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等比数列基础习题选(附详细 解答)

等比数列基础习题选 一.选择题(共27小题)
1.(2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=

,则公比q=(  )

 A.

B. ﹣2

C. 2

D.

 
2.(2006?湖北)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=(  )

  A. 81

B. 27

C.

D. 243

  3.(2006?北京)如果﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,那么(  )
 A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9 D.b=﹣3,ac= ﹣9
 
4.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数
列,则

的值是(  )

 A.

B. ﹣

C.

D.

或﹣

 
5.正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的
前10项和是(  )

  A. 65

B. ﹣65

C. 25

D. ﹣25

 
6.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么a4等于(  )

  A. 8

B. 16

C. ±8

D. ±16

 
7.已知数列{an}满足

,其中λ为实常数,则数列{an}(  )

  A. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列

 B. 不可能是等差数列,但可能是等比数列

 C. 可能是等差数列,但不可能是等比数列

  D. 可能是等差数列,也可能是等比数列
 
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意n∈N*,点Pn(n,Sn) 都在直线y=3x+2上,则数列{an}(  )

 A.是等差数列不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列

 C. 是常数列

D. 既不是等差数列也不是等比数 列

 
9.(2012?北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是(  )

  A. a1+a3≥2a2

B.

 C. 若a1=a3,则a1=a2

D. 若a3>a1,则a4>a2

 
10.(2011?辽宁)若等比数列an满足anan+1=16n,则公比为(  )

  A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

 

11.(2010?江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则

an=(  )

 A.(﹣2)n﹣1 B.﹣(﹣2n ﹣1)

C.(﹣2)n D.﹣(﹣2)n

 
12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的

公比是(  )

  A. ﹣1

B. 2

C. 3

D. 4

 
13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lga3+lga4=(  )

  A. ﹣1

B. 1

C. 2

D. 0

 
14.在等比数列{bn}中,b3?b9=9,则b6的值为(  )

  A. 3

B. ±3

C. ﹣3

D. 9

 
15.(文)在等比数列{an}中,

,则tan(a1a4a9)=(  )

 A.

B.

C.

D.

 
16.若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3,则a6(a2+2a6+a10)=(  )

  A. 9

B. 6

C. 3

D. ﹣3

 
17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若

=3,则

=(  )

 A.

B.

C.

D. 1

 
18.在等比数列{an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则 a4+a5=(  )

  A. 16

B. 27

C. 36

D. 81

 

19.在等比数列{an}中a2=3,则a1a2a3=(  )

  A. 81

B. 27

C. 22

D. 9

 
20.等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16,log2a1+log2a2+… +log2a10=(  )

  A. 15

B. 10

C. 12

D. 4+log25

 
21.等比数列{an}中a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,则 a5a6a7=(  )

  A. 8

B. ±2

C. ﹣2

D. 2

 
22.在等比数列{an}中,若a3a4a5a6a7=243,则

的值为(  )

  A. 9

B. 6

C. 3

D. 2

  23.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等 差数列,则这两个数的和是(  )

 A.

B.

C.

D.

 

24.已知等比数列1,a2,9,…,则该等比数列的公比为(  )

  A. 3或﹣3

B. 3或

C. 3

D.

 
25.(2011?江西)已知数列{an}的前n项和sn满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么a10=(  )

  A. 1

B. 9

C. 10

D. 55

 

26.在等比数列{an}中,前7项和S7=16,又a12+a22+…+a72=128,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=(  )

  A. 8

B.

C. 6

D.

 
27.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若4a1,2a2,a3成等差数 列,则S4=(  )

  A. 7

B. 8

C. 16

D. 15

  二.填空题(共3小题)
28.已知数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,则此数列的一个通项公式
是 _________ .   29.数列

的前n项之和是 _________ .  
30.等比数列{an}的首项a1=﹣1,前n项和为Sn,若

,则公比q等于 _________ .  

参考答案与试题解析
  一.选择题(共27小题)
1.(2008?浙江)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=

,则公比q=(  )

 A.

B. ﹣2

C. 2

D.

