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高中数学2-3函数的单调性课件北师大版必修


第二章





§3
函数的单调性

学习方法指导

知能自主梳理 方法警示探究

思路方法技巧

探索延拓创新

课堂巩固训练

课后强化作业

知能目标解读
1.理解函数单调性的概念. 2.学会运用单调性的定义判断和证明函数的单调性. 3.结合定义或根据函数图像,会求函数的单调区间.

重点难点点拨
重点:函数单调性概念及判断函数增减性的方法. 难点:综合运用相关知识(如不等式、因式分解、配方法、 有理化、 数形结合等)判断或证明函数的单调性及求函数单调区 间.

一、理解函数的单调性定义,要注意以下三个方面: 1.图形刻画 对于给定区间上的函数 f(x), 函数图像如从左向右连续上 升,则称函数在该区间上单调递增,函数图像如从左向右连 续下降,则称函数在该区间上单调递减. 2.定性刻画 对于给定区间上的函数 f(x), 如函数值随自变量的增大而 增大,则称函数在该区间上单调递增,如函数值随自变量的 增大而减小,则称函数在该区间上单调递减.

3.定量刻画,即定义 上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径. 二、应用单调性应注意以下几个方面: 1.函数的单调性是局部性质.它是对于定义域内的某个 区间而言的,有些函数在整个定义域内具有单调性,有些函 数在定义域的不同区间上单调性不同. 2.有些函数没有单调区间,或者它们的定义域就不是区 间.如 y=5x,x∈{1,2,3,4}.

3.函数单调性定义中的 x1、x2,有三个特征,一是同属 .. 一个 单调区间;二是任意性,即“任意取 x1、x2”,“任意” .. 二字决不能丢掉.证明单调性时更不可随意以两个特殊值替 代;三是有大小,通常规定 x1<x2(Δx=x2-x1>0);三者缺一不 可. 4.已知函数的单调性求函数中的参数范围时,常利用数 形结合的思想.

5 .一个函数出现两个或两个以上单调区间时,不能用 1 “∪”, 而常用“和”来表示, 如 y= 的单调减区间为(-∞, x 0)和(0,+∞). 三、判断函数单调性的常见方法: 1.定义法. 2.直接法. 运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、 二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出,直接判断函 数的单调性,常用到以下结论:

(1)函数 y=-f(x)与函数 y=f(x)的单调性相反. 1 (2)函数 f(x)恒为正或恒为负时,函数 y= 与 y=f(x)的 f?x? 单调性相反. (3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数,减函数+ 减函数=减函数等. 3.图像法. 根据函数图像的升、降情况进行判断.

四、用定义证明函数单调性的步骤: 1.取值.在函数的定义域的某一子区间 D 内任取两个不 等的变量 x1,x2,不妨设 x1<x2. 2.作差变形(或作商变形). 作差 f(x1)-f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法 向有利于判断差的符号方向变形. 3.定号.确定差 f(x1)-f(x2)的符号. 4.判断.根据定义得出结论.

知能自主梳理

1.函数的递增与递减 在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任 意两个数 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就称 函数 y=f(x)在区间 A 上是________,有时也称函数 y=f(x)在 区间 A 上是________.在函数 y=f(x)的定义域内的一个区间 A 上,如果对于任意两个数 x1,x2∈A,当________时,都有 ________,那么就称函数 y=f(x)在区间 A 上是减少的,有时 也称函数 y=f(x)在区间 A 上是________.

2.函数的单调区间 如果 y=f(x)在区间 A 上是增加的或减少的,那么称 A 为 ________.在单调区间上,如果函数是增加的,那么它的图 像是________;如果函数是________,那么它的图像是下降 的.对于函数 y=f(x)的定义域内的一个子集 A,如果对于任 意两数 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),就称函数 y =f(x)在数集 A 上是________. 在函数 y=f(x)在定义域的一个 子集 A 上,如果对于任意两数 x1,x2∈A,当 x1<x2 时,都有 ________,就称函数 y=f(x)在数集 A 上是________.

