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18学年高中数学三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象教学案新人教A版4180208396

1.5 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 [核心必知] 1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P49~P55 的内容,回答下列问题. (1)φ 对函数 y=sin(x+φ )的图象有什么影响? 提示:函数 y=sin(x+φ ),x∈R(其中 φ ≠0)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有 的点向左(当 φ >0 时)或向右(当 φ <0 时)平行移动|φ |个单位长度而得到. (2)ω (ω >0)对函数 y=sin(ω x+φ )的图象有什么影响? 提示: 函数 y=sin(ω x+φ ), x∈R(其中 ω >0 且ω ≠1)的图象, 可以看作是把 y=sin(x 1 +φ )的图象上所有点的横坐标缩短(当 ω >1 时)或伸长(当 0<ω <1 时)到原来的 倍(纵坐标 ω 不变)而得到的. (3)A(A>0)对函数 y=Asin(ω x+φ )的图象有什么影响? 提示:函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0 且 A≠1)的图象,可以看作是把 y=sin(ω x+φ ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的,函数 y=Asin(ω x+φ )的值域为[-A,A].最大值为 A,最小值为-A. (4)函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)中,A、ω 、φ 的物理意义各是什么? 2π ω 提示:A 是振幅, 是周期, 是频率,φ 是初相. ω 2π 2.归纳总结,核心必记 (1)参数 A、ω 、φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )图象的影响 ①φ 对函数 y=sin(x+φ )图象的影响 1 ②ω (ω >0)对函数 y=sin(ω x+φ )图象的影响 ③A(A>0)对函数 y=Asin(ω x+φ )图象的影响 (2)由函数 y=sin x 的图象得到函数 y=Asin(ω x+φ )的图象的途径 由函数 y=sin x 的图象通过变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图象有两种主要途径:“先 平移后伸缩”与“先伸缩后平移”. ①先平移后伸缩 ②先伸缩后平移 (3)函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)中,A、ω 、φ 的物理意义 ①简谐运动的振幅就是 A; 2π ②简谐运动的周期 T= ; ω 2 1 ω ③简谐运动的频率 f= = ; T 2π ④ω x+φ 称为相位; ⑤x=0 时的相位 φ 称为初相. [问题思考] ? π? (1)如何由 y=sin x 的图象得到 y=sin?x+ ?的图象? 4? ? π 提示:将 y=sin_x 的图象向左平移 个单位长度即可. 4 1 (2)如何由 y=sin x 的图象得到 y=sin 2x 和 y=sin x 的图象? 2 1 提示: 将 y=sin_x 的图象的横坐标变为原来的 , 即可得 y=sin_2x 的图象; 将 y=sin_x 2 1 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍,即可得 y=sin_ x 的图象. 2 1 (3)对于同一个 x,函数 y=2sin x,y=sin x,y= sin x 的函数值有什么关系? 2 1 提示:y=2sin_x 的函数值是 y=sin_x 的函数值的 2 倍,而 y= sin_x 的函数值是 y 2 1 =sin_x 的函数值的 倍. 2 [课前反思] (1)A、ω 、φ 对函数 y=Asin(ω x+φ )图象的影响: ; (2)由函数 y=sin x 的图象得到 y=Asin(ω x+φ )的图象的途径: ; (3)函数 y=Asin(ω x+φ )中,A、ω 、φ 的物理意义: . 3 [思考] 用“五点法”作正弦函数 y=sin x 和余弦函数 y=cos x 的图象时, “五点” 具体指哪些点? 名师指津: 用“五点法”作正弦函数 y=sin_x 的图象时, “五点”是指(0, 0), ? ?π ,1?, ? ?2 ? (π ,0),? ?3π ,-1?,(2π ,0);用“五点法”作余弦函数 y=cos_x 的图象时, “五点” ? ? 2 ? ?π ? ? 3π ? 是指(0,1),? ,0?,(π ,-1),? ,0?,(2π ,1). ?2 ? ? 2 ? 讲一讲 π? ? 1.用“五点法”画函数 y=2sin?3x+ ?的简图. 6? ? π 1? π ? [尝试解答] 先画函数在一个周期内的图象.令 X=3x+ ,则 x= ?X- ?,列表 6? 6 3? X 0 π - 18 0 π 2 π 9 2 π 5π 18 0 3π 2 4π 9 -2 2π 11π 18 0 x y 描点作图,再将图象左右延伸即可. 4 用“五点法”作函数 y=Asin(ω x+φ )图象的步骤 第一步:列表. ω x+ 0 φ - π 2 π - 2ω φ ω 3π 2 3π - 2ω φ ω -A π 2π π - ω φ ω 0 2π - ω φ ω 0 x φ ω 0 y A 第二步:在同一坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,得到一个周期内的图象. 练一练 ?x π ? 1.已知 f(x)=2sin? + ?. ?2 3 ? (1)在给定的坐标系内,用“五点法”作出函数 f(x)在一个周期内的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间; (3)求 f(x)的最大值和此时相应的 x 的值. 解:(1)列表: 5 x π + 2 3 0 2π 3 π 2 π 3 2 π 4π 3 0 3π 2 7π 3 -2 2π 10π 3 0 x f(x) 作图: - 0 π x π π 5π π (2)由 2kπ - ≤ + ≤2kπ + , 得 4kπ - ≤x≤4kπ + , k∈Z.所以函数 f(x) 2 2 3 2 3 3 5π π? ? 的单调递增区

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