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2019年人教A版选修2-2高中数学2.1合情推理与演绎推理2.1.2 导学案及答案

2.1.2 演绎推理 [学习目标] 1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系. [知识链接] 1.演绎推理的结论一定正确吗? 答 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围, 所以在演绎推理中, 只要前提和推理形式正确,其结论就一定正确. 2.如何分清大前提、小前提和结论? 答 在演绎推理中,大前提描述的是一般原理,小前提描述的是大前 提里的特殊情况,结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断,这与 平时我们解答问题中的思考是一样的,即先指出一般情况,从中取出 一个特例, 特例也具有一般意义. 例如, 平行四边形对角线互相平分, 这是一般情况; 矩形是平行四边形, 这是特例; 矩形对角线互相平分, 这是特例具有一般意义. 3.演绎推理一般是怎样的模式? 答 “三段论”是演绎推理的一般模式,它包括:(1)大前提——已 知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据 一般原理,对特殊情况做出的判断. [预习导引] 1.演绎推理 含义 特点 2.三段论 一般模式 大前提 小前提 结论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理,对特殊情况做出的判断 常用格式 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理 由一般到特殊的推理 M是P S是M S是P 要点一 用三段论的形式表示演绎推理 例 1 把下列演绎推理写成三段论的形式. (1)在一个标准大气压下,水的沸点是 100℃,所以在一个标准大气 压下把水加热到 100℃时,水会沸腾; (2)一切奇数都不能被 2 整除,2100+1 是奇数,所以 2100+1 不能被 2 整除; (3)三角函数都是周期函数, y=tanα 是三角函数, 因此 y=tanα 是 周期函数. 解 (1)在一个标准大气压下,水的沸点是 100℃,大前提 在一个标准大气压下把水加热到 100℃,小前提 水会沸腾.结论 (2)一切奇数都不能被 2 整除,大前提 2100+1 是奇数,小前提 2100+1 不能被 2 整除.结论 (3)三角函数都是周期函数,大前提 y=tanα 是三角函数,小前提 y=tanα 是周期函数.结论 规律方法 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论 中的大前提提供了一个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况, 两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可 省略小前提, 有时甚至也可大前提与小前提都省略. 在寻找大前提时, 可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 跟踪演练 1 试将下列演绎推理写成三段论的形式: (1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,海王星是太阳系中 的大行星,所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行; (2)所有导体通电时发热,铁是导体,所以铁通电时发热; (3)一次函数是单调函数,函数 y=2x-1 是一次函数,所以 y=2x- 1 是单调函数; (4) 等差数列的通项公式具有形式 an=pn+ q(p, q 是常数),数列 1,2,3,…,n 是等差数列,所以数列 1,2,3,…,n 的通项具有 an= pn+q 的形式. 解 (1)大前提:太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行; 小前提:海王星是太阳系里的大行星; 结论:海王星以椭圆形轨道绕太阳运行. (2)大前提:所有导体通电时发热; 小前提:铁是导体; 结论:铁通电时发热. (3)大前提:一次函数都是单调函数; 小前提:函数 y=2x-1 是一次函数; 结论:y=2x-1 是单调函数. (4)大前提:等差数列的通项公式具有形式 an=pn+q; 小前提:数列 1,2,3,…,n 是等差数列; 结论:数列 1,2,3,…,n 的通项具有 an=pn+q 的形式. 要点二 演绎推理的应用 例 2 正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长均为 a, D、 E 分别为 C1C 与 AB 的中 点,A1B 交 AB1 于点 G. (1)求证:A1B⊥AD; (2)求证:CE∥平面 AB1D. 证明 (1)连接 BD. ∵三棱柱 ABC-A1B1C1 是棱长均为 a 的正三棱柱, ∴A1ABB1 为正方形,∴A1B⊥AB1. ∵D 是 C1C 的中点, ∴△A1C1D≌△BCD,∴A1D=BD,∵G 为 A1B 的中点,∴A1B⊥DG, 又∵DG∩AB1=G,∴A1B⊥平面 AB1D. 又∵AD? 平面 AB1D,∴A1B⊥AD. (2)连接 GE,∵EG∥A1A,∴GE⊥平面 ABC. ∵DC⊥平面 ABC,∴GE∥DC, 1 ∵GE=DC= a,∴四边形 GECD 为平行四边形,∴CE∥GD. 2 又∵CE? 平面 AB1D,DG? 平面 AB1D, ∴CE∥平面 AB1D. 规律方法 (1)应用三段论解决问题时,应当首先明确什么是大前提 和小前提,但为了叙述的简洁,如果前提是显然的,则可以省略. (2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理,即一连串的三段论, 关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提,注意前一个推理 的结论会作为下一个三段论的前提. 2x-1 跟踪演练 2 求证: 函数 y= x 是奇函数, 且在定义域上是增函数. 2 +1 ?2x+1?-2 2 证明 y= =1- x , x 2 +1 2 +1 所以 f(x)的定义域为 R. f(-x)+f(x)=?1- ? ? 2 ? ? 2 ? ?+?1- x ? 2 +1? ? 2 +1? -x ? 2 ? 2 2 ? 2·2x? =2-? x + -x ?=2-? x + x ? ?2 +1 2 +1? ?2 +1 2 +1? 2?2x+1? =2- =2-2=0. 2x+1 即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 任取 x1,x2∈R,且 x1<x2. ? 2 ? ? 2 ? ?-?1- ? 则 f(x1)-f(x2)=?1- 2x1+1?

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