解:∵{an}是等比数列,a2=2,a5=

设出等比数列的公比是q, ∴a5=a2?q3,∴

=

=

, ∴q=



 
2.(2006?湖北)在等比数列{an}中,a1=1,a10=3,则 a2a3a4a5a6a7a8a9=(  )

  A. 81

B. 27

C.

D. 243

分 由等比数列的性质知(a2a9)=(a3a8)=(a4a7)=(a5a6)

析: =(a1a10). 解答 解:因为数列{an}是等比数列,且a1=1,a10=3,
所以a2a3a4a5a6a7a8a9=(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6) =(a1a10)4=34=81,
3.(2006?北京)如果﹣1,a,b,c,﹣9成等比数列,那么(  )  A.b=3,ac=9 B.b=﹣3,ac=9 C.b=3,ac=﹣9 D.b=﹣3,ac=
﹣9
解:由等比数列的性质可得ac=(﹣1)×(﹣9)=9, b×b=9且b与奇数项的符号相同,∴b=﹣3,故选B
4.已知数列1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数
列,则

的值是(  )

 A.

B. ﹣

C.

D.

或﹣

分 由1,a1,a2,4成等差数列,利用等差数列的性质求出等差d的 析: 值,进而得到a2﹣a1的值,然后由1,b1,b2,b3,4成等比数
列,求出b2的值,分别代入所求的式子中即可求出值.
解 解:∵1,a1,a2,4成等差数列,
答: ∴3d=4﹣1=3,即d=1,
∴a2﹣a1=d=1,又1,b1,b2,b3,4成等比数列, ∴b22=b1b3=1×4=4,解得b2=±2,又b12=b2>0,∴b2=2,则

=

.故选A

5.正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的

前10项和是(  )

  A. 65

B. ﹣65

C. 25

D. ﹣25

分 由题意可得 析:
=a2a4 =1,解得 a3=1,由S3=13 可得 a1+a2=12,,则有a1 q2=1,a1+a1q=12,解得 q和a1的值, 由此得到an 的解析式,从而得到bn 的解析式,由等差数列的求和
公式求出它的前10项和.
解 解:∵正项等比数列{an}满足a2a4=1,S3=13,bn=log3an,
答: ∴
=a2a4 =1,解得 a3=1.由a1+a2+a3=13,可得 a1+a2=12. 设公比为q,则有a1 q2=1,a1+a1q=12,解得 q=

,a1=9.故 an =9×

=33﹣n. 故bn=log3an=3﹣n,则数列{bn}是等差数列,它的前10项和是

=﹣25,故选D.

 
6.等比数列{an}中,a6+a2=34,a6﹣a2=30,那么a4等于(  )

  A. 8

B. 16

C. ±8

D. ±16

分 要求a4,就要知道等比数列的通项公式,所以根据已知的两个等 析: 式左右两边相加得到a6,左右两边相减得到a2,根据等比数列的
性质列出两个关于首项和公比的关系式,联立求出a和q,得到等 比数列的通项公式,令n=4即可得到. 解 解:设此等比数列的首项为a,公比为q,
答: 由a6+a2=34,a6﹣a2=30两个等式相加得到2a6=64,解得a6=32; 两个等式相减得到2a2=4,解得a2=2. 根据等比数列的通项公式可得a6=aq5=32①,a2=aq=2②,把②代 入①得q4=16,所以q=2,代入②解得a=1,所以等比数列的通项公 式an=2n﹣1,则a4=23=8.故选A
 
7.已知数列{an}满足
,其中λ为实常数,则数列{an}(  )
  A. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列  B. 不可能是等差数列,但可能是等比数列  C. 可能是等差数列,但不可能是等比数列   D. 可能是等差数列,也可能是等比数列
分 由于 析:
=n2+n﹣λ,而 n2+n﹣λ 不是固定的常数,不满足等比数列的定 义.若是等差数列,则由 a1+a3=2 a2,解得 λ=3,此时,
,显然,不满足等差数列的定义,从而得出结论. 解 解:由

答: 可得

=n2+n﹣λ,由于 n2+n﹣λ 不是固定的常数,故数列不可能是等比 数列.若数列是等差数列,则应有 a1+a3=2 a2,解得 λ=3.此
时,

,显然,此数列不是等差数列,故选A.