3.函数的单调性 如果函数 ____________________________ ,那么就称函 数 y=f(x)在这个子集上具有单调性.如果函数 y=f(x)在整个 定 义 域内 是 增加 的或是 减 少的 , 我们 分别称 这 个函 数 为 ________或________,统称为________.

[答案]

1.增加的

递增的

x1<x2

f(x1)>f(x2)

递减的 减

2.单调区间 少的

上升的

减少的

增加的

f(x1)>f(x2)

3.在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 减函数 单调函数

增函数

利用定义证明或判断函数的单调性
[例 1] 上递减. [分析] 按照函数单调性的定义进行证明. 9 (2012· 南阳高一检测)证明:函数 y=x+ 在(0,3] x

取值 → 作差 → 变形 → 判断符号 → 得结论

[证明]

设 0<x1<x2≤3,则有

9 9 y1-y2=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 9?x1-x2? =(x1-x2)- x1x2 9 =(x1-x2)(1-x x ). 1 2 ∵0<x1<x2≤3,

9 ∴x1-x2<0, >1, x1x2 9 即 1-x x <0, 1 2 ∴y1-y2>0,即 y1>y2, 9 ∴函数 y=x+ x在(0,3]上递减.

[方法总结]

1.判断函数单调性和证明是有区别的,证明

必须严格使用定义. 2.利用定义证明函数单调性的步骤.

判断函数 f(x)=-x3+1 的单调性,并加以证明. [分析] 先判断,后证明,判断时常结合常见的基本初等

函数的单调性.证明时现阶段只能用定义严格证明.

[解析]

设 t=x3,则 y=-t+1.

显然当 x 增大时,t 也增大,函数 t=x3 为增函数. 而 y=-t+1 为减函数, 故可判断 f(x)=-x3+1 是 R 上的减函数.

证明:设 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2.
3 ∴f(x1)-f(x2)=(-x3 + 1) - ( - x 1 2+1) 3 2 2 =x2 -x3 1=(x2-x1)(x2+x2x1+x1)

1 2 3 2 =(x2-x1)[(x2+2x1) +4x1]. 1 2 3 2 ∵x1<x2,∴x2-x1>0,(x2+ x1) + x1>0. 2 4 ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)=-x3+1 是 R 上的减函数.

求函数单调区间
[例 2] 求下列函数的单调区间.

(1)f(x)=-x2+3x-2; (2)f(x)=3|x|; (3)f(x)=-x2+2|x|+3; 1 (4)f(x)=1- x (x>0).

[分析]

求给定函数的单调区间通常采用以下方法: (1)

利用已知函数的单调性;(2)图像法;(3)定义法(利用单调性的 定义探讨).
[解析]
? 3?2 1 (1)f(x)=-?x-2? +4. ? ?

3 ∵y=f(x)是开口向下的抛物线,对称轴为 x=2,
? ?3 ? 3? ∴f(x)在?-∞,2?上是增加的,在?2,+∞?上是减少的. ? ? ? ?

∴f(x)的单调增区间是(0,+∞).

? ?3 ? 3? ∴f(x)的单调增区间是?-∞,2?, 单调减区间是?2,+∞?. ? ? ? ? ? ?3x ?x≥0?, (2)∵f(x)=3|x|=? ? ?-3x ?x<0?.

由一次函数的单调性可得 f(x)在(-∞,0)上是减少的,在 [0,+∞)上是增加的. 所以 f(x)的单调减区间是(-∞,0),单调增区间是[0,+ ∞).

2 ? - x +2x+3?x≥0?, ? (3)∵f(x)=? 2 ? ?-x -2x+3?x<0?.

其图像如图所示.

由此可知,y=f(x)在(-∞,-1],[0,1]上是增加的;y= f(x)在[-1,0],[1,+∞)上是减少的.

∴f(x)的单调增区间是(-∞,-1],[0,1],单调减区间是 [-1,0],[1,+∞) 1 1 x1-x2 (4)设 0<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=1-x -1+x = x x , 1 2 1 2 ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是增加的. ∴f(x)的单调增区间是(0,+∞).

[方法总结] 函数去处理.如 写出单调区间.

