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《金版学案》2014高考总复习(人教新课标理科)配套精讲课件第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第三节_图文


第十章 计数原理、概率、 随机变量及其分布

第三节

排列与组合(二)

考 纲 要 求

能综合运用排列与组合知识解决简单的实际问题.

课 前 自 修
知识梳理

1.排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可 能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑 选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要 考虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元

素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思维是
“先组,后排”.

2.解排列组合的应用题,要注意四点: (1)仔细审题,判断是组合问题还是排列问题;要按元素 的性质分类,按事件发生的过程进行分步. (2)深入分析、严密周详,注意分清是乘还是加,既不少 也不多,辩证思维,多角度分析,全面考虑,这不仅有助于提 高逻辑推理能力,也尽可能地避免出错. (3)对于附有条件的比较复杂的排列组合应用题,要周密 分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成若干简单的基本 问题后应用分类计数原理或分步计数原理来解决. (4)由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验 证,因此在检查结果时,应着重检查所设计的解决问题的方案 是否完备,有无重复或遗漏,也可采用多种不同的方法求解, 看看是否相同.在对排列组合问题分类时,分类标准应统一, 否则易出现遗漏或重复.

基础自测 1.(2012· 佛山市南海区摸底)甲、乙2人从4门课程中各选 修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )

A.6种
C.24种

B.12种
D.30种

答案:C

2.(2012· 新课标全国卷) 将2名教师,4名学生分成2个小 组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1 名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( A.12种 C.9种 B.10种 D.8种 )

解析:分别从2名教师中选1名,4名学生中选2名安排到
甲地参加社会实践活动即可,则乙地就安排剩下的教师与学
2 生,故不同的安排方法共有C1 =12种.故选A. C 2 4

答案:A

3.(2011· 福州市调研)为了迎接2011年深圳大运会,现从6
名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动,每 人一天,要求星期天有2人参加,星期五、星期六各有1人参加, 则不同的选派方案共有________种(用数字作答). 答案:180

4.(2011· 长沙市调研)某高三学生希望报名参加某6所高 校中的3所学校的自主招生考试,由于其中两所学校的考试时 间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同

的报考方法种数是________(用数字作答).
答案:16

考 点 探 究
考点一
用定义法求组合数

【例1】

(1)方程x+y+z=9共有n组正整数解,则n等于

_____________. (2)10名战士站成一排,从中任选3个互不相邻的战士去执行 一项任务,则不同的选派方法的种数是______________. 解析:(1)将9个1摆成一个横排,在除两端外侧的8个空

当中放上两个“+”号,将9个1分成三组,左、中、右三组
2 中1的个数,分别为x,y,z的值,所以共有 C8

=28组解.

(2)问题可理解为:7个人站在一排,现有3人插队,但不
相邻,共有多少种选位方法?每选三个位置算1种选法.因为
3 7人前后共有8个空当,所以共有 C8 =56种不同的选法.

答案:(1)28

(2)56

点评:组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺 序,解决有关组合数计数问题时,关键是理解所取的元素 在分配中没有顺序或只有一种顺序.

变式探究 1.(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂 台赛,当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果,则甲方获

胜的比赛结果共有________种可能.
(2)20个相同的小球,全部装入编号为1,2,3的3个盒子里,

每个盒子内所放的球数不小于盒子的编号数,则共有________
种不同的放法.

解析:(1)一方获胜至少要下5盘棋,至多要下9盘棋,问题
可理解为:在9盘对局中,甲方有且只有5盘对局获胜,则甲方 获得比赛胜利,所以共有C5 =126种可能. 9 (2)首先在2号盒内放1个球,在3号盒内放2个球,然后将余 下的17个球摆成一横排,用两块隔板将其分割成三组,每组至 少有1个球,再将三组球分别放入3个盒子里即可.因为17个球
2 除两端外侧共有16个空当,所以共有C16 =120种不同放法.

答案:(1)126

(2)120

考点二

结合两个计数原理求组合数 学校资料室有相同的物理书3本,历史书2本,

【例2】

数学书4本,分别借给4个理科学生和3个文科学生,每人限借

与本学科相关的书1本,求共有多少种不同的借法?
解析:依据题意,至少有1个文科学生和1个理科学生借数 学,分为三大类:

①仅有1个文科学生借数学,则对另外3本数学书可能只有
1个理科学生借,也可能有2个理科学生借,还可能有3个理科学
1 + 2 + 3 )种方法; 生借,所以共有 C1 ( C4 C4 3 C4

②有2个文科学生借数学,则对另外2本数学书可能只有1个 2 2 理科学生借,也可能有2个理科学生借,所以共有C3 ( C1 + ) C 4 4 种方法; ③3个文科学生都借数学,另一本数学借给1个理科学生, 有C种方法.
1 1 2 2 1 2 1 由分类计数原理,共有C3 (C4 +C4 +C3 ) + C (C + C ) + C 4 3 4 4 4 =76种.

点评:实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理 来求出.在每类或每步计数中,如果能用组合数公式计数就直 接按组合数公式计算.