 
8.已知数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意n∈N*,点Pn(n,Sn) 都在直线y=3x+2上,则数列{an}(  )

 A.是等差数列不是等比数列 B. 是等比数列不是等差数列

 C. 是常数列

D. 既不是等差数列也不是等比数 列

分 由点Pn(n,Sn)都在直线y=3x+2上,可得Sn=3n+2,再利用 析: an=Sn﹣Sn﹣1求解.

解 解:由题意,∵点Pn(n,Sn)都在直线y=3x+2上 答: ∴Sn=3n+2 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=3 当n=1时,a1=5
∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列 故选D

 
9.(2012?北京)已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是(  )

  A. a1+a3≥2a2

B.

 C. 若a1=a3,则a1=a2

D. 若a3>a1,则a4>a2

分 a1+a3=
析:
,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立;

,所以
;若a1=a3,则a1=a1q2,从而可知a1=a2或a1=﹣a2;若a3>a1, 则a1q2>a1,而a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,
故可得结论.
解 解:设等比数列的公比为q,则a1+a3=
答:
,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确;

,∴

,故B正确;
若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故
C不正确;
若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的
符号确定,故D不正确 故选B.

 
10.(2011?辽宁)若等比数列an满足anan+1=16n,则公比为(  )

  A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

分 令n=1,得到第1项与第2项的积为16,记作①,令n=2,得到第2项 析: 与第3项的积为256,记作②,然后利用②÷①,利用等比数列的通
项公式得到关于q的方程,求出方程的解即可得到q的值,然后把q 的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可.
解 解:当n=1时,a1a2=16①;当n=2时,a2a3=256②,
答: ②÷①得:

=16,即q2=16,解得q=4或q=﹣4, 当q=﹣4时,由①得:a12×(﹣4)=16,即a12=﹣4,无解,所以
q=﹣4舍去,则公比q=4.故选B

 
11.(2010?江西)等比数列{an}中,|a1|=1,a5=﹣8a2,a5>a2,则 an=(  )

 A.(﹣2)n﹣1 B.﹣(﹣2n ﹣1)

C.(﹣2)n D.﹣(﹣2)n

分 根据等比数列的性质,由a5=﹣8a2得到
析:

等于q3,求出公比q的值,然后由a5>a2,利用等比数列的通项公 式得到a1大于0,化简已知|a1|=1,得到a1的值,根据首项和公比 利用等比数列的通项公式得到an的值即可.
解 解:由a5=﹣8a2,得到
答:

=q3=﹣8,解得q=﹣2,又a5>a2,得到16a1>﹣2a1,解得a1> 0,所以|a1|=a1=1

则an=a1qn﹣1=(﹣2)n﹣1故选A

 
12.已知等比数列{an}中,a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1,则等比数列{an}的
公比是(  )

  A. ﹣1

B. 2

C. 3

D. 4

分 根据等比数列的通项公式化简已知的两等式,得到关于首项和公

析: 比的两个方程,分别记作①和②,把①提取q后,得到的方程记作 ③,把②代入③即可求出q的值.
解 解:由a6﹣2a3=2,a5﹣2a2=1得:
答:

,由①得:q(a1q4﹣2a1q)=2③,把②代入③得:q=2.故选B

 
13.正项等比数列{an}中,a2a5=10,则lga3+lga4=(  )

  A. ﹣1

B. 1

C. 2

D. 0

分 等比数列的定义和性质,得到 a3a4=10,故有 析: lga3+lga4=lga3a4=lg10=1.

解 解:∵正项等比数列{an}中,a2a5=10,∴a3a4=10, 答: ∴lga3+lga4=lga3a4=lg10=1,故选B.

 
14.在等比数列{bn}中,b3?b9=9,则b6的值为(  )

  A. 3

B. ±3

C. ﹣3

D. 9

分 析:

在等比数列{bn}中,由b3?b9=b62=9,能求出b6的值.

解 答:

解:∵在等比数列{bn}中,b3?b9=b62=9,∴b6=±3.故选B.

 
15.(文)在等比数列{an}中,

,则tan(a1a4a9)=(  )

 A.

B.

C.

D.

分由

析:
,根据等比数列{an}的通项公式得a1a4a9=

,再结合三角函数的性质可求出tan(a1a4a9)的值.
解 解:∵ 答:
,∴a1a4a9=

,∴tan(a1a4a9)=

.故选B.