1.对于含有绝对值的函数,往往转化为分段
? ?x?x≥0? y=|x|=? ? ?-x?x<0?

在此基础上,画出图像,

2.利用图像法求函数的单调区间,应先画出图像,根据 图像的上升和下降的趋势写出单调区间.

求下列函数的单调区间: (1)y=|x|(x-1);(2)y=|x2-1|.
[解析] (1)y=|x|(x-1)

2 ? ?x -x ?x≥0?, =? 2 ? ?-x +x ?x<0?,

?1 ? 其图像如图所示, 由图像可得函数在(-∞, 0]和?2,+∞? ? ? ? 1? 上是增加的,在?0,2?上是减少的. ? ?

1 所以函数的单调增区间是(-∞,0]和[ ,+∞);单调减 2 1 区间是[0, ]. 2 (2)∵当 x2-1≥0 时,x≤-1 或 x≥1.
2 ? ?x -1 ?x≤-1或x≥1?, ∴y=? 2 ? ?-x +1 ?-1<x<1?.

画出函数 y=|x2-1|的图像如图所示. ∴函数 y=|x2-1|在(-∞,-1]和[0,1]上是减少的,在[- 1,0]和[1,+∞)上是增加的. 所以函数的单调增区间为[-1,0]和[1,+∞);单调减区 间为(-∞,-1]和[0,1].

利用单调性求函数最值
[例 3] 1 (2012· 阳江高一检测)已知函数 f(x)=x+ . x

(1)证明 f(x)在[1,+∞)上是增加的. (2)求 f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. [分析] 定义法证明单调性 → 求最小值 → 求最大值

[解析]

(1)设 1≤x1<x2,

1 1 则 f(x1)-f(x2)=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 x1x2-1 =(x1-x2)· . x1x2 ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.

(2)由(1)可知,f(x)在[1,4]上递增, ∴当 x=1 时,f(x)min=f(1)=2, 17 当 x=4 时,f(x)max=f(4)= 4 . 17 综上所述,f(x)在[1,4]上的最大值是 ,最小值是 2. 4

[方法总结]

(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的

重要方法,特别是当函数图像不易作出时,单调性几乎成为 首选方法. (2)函数的最值与单调性的关系 若函数在闭区间[a,b]上是减少的,则 f(x)在[a,b]上的 最大值为 f(a),最小值为 f(b); 若函数在闭区间[a,b]上是增加的,则 f(x)在[a,b]上的 最大值为 f(b),最小值为 f(a).

本例(3)中,将[1,4]改为(0,1],则 f(x)的最值情况如何?
[解析] 1 1 设 0<x1<x2≤1,则 f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ ) x x2
1 2

x1· x2-1 =(x1-x2)· x · x ∵0<x1<x2≤1,∴x1-x2<0,x1· x2-1<0, ∴f(x1)>f(x2), 即 f(x)在(0,1]上为减函数,所以 f(x)min=f(1)=2,无最大 值.

利用单调性比较大小
[例 4] 如果函数 f(x)=x2+bx+c,对任意实数 t 都有 f(2

+t)=f(2-t),试比较 f(1)、f(2)、f(4)的大小. [分析] 本题关键是弄清 f(2+t)=f(2-t)所表达的意思,

它表示数 2 加 t 或减 t, 函数值不变, 即 x=2 是这个二次函数 的对称轴.

[解析]

由题意知,f(x)的对称轴为 x=2,

故 f(1)=f(3). ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴f(2)<f(3)<f(4),即 f(2)<f(1)<f(4).
[方法总结] (1)要注意利用对称性, 将所比较的数值对应

的自变量转化到同一个单调区间上,才能进行比较,最后写 结果时要还原. (2)f(a+x)=f(a-x)?f(x)的图像关于 x=a 对称.

