2-2,再向左平移 1 【解析】 个单位,得到 y=2(x-1)2-2. 6.如图所示, 二次函数 y=x2-4x+3 的图象交 x 轴于 A、 两点, 交 y 轴于点 C, 则△ABC B 的面积为( A. 6 ) B. 4 C. 3 D. 1

第 6 题图

第 7 题图

C 解析】 【解析】 本题考查抛物线与坐标轴的交点坐标.当 y=0 时,即 x2-4x+3=0,所以 x1=1,x2=3, 本题 1 1 所以 A(1,0)、B(3,0).当 x=0 时,y=3,所以 C(0,3).所以 S△ABC= AB·OC= ×2×3=3. 2 2 7.(09 贵州黔东南)抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是 .. ( )

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A、y=x2-x-2 C、y= ?

B、y= ?

1 2 1 x + x +1 2 2
2

1 2 1 x ? x +1 2 2

D、y= ? x + x + 2

D【解析】 【解析】 本题考查根据图像判断函数的解析式.首先求出函数图像与 x 轴的交点坐标.A、 本题 B、 选项的函数与 x 轴的交点坐标为(2,0)、 D (-1,0),C 选项的函数与 x 轴的交点坐标为(-2,0)、 (1,0).显然 C 不符合.对于 A、B、D 来说,A 选项的抛物线开口向上,不符合.而对于 B、D 来说, 抛物线开口向下似乎都符合,但从抛物线与 y 轴的交点坐标就可以排除 B,而选 D. 8. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点, 则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 根的情况是 ( )

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.由 b2-4ac 的值确定

A【解析】抛物线二次函数 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点,则关于 x 的一元二 【解析】抛物 次方程 ax2+bx+c=0 有两个不同的根,则选择 A. 9.自变量 x 与函数 y 的对应值,可判断该二次函数的图象与 x 轴( ) .

x
y
A.只有一个交点

… …

?1 ?1

0

1

2

… …

?

7 4

?2

?

7 4

B.有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 D.无交点

C.有两个交点,且它们均在 y 轴同侧

7 7 C【解析】由表格可以观察点(0,- )与(2,- )关于直线 x=1 对称 由此可以判断抛物线与 【解析】由表格可以观察点 - 与 - 关于直线 对称,由此可以判断抛物线与 4 4 x 轴有两个交点并且在 y 轴两侧. 轴两侧 10.(’09 安徽省芜湖)如图所示是二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的 一部分,图象过 A 点(3,0) ,二次函数图象对称轴为 x = 1 , 给 出 四 个 结 论 : ① b > 4ac ; ② bc < 0 ; ③ 2a + b = 0 ;
2

y

O

A(3, 0)
x =1

x

④ a + b + c = 0 ,其中正确结论是( A.②④ B.①③ C.②③

) D.①④

第 10 题图

B【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开口向下能够 【解析】本题 b 得到 a<0;由抛物线与 y 轴的交点可以得到 c>0;根据对称轴- =1 能够推出 b+2a=0,在根据 2a a<0 得出 b>0,所以 bc>0;当 x=1 时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,

- 14 -

所以 a+b+c>0.所以①、③正确.答案为 B. 二、填空题 11. 已知抛物线 y=x2-3x-4,则它与 x 轴的交点坐标 .

(-1,0)(4,0) 解析】本题 , 【解析】本题考查抛物线与 x 轴的交点坐标.当 y=0 时,即 x2-3x-4=0, 所以 x=-1,x=4.所以抛物线与 x 轴的交点坐标为(-1,0)(4,0). , 12.(’09 贵州黔东南)二次函数 y = x ? 2 x ? 3 的图象关于原点 O(0, 0)对称的图象的解
2

析式是_________________。

y = ?x2 ? 2x + 3 【 解 析 】 本 题 考 查 二 次 函 数 解 析 式 的 求 法 . 首 先 求 出 二 次 函 数 y = x 2 ? 2 x ? 3 图象上的两个特殊点坐标,如顶点坐标、抛物线与 y 轴的交点坐标. 顶点
坐标为(1,-4) ,与 y 轴的交点坐标为(0,-3) ,所以这两个 点关于原点对称的电的坐标为(-1,4)(0,3) , ,然后利用顶点 式求出二次函数 y = x ? 2 x ? 3 的图象关于原点 O(0, 0)对称
2

y x=1

的图象的解析式是 y = ? x 2 ? 2 x + 3 . 13.(’09 襄樊)抛物线 y = ? x 2 + bx + c 的图象如图所示,则此抛物 线的解析式为 .