 
16.若等比数列{an}满足a4+a8=﹣3,则a6(a2+2a6+a10)=(  )

  A. 9

B. 6

C. 3

D. ﹣3

分 根据等比数列的性质若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有
析: aman=apaq可得a6(a2+2a6+a10)=(a4+a8)2,进而得到答
案.
解 解:由题意可得:在等比数列{an}中,若m,n,p,q∈N*,且 答: m+n=p+q,则有aman=apaq.
因为a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6a6+a10a6,所以 a6a2+2a6a6+a10a6=(a4+a8)2=9.故选A.
 
17.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若

=3,则

=(  )

 A.

B.

C.

D. 1

分 首先根据等比数列的前n项和对 析:
=3进行化简,求出q3,进而即可求出结果.
解 解:∵ 答:
=3,∴

整理得,1+q3=2,∴q3=2


=

故选B.

 
18.在等比数列{an}中,an>0,a2=1﹣a1,a4=9﹣a3,则 a4+a5=(  )

  A. 16

B. 27

C. 36

D. 81

分 首先根据等比数列的性质求出q=3和a1=的值,然后代入 析: a4+a5=a1q3+a1q4=即可求出结果.

解 答:

解:∵a2=1﹣a1,a4=9﹣a3∴a1q+a1=1

①a1q3+a1q2=9



两式相除得,q=±3∵an>0∴q=3 a1=

∴a4+a5=a1q3+a1q4=27故选B.

19.在等比数列{an}中a2=3,则a1a2a3=(  )

  A. 81

B. 27

C. 22

D. 9

分 析:

由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,结合题意即可得到答案.

解 答:

解:由等比数列的性质可得:a1a2a3=a23,因为a2=3,所以

a1a2a3=a23=27.故选B.

20.等比数列{an}各项均为正数且a4a7+a5a6=16,log2a1+log2a2+… +log2a10=(  )

  A. 15

B. 10

C. 12

D. 4+log25

分 先用等比数列{an}各项均为正数,结合等比数列的性质,可得 析: a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>0,从而a1a2a3…a9a10=
(a5a6)5,然后用对数的运算性质进行化简求值,可得正确选
项.
解 解:∵等比数列{an}各项均为正数 答: ∴a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6>
0∵a4a7+a5a6=16∴a5a6=a4a7=8
根据对数的运算性质,得
log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1a2a3…a9a10) =log2(a5a6)5=log2(8)5=15

∵(8)5=(23)5=215 ∴log2(8)5=log2215=15故选A

21.等比数列{an}中a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,则 a5a6a7=(  )

  A. 8

B. ±2

C. ﹣2

D. 2

分 根据等比数列的性质得到第6项的平方等于第4项与第8项的积,又
析: 根据韦达定理,由a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根即可得到第4项
与第8项的积,进而求出第6项的值,然后把所求的式子也利用等 比数列的性质变为关于第6项的式子,把第6项的值代入即可求出 值.

解 答:

解:根据等比数列的性质得:a62=a4a8,

又a4,a8是方程x2+3x+2=0的两根,得到a4a8=2,则a62=2,解得

a6=±


则a5a6a7=(a5a7)a6=a63=±2

.故选B
22.在等比数列{an}中,若a3a4a5a6a7=243,则

的值为(  )

  A. 9

B. 6

C. 3

D. 2

分 先利用等比数列通项的性质,求得a5=3,再将
析:

化简,即可求得
的值.
解 解:∵等比数列{an}中,若a3a4a5a6a7=243,
答: ∴
∴a5=3
设等比数列的公比为q ∵
=

= ∴

=3 故选C.

点 本题重点考查等比数列通项的性质,考查计算能力,属于基础 评: 题.

  23.在3和9之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等 差数列,则这两个数的和是(  )

 A.

B.

C.

D.

考 等差数列的性质;等比数列的性质.501974 点:
专 计算题.

题: 分 根据题设条件,设中间两数为x,y,由3,x,y成等比数列,知
析: x2=3y,由x,y,9等比数列,知2y=x+9,列出方程组
,从而求得这两个数的和. 解 解:设中间两数为x,y, 答: 则
,解得

,所以

=11

.故选C.