变式探究

2.(2012· 山东卷)现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、 蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同 一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )
A.232 B.252 C.472 D.484

解析:(法一)(排除法)先从16张卡片选3张,然后排除所取3 3 2 1 张同色与红色的为2张的情况,故共有 C3 - 4C - C 16 4 4C12 =560 -88=472种.故选C.
(法二)(直接法)有红色卡片的取法有 C4C3C4C4+C4C3C种, 4 1 1 1 2 1 不含红色卡片的取法有 种,总共不同取法有 C1 C C + C 4 4 4 3C 4C8 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 =472 种.故选 C. C C C C + C C C + C C C + C C C + C 4 3 4 4 4 3 4 4 4 4 3 4 4 3C4C8 答案:C
1 2 1 1 1 1 2

考点三

用间接法求组合数

【例3】 在∠AOB的OA边上取5个点,在OB边上取6个点 (均不包括O点),连同O点共12个点,现任取其中3个点为顶点作 三角形,可作的三角形的个数有( ) A.90 B.135 C.165 D.185

解析:(法一)第一类:从OA边上(不包括O)任取一点与OB 1 1 边上(不包括O)中任取一点,与O点可构造一个三角形有 =30 C5 C· 6 个;第二类:从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包 2 括O)中任取两点,可构造一个三角形,有C1 · =75个;第三 C 5 6 类:从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取 2 1 C C 一点,可构造一个三角形,有 5 · 6 =60个.由加法原理共 有N=30+75+60=165个三角形.故选C.

3 (法二)从 12个点中任取三点共有C12 =220个,其中三点

均在射线OA(包括 O点),有C=20个,三点均在射线OB(包括 O 点),有 C3 =35个.所以,三角形的个数为N=220-20-35=
7

165个.故选C.
答案:C 点评:对有限制条件的计数问题,一是可以根据是限制 “元素”还是“位置”来分类,再根据分类与分步来计算;二 是转化为一些基本的组合问题模型,利用间接法求解,如本题 用的是“正难则反”的思路.

变式探究

3.从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组. (1)选2名男生和3名女生,且女生甲必须入选的方法数为 ________; (2)至多选4名女生,且男生甲和女生乙不同时入选的方 法数为________.

除甲外的4名女生中选2人,有 C4 种选法.由分步计数原理,
2 共有 C2 C 4 4

解析:(1)(法一)先从4名男生中选2人,有C2 种选法,再从 4
2

=36种.

2 3 3 选法,其中女生甲不入选的方法有C2 种.所以共有 - C 4 C5 4 C4 3 C2 C 4 4=36种.

3 (法二)从4名男生中选2名,从5名女生中选3名,共C2 种 C 4 5

(2)从9人中任选5人的选法有 C9 种.其中5名女生都入选的
3 选法有 C5 种,男生甲和女生乙同时入选的选法有 种.所 C 5 7 5 3 以符合条件的选法共有 - =90种. C9 - C5 C 5 7

5

答案:(1)36

(2)90

考点四

排列组合应用题

【例4】 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同 的分配方式?

(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.

思路点拨:这是一个分配问题,解题的关键是搞清事件是

否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的
重复或遗漏. 解析:(1)无序不均匀分组问题.先选1本有 C1 种选法; 6 再从余下的5本中选2本有 C3 种选法;最后余下3本全选有 3 种方法.故共有 C1 C2 C3 3
6 5

=60种.

(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人, 在第(1)题基础上,还应考虑再分配,共有 种.
2 3 =A 360 C1 C 6 5 C3 3 3

2 2 2 (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是C6 C4 C2 种方

法,但是这里出现了重复.不妨记6本书为A,B,C,D,E, F,若第一步取了AB,第二步取了CD,第三步取了EF,记
2 2 2 C 该种分法为(AB,CD,EF),则 种分法中还有 (AB, 2 6 C4 C

EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,

AB),(EF,AB,CD),共
2 2 C2 C 6 = 4C 2 种. 15 3 A3

3 种情况,而这 A3

3 种情况仅是 A3

AB,CD,EF的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配 方式有

(4)有序均匀分组问题.在第(3)题基础上再分配给3个人,
2 2 2 2 2 2 C 共有分配方式 6C4C2 ·A3 = =90种. C 3 6C4C2 3 A3 4 1 1 C (5)无序部分均匀分组问题.共有 6C2C1 =15种. A2 2

(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)题基础上再分配给3个
4 1 1 人,共有分配方式 C6C2C1 A2 2

·A3 =90种. 3

(7)直接分配问题.甲选1本有 C6 种方法,乙从余下5本
4 中选1本有 C1 种方法,余下 4 本留给丙有 种方法.共有 C 4 5 1 4 C1 C C 6 5 4 =30种.

