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上海黄浦区2013年4月高三二模数学

一、选择题(共 8 个小题,每小题 5 分,满分 40 分;下列各小题的四个答案中只有一个是正确 的,请把唯一正确答案的代号填在答题卡的相应表格中) 1.若集合 ,则 是( ) A C B D

2.已知复数 ,若 ,则实数 的值是( ) A 2或6 B 2 C 6或 D 9

3.已知 , ,则 ( ) A B C D

4.“ ”是“不等式 在 上恒成立”的( ) A 充分不必要条件 C 充要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件

5.函数 的最大值为 ,最小值为 ,则实数 的取值范围是( ) A B C D

6.已知 是首项为 1 的等比数列, 是 的前 项和,且 ,则数列 的前 5 项和为( ) A 或5 B 或5 C D

7.已知命题: :函数 在 为增函数, :函数 在 为减函数,则在命题 : , : , : 和 : 中,真 命题是 A , B , C , D ,

8.在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 的所有整数组成一个“类”,记为 ,即 , =0,1,2,3,4。 给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];

④“整数 a,b 属于同一?类?”的充要条件是“a-b∈[0]. 其中,正确结论的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题(满分 30 分;把答案填在答题卡中相应的空格中) (一)必做题(9~13 题) 9.角 终边上一点 ,则 10.不等式 的解集为 11.若 的展开式中 的系数是 ,则

12.将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组,绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率 之比为 2:3:4:6:4:1,且前三组数据的频数之和等于 27,则 n 等于 13.若命题 是假命题,则实数 的取值范围是 (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14.如图, 与圆 相切点 , 为圆 的割线,并且 不过圆心 ,已知 , , ,则 圆 的半径等于 . .

15. 已知直线 C1 (t 为参数) ,圆 C2 ( 为参数) , 则 C1 被 C2 所截得的弦长为 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 16. (13 分)已知函数 的图像上经过点 ,且最高点与最低点之间的最短距离为 . (1)求 ; (2)设 , ,求 的值. 17. (14 分)甲、乙两名同学在 5 次英语口语测试中的成绩统计如图 2 的茎叶图所示. ⑴现要从中选派一人参加英语口语竞赛,从两同学的平均成绩和方差分析,派谁参加更合适; ⑵若将频率视为概率,对学生甲在今后的三次英语口语竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于 80 分的次数为 ,求 的分布列及数学期望 . (注:样本数据 , ,…, 的方差 ,其中 表示样本均值) 18. (14 分))三棱柱 的直观图及三视图(主视图和俯视图是正方形,左视图是等腰直角三角形) 如图所示, 为 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求证: 平面 ; (3)求二面角 的正切值.

19. (14 分)已知直线 经过椭圆 : ( )的一个顶点 和一个焦点 . ⑴求椭圆的离心率; ⑵设 是椭圆 上动点,求 的取值范围,并求 取最小值时点 的坐标. 20. (13 分)已知函数 ( , 是不同时为零的常数) ,其导函数为 . (1)当 时,若不等式 对任意 恒成立,求 的取值范围; (2)求证:函数 在 内至少存在一个零点.

21. (14 分)数列 的前 n 项和记为 Sn, ,点(Sn, )在直线 上, n∈N*. (1)若数列 是等比数列,求实数 t 的值; (2)设 ,在(1)的条件下,求数列 的前 n 项和 ; (3)设各项均不为 0 的数列 中,所有满足 的整数 i 的个数称为这个数列 的“积异号数”,令 ( ) , 在(2)的条件下,求数列 的“积异号数”.


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