O

3

x

第 13 题图

b y=-x2+2x-3【解析】本题 【解析】本题考查二次函数解析式的求法.根据对称轴为 x=-2a=1(这里 a=-1) ,可以求出 b=2;然后把点(0,3)代入抛物线 y=-x2+2x+c 中得 c=-3. 14.若二次函数 y = x 2 ? 4 x + c 的图象与 x 轴没有交点,其中 c 为整数,则 c= 要求写出一个) 5( 答 案 不 唯 一 ) 【 解 析 】 本 题 考 查 抛 物 线 与 一 元 二 次 方 程 的 关 系 . 若 二 次 函 数 。 (只

y = x 2 ? 4 x + c 的图象与 x 轴没有交点时, 也就是一元二次方程 x2-4x+c=0 没有实数根,
所以 b2-4ac<0,所以(-4)2-4c<0,解得 c>4,所以可取 c=5. 15.(’09 鄂州市)把抛物线 y=ax 2 +bx+c 的图象先向右平移 3 个单位,再向下平移 2 个单 位,所得的图象的解析式是 y=x 2 -3x+5,则 a+b+c=__________ 17【解析】本题考查利用平移法求抛物线解析式.首先把抛物线 y=x 2 -3x+5 化成顶点 【解析】本题

- 15 -

3 11 3 11 3 11 式 y=(x- )2+ ,然后把抛物线 y=(x- )2+ 先向左平移 3 个单位得到 y=(x- -3)2+ , 2 4 2 4 2 4 3 11 再向上平移 2 个单位得到 y=(x- -3)2+ +2=x2-9x+25,所以 a+b+c=17. 2 4 16.用铝合金型材料做一个形状如图 1 所示的矩形窗框,设窗框的一边为 xm,窗户的透光面 积为 ym2,y 与 x 的函数图象如图 2 所示。 (1)观察图象,当 x= m 时,窗户透光面积最大。 m。

(2)当窗户透光面积最大时,窗框的另一边长是

1,1.5【解析】本题考查利用函数图像解决实际问题.有图像观察当 x=1 时,y 有最大值, 【解析】本题 也就是说当 x=1 时, 窗户透光面积最大.然后利用矩形面积公式求出另一边长等于 1.5 米. 17.二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0) ,且与 y 轴 相交于负半轴.给出四个结论:① a > 0 ;② b > 0 ;③ c > 0 ;④ a + b + c = 0 .其中 正确结论的序号是 ;

①④【解析】本题考查利用抛物线求代数式的符号.因为图象开口向上,所以 a>0;同时二 【解析】本题 次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象过点(1,0) ,所以 a + b + c = 0 ;又抛物线与 y 轴交于负 b 半轴,所以 c<0、对称轴 x=- <0,所以 b>0. 2a

1 1 18.(’09 安徽省)已知二次函数的图象经过原点及点( ? , ? ) ,且图象与 x 轴的另一交 2 4
点到原点的距离为 1,则该二次函数的解析式为 .

1 1 y = x 2 + x , y = ? x 2 + 【解析】本题 本题考查抛物线解析式的求法.首先根据抛物线与 x 3 3 1 1 轴的另一交点到原点的距离为 1,可得该点坐标为(1,0)或(-1,0).然后把(0,0)、 ? , ) ( ? 、 2 4 1 1 1 1 (1,0)或(0,0)、 ? ,? ) ( 、(-1,0)代入 y=ax2+bx+c 中得出抛物线解析式为 y = ? x 2 + 2 4 3 3
或 y = x2 + x .

- 16 -

19. (’09 甘肃白银)抛物线 y = ? x + bx + c 的部分图象如图所示,请写出与其关系式、图
2

象相关的 2 个正确结论: 坐标例外)



. (对称轴方程,图象与 x 正半轴、y 轴交点

答案不唯一.如:①c=3;②b+c=1;③c-3b=9;④b=-2;⑤抛物线的顶点为(-1,4) , 或二次函数的最大值为 4;⑥方程-x2+bx+c=0 的两个根为-3,1;⑦y>0 时,-3<x<1; 或 y<0 时,x<-3 或 x>1;⑧当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小;或当 x<-1 时,y 随 x 解析】本题考查根据二次函数图像性质写出满足条件的关系式. 的增大而增大.等等【解析】本题

第 19 题图

第 20 题图

20.(’09 辽宁本溪)如图所示,抛物线 y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 )与 x 轴的两个交点分别为