 

24.已知等比数列1,a2,9,…,则该等比数列的公比为(  )

  A. 3或﹣3

B. 3或

C. 3

D.

分 析:

由等比数列的通项公式可得9=1×a4,解得

a2=3,从而得到公比.

解 答:

解:由题意可得

9=1×a4,∴a2=3,故公比为

=3, 故选 C.


评: 本题考查等比数列的通项公式,求出a2的值,是解题的关键.

 
25.(2011?江西)已知数列{an}的前n项和sn满足:sn+sm=sn+m,且 a1=1,那么a10=(  )

  A. 1

B. 9

C. 10

D. 55

分 根据题意,用赋值法,令n=1,m=9可得:s1+s9=s10,即s10﹣ 析: s9=s1=a1=1,进而由数列的前n项和的性质,可得答案.
解 解:根据题意,在sn+sm=sn+m中, 答: 令n=1,m=9可得:s1+s9=s10,即s10﹣s9=s1=a1=1,
根据数列的性质,有a10=s10﹣s9,即a10=1,故选A.

26.在等比数列{an}中,前7项和S7=16,又a12+a22+…+a72=128,则 a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=(  )

  A. 8

B.

C. 6

D.

分 把已知的前7项和S7=16利用等比数列的求和公式化简,由数列 析: {an2}是首项为a1,公比为q2的等比数列,故利用等比数列的求和
公式化简a12+a22+…+a72=128,变形后把第一个等式的化简结果
代入求出

的值,最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简,把前六 项两两结合后,发现前三项为等比数列,故用等比数列的求和公 式化简,与最后一项合并后,将求出

的值代入即可求出值. 解

答: 解:∵S7=

=16,∴a12+a22+…+a72=

=
?
=128, 即
=8,则a1﹣a2+a3﹣a4+a5﹣a6+a7=(a1﹣a2)+(a3﹣a4)+(a5 ﹣a6)+a7 =a1(1﹣q)+a1q2(1﹣q)+a1q4(1﹣q)+a1q6=

+a1q6
=

=8.故选A

 
27.等比数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,若4a1,2a2,a3成等差数 列,则S4=(  )

  A. 7

B. 8

C. 16

D. 15

分 利用a1=1,4a1,2a2,a3成等差数列,求得等比数列的公比,即

析: 可求出S4的值.
解 解:设等比数列的公比为q,则
答: ∵a1=1,4a1,2a2,a3成等差数列,∴4q=4+q2, ∴q=2∴S4=1+2+4+8=15故选D.
二.填空题(共3小题)
28.已知数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3,则此数列的一个通项公式 是 2n+1﹣3 .
分 由a1=1,an=2an﹣1+3,可得an+3=2(an﹣1+3)(n≥2),从而 析: 得{an+3}是公比为2,首项为4的等比数列. 解 解:∵数列{an}中,a1=1,an=2an﹣1+3, 答: ∴an+3=2(an﹣1+3)(n≥2),
∴{an+3}是公比为2,首项为4的等比数列, ∴an+3=4?2n﹣1, ∴an=2n+1﹣3. 故答案为:2n+1﹣3.
29.数列
的前n项之和是 
 .
专 计算题. 题: 分 利用分组求和,然后结合等差数列与等比数列的求和公式即可求 析: 解

解 解:∵Sn=
答:
=(3+4+…+n+2)
=
=
=
故答案为:
 
30.等比数列{an}的首项a1=﹣1,前n项和为Sn,若
,则公比q等于   . 考 等比数列的性质;等比数列的前n项和.501974 点: 专 计算题. 题: 分 利用数列前n项和的定义及等比数列通项公式 得出 析:

=1+q5=
,解出q即可.
解 解:∵{an}是等比数列,由数列前n项和的定义及等比数列通项公 答: 式得S10=(a1+a2+…a5)+(a6+a7+…+a10)=S5+q5(a1+a2+
…a5)=(1+q5)S5∴
=1+q5=
,q5=
,q=
, 故答案为:
. 点 本题主要考查等比数列前n项和的计算、通项公式.利用数列前n 评: 项 定义,避免了在转化
时对公比q是否为1的讨论.  


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