已知函数 f(x)=x2+2(1-2a)x+6 在(-∞,-1)上为减函 数. (1)求 f(2)的取值范围.(2)比较 f(2a-1)与 f(0)的大小.
[解析] (1)二次函数图像的对称轴为直线 x=2a-1,则

原函数在(-∞,2a-1)上为减函数,∴-1≤2a-1,∴a≥0. 而 f(2)=22+2(1-2a)×2+6=-8a+14, ∴f(2)=14-8a≤14. (2)∵当 x=2a-1 时,函数 y=f(x)取最小值, ∴f(2a-1)≤f(0).

利用单调性求参数取值范围
[例 5] ax+1 已知 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增加的, x+2

求 a 的取值范围.

[解析]

在区间(-2,+∞)上任取 x1,x2,且-2<x1<x2,

ax2+1 ax1+1 f(x2)-f(x1)= - . x2+2 x1+2

ax2x1+2ax2+x1+2-ax1x2-2ax1-x2-2 = ?x1+2??x2+2? ?x1-x2??1-2a? = ?x1+2??x2+2? ∵x1>-2,x2>-2,∴x1+2>0,x2+2>0. ∵f(x)在(-2,+∞)上是增加的, ∴f(x2)-f(x1)>0,∵x2-x1>0, 1 ∴2a-1>0,∴a>2.

[ 方法总结]

利用函数的单调性求参数的取值范围的步

骤:①把自变量“装在”定义域内;②找出 x1,x2 的关系, 得出函数的单调性,从而得出函数值之间的关系(注意也可逆 用);③最后再应用分类讨论、数形结合等思想解决问题.

如果函数 f(x)的定义域为{x|x>0},且 f(x)为增函数,f(x· y) =f(x)+f(y). 若已知 f(3)=1, 且 f(a)>f(a-1)+2.求 a 的取值范 围.
[解析]
?x ? ?x ? y?=f? ?+f(y), ∵f(x)=f?y· ? ? ?y?

?x? ∴f?y?=f(x)-f(y). ? ?

又∵f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,∴f(a)-f(a-1)>2,

? a ? ? ∴f? ?a-1?>2=f(3)+f(3)=f(9). ? ?

∵f(x)是定义域为{x|x>0}的增函数, ? ?a>0, ?a-1>0, ∴? ? a >9, ? ?a-1

9 ∴1<a<8.

9 ∴a 的取值范围是 1<a<8.

[例 6]

已知函数 f(x)对任意 x, y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x

2 +y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-3. (1)求证:f(x)是 R 上的减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. [分析] 函数单调性可利用单调性定义来证; 最值可利用

函数单调性来确定.

[解析]

(1)令 x=y=0,f(0)=0,令 x=-y,

可得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2, 则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0 时有 f(x)<0,∴f(x1-x2)<0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 由单调性定义知 f(x)在 R 上为单调递减函数.

(2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上是递减的, ∴f(x)在 x=-3 时取最大值,在 x=3 时取最小值.
? 2? ∴f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3×?-3?=-2. ? ?

∴f(-3)=-f(3)=2. 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2.

[方法总结] 函数 f(x)在区间[a,b]上具有单调性,则 f(x) 在[a,b]上的任一子区间上具有相同的单调性,这一性质常用 来求函数在某区间上的最值.

x2+2x+a 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的 取值范围.

[解析]

1 1 (1)当 a= 时,f(x)=x+ +2, 2 2x

任取 1<x1<x2,
? ? 1 1 f(x2)-f(x1)=x2+ +2-?x1+2x +2? 2x2 ? ? 1 ? 1 ? ?1- ? =(x2-x1)· 2x1x2? ?

1 1 ∵2x1x2>2,0<2x x <2, 1 2

1 ∴1-2x x >0. 1 2 又∵x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)>0, 即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在[1,+∞)上为增加的. 7 故 f(x)在[1,+∞)上的最小值为 f(1)=2. x2+2x+a 2 (2)在[1,+∞)上 f(x)= >0 恒成立,只要 x +2x x +a>0 恒成立,即 a>-x2-2x=-(x+1)2+1 恒成立,而 y= -(x+1)2+1 在[1,+∞)上的最大值为-3,故 a>-3.