A(?1, 和 B (2, ,当 y < 0 时, x 的取值范围是 0) 0)



x<-1 或 x>2【解析】本题 抛物线求不等式的解集.当 〈 【解析】本题考查根据抛物线求不等式的解集 当 y〈0 时,即抛物线上点的 抛物线求不等式的解集 纵坐标小于 0,对应的自变量取值范围是 x<-1 或 x>2. , 三、解答题 21.已知二次函数 y =

1 2 5 x + 2x ? 2 2

(1)求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值; 解:∵ y =

1 2 5 1 x + 2 x ? =2(x+2)2-4.5 2 2

∴ 顶点坐标(-2,-4.5) ,对称轴:直线 x=-2; 因为二次项系数大于 0,所以函数有最小值-4.5. (2)求出抛物线与 x 轴、y 轴交点坐标; 解:令 y=0,则

1 2 5 x + 2 x ? = 0 ,解得 x=-5,x=1. 2 2

所以抛物线与 x 轴的交点坐标为(-5,0)(1,0) , .

- 17 -

令 x=0,则 y= ?

5 . 2 5 ) 2

所以抛物线与 y 轴的交点坐标为(0, ?

(3)作出函数图象,并观察图象,x 为何值时,y>0;x 为何值时,y<0;x 为何值时, y=0. 答案: 答案:如图.

利用函数图像,可以得到当 x>1 或 x<-5 时,y>0; 当-5<x<1 时,y<0; 当 x=-5,x=1 时,y=0. 22.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=8,点 D 在斜边 AB 上(不与 A、B 重 合) ,分别作 DE⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为 E,F,得四边形 DECF,设 DE=x,DF =y. (1)用含 y 的代数式表示 AE,得 AE=________. (2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并求出 x 的取值范围. (3)设四边形 DECF 的面积为 S,求出 S 的最大值.

(1)AE=8-y 解: (2)∵∠C=90°,DE⊥AC,DF⊥BC ∴四边形 DECF 是矩形. ∴DF=EC,DE∥BC

- 18 -

∴△ ADE∴△ABC ∴

DE AE = BC AC x 8? y = 4 8

∵DE=x,BC=4,AC=8,AE=8-y ∴

∴y=8-2x, (0<x<4. ) (3)∵四边形 DECF 是矩形, ∴S=DE×DF=xy=x(8-2x)=-2x2+8x. ∵a=-2<0, ∴ 当 x=2 时,S 最大=8. 23. (’09 浙江)如图抛物线 y = ax 2 ? 5 x + 4a 与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4) . (1)求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标. (2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落要第二象限,并写出平移后抛物 .. 线的解析式.

解: (1)把点 C (5, 代入抛物线 4)

y = ax 2 ? 5ax + 4a 得,
25a ? 25a + 4a = 4 ,
解得 a = 1 . ∴ 该二次函数的解析式为 y = x 2 ? 5 x + 4 . 第 23 题

5? 9 ? ∵ y = x2 ? 5x + 4 = ? x ? ? ? 2? 4 ?
∴ 顶点坐标为 P ? , ?

2

?5 ?2

9? ?. 4?

(2) (答案不唯一,合理即正确) 如先向左平移 3 个单位,再向上平移 4 个单位, 得到的二次函数解析式为

5 1? 7 ? ? 9 ? y = ? x ? + 3? ? + 4 = ? x + ? + , 2 2? 4 ? ? 4 ?
- 19 -

2

2

即 y = x +x+2.
2

24.(’09 贵州黔东南)凯里市某大型酒店有包房 100 间,在每天晚餐营业时间,每间包房收 包房费 100 元时,包房便可全部租出;若每间包房收费提高 20 元,则减少 10 间包房租 出,若每间包房收费再提高 20 元,则再减少 10 间包房租出,以每次提高 20 元的这种方 法变化下去。 ,但会减少 y2 间包房租 ⑴ 设每间包房收费提高 x(元) ,则每间包房的收入为 y1(元) 出,请分别写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式。 ⑵ 为了投资少而利润大,每间包房提高 x(元)后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y(元) ,请写出 y 与 x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大 包房费收入,并说明理由。 x (1) y1 = 100 + x ,y2= . 2 (2) y = (100 + x ) ? (100 ? 即:y = ?

1 x) 2

1 ( x ? 50) 2 + 11250 2

因为提价前包房费总收入为 100×100=10000。 当 x=50 时,可获最大包房收入 11250 元,因为 11250>10000。又因为每次提价为 20 元, 所以每间包房晚餐应提高 40 元或 60 元。 25.(’09 哈尔滨)张大爷要围成一个矩形花圃.花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成. 围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD. AB 边的长为 x 米. 设 矩 形 ABCD 的面积为 S 平方米. (1)求 S 与 x 之间的函数关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围) (2)当 x 为何值时,S 有最大值?并求出最大值. (参考公式:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) ,当 x=-
b 4ac ? b 2 时,y 最大(小)值= ) 2a 4a

BC=6 cm, ABC=300. 是边 CB 上一点, ∠ D DC=lcm. P、 26.(’09 大庆) 在 Rt△ABC 中, C=900, ∠

- 20 -

Q 是直线 CB 上的两个动点,点 P 从 C 点出发,以 1 cm/s 的速度沿直线 CB 向右运动, 同时,点 Q 从 D 点出发,以 2 cm/s 的速度沿直线 CB 向右运动,以 PQ 为一边在 CB 的 上方作等边三角形 PQR,如图所示是其运动过程中的某一位置.设运动的时间是 t(s). (1)△PQR 的边长是 cm(用含有 t 的代数式表示).

(2)若等边三角形 PQR 与△ABC 重叠部分的面积为 y(㎝ 2), y 与 t 之间的函数关系式, 求 并写出自变量 t 的取值范围.

第 26 题图

27. (’09 衡阳)如图,直线 y = ? x + 4 与两坐标轴分别相交于 A、B 点,点 M 是线段 AB 上任意一点(A、B 两点除外) ,过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C,MD⊥OB 于 D. (1)当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化?并说明理 由; (2)当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值?最大值是多少? (3)当四边形 OCMD 为正方形时,将四边形 OCMD 沿着 x 轴的正方向移动,设平移 的距离为 a(0 < a < 4) ,正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S.试求 S 与 a 的函数关系式并画出该函数的图象.

- 21 -

y B D M B

y B

y

O

C 图(1)

A

x

O 图(2)

A

x

O 图(3)

A

x

解: (1)设点 M 的横坐标为 x,则点 M 的纵坐标为-x+4(0<x<4,x>0,-x+4>0) ; 则:MC=∣-x+4∣=-x+4,MD=∣x∣=x; ∴C 四边形 OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8 ∴当点 M 在 AB 上运动时,四边形 OCMD 的周长不发生变化,总是等于 8; (2)根据题意得:S 四边形 OCMD=MC·MD=(-x+4)· x=-x2+4x=-(x-2)2+4 ∴ 四边形 OCMD 的面积是关于点 M 的横坐标 x(0<x<4)的二次函数,并且 当 x=2, 即当点 M 运动到线段 AB 的中点时, 四边形 OCMD 的面积最大且最大面 积为 4; (3)如图(2) ,当 0 < a ≤ 2 时, S = 4 ?

1 2 1 a = ? a2 + 4; 2 2 1 1 2 2 如图(3) ,当 2 ≤ a < 4 时, S = ( 4 ? a ) = ( a ? 4) ; 2 2

∴S 与 a 的函数的图象如下图所示: S 4· 2· · 2
1 S = ? a 2 + (0 < a ≤ 2) 4 2

S=

0

1 2 (a ? 4)(2 ≤ a < 4) 2 · a 4

3 28.(’09 绥化) 直线 y=- x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点,动点 P、Q 同时从 O 点出发, 4 同时到达 A 点,运动停止.点 Q 沿线段 OA 运动,速度为每秒 1 个单位长度,点 P 沿路线 D→B→A 运动. (1)直接写出 A、B 两点的坐标; (2)设点 Q 的运动时间为 t(秒),△OPQ 的面积为 S,求出 S 与 t 之间的函数关系式:

- 22 -

48 (3)当 S= 时,求出点 P 的坐标,并直接写出以点 0、P、Q 为顶点的平行四边形的第四 5 个顶点 M 的坐标. 解:(1)A(8,0),B(0,6) ∵ OA=8,OB=6 ∴ AB=10 8 ∵ 点 Q 由 O 到 A 的时间是 =8(秒) 1 6+10 =2(单位/秒) ∴ 点 P 的速度是 2 当 P 在线段 OB 上运动(或 0≤t≤3)时,OQ=t,OP=2t, ∴ S=t2 当 P 在线段 BA 上运动(或 3<t≤8)时,OQ=t,AP=6+10-2t=16-2t PD AP 48-6t 如图,作 PD⊥OA 于点 D,由 = ,得 PD= 5 BO AB 1 3 24 ∴ S= OQ·PD=- t2+ t 5 5 2 8 24 (3)P( , ) 5 5 28 24 12 24 12 24 M1( , ),M2( , ),M,(- ,- ). 5 5 5 5 5 5

- 23 -


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