名师辨误做答
求证:函数 f(x)=x3 在 R 上为增函数. [误解] 设 x1<x2∈(-∞,+∞),

3 2 2 则 f(x1)-f(x2)=x3 - x = ( x - x )( x + x x + x 1 2 1 2 1 1 2 2), 2 ∵x1-x2<0,x2 + x x + x 1 1 2 2>0,

∴f(x1)-f(x2)<0, ∴f(x)=x3 在(-∞,+∞)上是增函数.

[ 解析]

3 f(x1)-f(x2)=x3 - x 1 2 ,有些同学会把它变形为 (x1

2 2 2 -x2)(x2 + x x + x ) ,至此有 x - x <0 ,但 x + x x + x 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2看不出

是正还是负,这实际上是变形还不够;有些同学则认为,因
3 为 x1<x2,所以 x3 < x 1 2,故 f(x1)-f(x2)<0,这实际上是直接使用

了 f(x)=x3 递增这个结论,而本题就是要证该结论,这样做显
2 2 然是错误的. 正确解法是按第一种方法, 继续对 x1 +x1x2+x2 变

形.

[正解]

设任意取 x1、x2∈R 且 x1<x2,则

3 f(x1)-f(x2)=x3 - x 1 2 2 =(x1-x2)(x2 1+x1x2+x2)

?? 1 ?2 3 2 ? ?? =(x1-x2)? x1+2x2? +4x2? ?. ? ? ? ?

∵x1<x2,∴x1-x2<0. 又 x1 与 x2 不同时为零,

? 1 ?2 3 2 ∴?x1+2x2? + x2>0. 4 ? ?

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在 R 上为增函数. [点评]在用定义证明函数单调性时,f(x2)-f(x1)化简的最 终结果应尽量化为因式之积或平方和的形式,这样才更有利 于判定式子的正负,以确定 f(x2)-f(x1)的正负.

一、选择题 1.下列函数中,在(-∞,0)上为递增的是( A.f(x)=-2x+1 1 C.y=x
[答案]
[解析]

)

B.g(x)=|x-1| 1 D.y=- x

D
熟悉简单函数的图像, 并结合图像判断函数单调

性,易知选 D.

2.如果函数 f(x)在[a,b]上是增函数,那么对于任意的 x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中不正确的是( f?x1?-f?x2? A. >0 x1-x2 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) x2-x1 D. >0 f?x2?-f?x1?
[答案] [解析] C 由 f(x)为增函数,若 x1<x2,则 f(x1)<f(x2).

)

3. 设函数 f(x)=(2a-1)x+b 是 R 上的减函数, 则有( 1 A.a≥2 1 C.a>- 2
[答案]
[解析]

)

1 B.a≤2 1 D.a< 2

D
∵f(x)在 R 上为减函数,

1 ∴2a-1<0 即 a< ,故选 D. 2

二、填空题 4. 如图所示, 已知函数 y=f(x)的图像, 则函数的单调减区间为________.

[答案]
[解析]

3 (-∞,-2),(0,+∞)
根据单调减函数的概念与其图像形状可知: 函数

3 的单调减区间为(-∞,- ),(0,+∞). 2

5.函数 y=|x2-2x-3|的单调增区间是____________.
[答案] [-1,1],[3,+∞)

[解析] 出增区间.

y=|x2-2x-3|的图像如图所示, 由图像法直接得

三、解答题 6.(1)已知函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上 是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)已知函数 g(x)在 R 上为增函数,且 g(t)>g(1-2t),求 t 的取值范围. [分析] (1)先将函数解析式配方, 找出对称轴, 画出图形,

寻找对称轴与区间的位置关系求解. (2)充分利用函数的单调性,实现函数值与自变量不等关 系的互化.

[解析]

(1)f(x)=x2+2(a-1)x+2

=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2, ∴此二次函数的对称轴为 x=1-a. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a]. ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴对称轴 x=1-a 必须在直线 x=4 的右侧或与其重合. ∴1-a≥4,解得 a≤-3.

(2)∵g(x)在 R 上为增函数,且 g(t)>g(1-2t), 1 ∴t>1-2t,∴t>3, 1 即所求 t 的取值范围为( ,+∞). 3

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