1

点评:均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是 组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组 是均匀分组还是不均匀分组.无序均匀分组要除以均匀组数 的阶乘数;还要充分考虑到是否与顺序有关,有序分组要在 无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

变式探究

4.从6名短跑运动员中选4人参加4×100 m接力,如果其
中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,则参赛方法的种数是 __________. 解析:问题分成三类:①甲、乙两人均不参加,有 A ②甲、乙两人有且仅有一人参加,有 人均参加,其中甲跑第四棒有 有
4 4 种;

CA

2 3 种,甲跑第二棒或第三棒 4 3

1 3 种;③甲、乙两 C1 A 2 3A4

1 2 种.由分类计数原理,共 C1 A 2 2 A4

1 1 3 A4 + C 4 2A3A4+

3 1 1 2 =252种. (C2 A + C 4 3 2C2A4)

答案:252

考点五

选举中的排列与组合问题 有5个男生和3个女生,从中选取5人担任5门不同

【例5】

学科的科代表,求分别符合下列条件的选法数: (1)有女生但人数必须少于男生; (2)某女生一定要担任语文科代表; (3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表; (4)某女生一定要担任语文科代表,某男生必须担任科代表, 但不担任数学科代表.

2 4 1 解析:(1)先取后排,先取有C3 + 种,后排有 C C 5C3 5 3
5 3 2 4 1 种,共有 ( + ) A5 A C5C3 C5C3 5 =5 400种. 5 4 4 (2)除去该女生后先取后排: A 4=840种. C7 4 4 1 A C C (3)先取后排,但先安排该男生: 7 4 4 =3 360种.

(4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有 C3 种, 6
1 再安排该男生有 C3 3 种,其余3人全排有 A3 3 1 种,共 C6 C3 A3 3

=360种. 点评:特殊元素或特殊位置首先考虑.

变式探究 5.(2011· 皖北四市模拟)2名男生和3名女生共5名同学站成 一排,若男生甲不站两端,3名女生中有且只有2名女生相邻, 则不同排法的种数是( )

A.60

B. 48

C. 42

D. 36

解析:(法一)从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A 2 共有 =6种不同排法),剩下1名女生记作B,2名男生分别 C2 A 3 2 记作甲、乙,则男生甲必须在A,B之间(若甲在A,B两端, 则为使A,B不相邻,只有把男生乙排在A,B之间,此时就 不能满足男生甲不在两端的要求)此时共有6×2=12种排法(A 左B右和A右B左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置 插入乙,所以,共有12×4=48种不同排法.

(法二)同法一,从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A(A 2 2 C 共有 3 A 2 =6种不同排法),剩下1名女生记作B,2名男生分别记 作甲、乙.为使男生甲不在两端可分三类情况: 第一类:女生A,B在两端,男生甲、乙在中间,共有 2 2 6 A2 A2=24种排法;
第二类:“捆绑”A和男生乙在两端,则中间女生B和男生 甲只有1种排法,此时共有 62 =12种排法; A 2 第三类:女生B和男生乙在两端,同样中间“捆绑”A和男 2 A 生甲也只有1种排法,此时共有 6 2 =12种排法. 三类之和为24+12+12=48种.故选B. 答案:B

课时升华
对于解答排列与组合的综合问题时应注意: 1.对排列、组合的应用题应遵循两个原则:一是按元 素的性质进行分类;二是按事件发生的过程进行分步. 2.对于有附加条件的排列组合应用题,通常从三个途 径考虑:

(1)以元素为主考虑,即先满足特殊元素的要求,再考 虑其他元素.
(2)以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考 虑其他位置. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去 不合要求的排列或组合数.

3.关于排列、组合问题的求解,应掌握以下基本方法与

技巧:
(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、

组合混合问题先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问
题插空处理;(6)定序问题排除法处理;(7)分排问题直排处理; (8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难 则反,等价转化.

感 悟 高 考
品味高考 1.(2012· 陕西卷)两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜, 决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视

为不同情形)共有 (
A.10种

)
B.15种

C.20种

D.30种

解析:依题意知比赛局数至少为3局,至多为5局.依甲 赢计算:打3局结束甲全胜只有1种;打4局结束甲前3局赢2局, 第4局必胜有
2 种;打 5局结束甲前4局赢2局,第5局必胜有 C3 2 ×1=C 6种.故甲胜共有 10种,同样乙胜也有10种,所以共有 4

20种.故选C.
答案:C

2.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色,当n≤4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色 方案如图所示:

由此推断,当n=6时,黑色正方形互不相邻的着色方案共 有________种,至少有2个黑色正方形相邻的着色方案共有

________种(结果用数值表示).
解析: (1)以黑色正方形的个数分类:①若有3个黑色正方

形,则有 C3 =4种;②若有2个黑色正方形,则有 C5=10种; 4
③若有1个黑色正方形,则有 C1 =6种;④若无黑色正方形,则 6 有1种.所以共有4+10+6+1=21种.

2

(2)至少有2个黑色正方形相邻包括:有2个黑色正方形相邻,

有3个黑色正方形相邻,有4个黑色正方形相邻,有5个黑色正
方形相邻,有6个黑色正方形相邻等几种情况.①只有2个黑色 正方形相邻,有 形相邻,有 有
2 + A 3 2 + A4

1 = 23种;②只有3个黑色正方 C 5

2 1 1 + + = 12种;③只有4个黑色正方形相邻, A C C 3 4 2 1 1 + = 5 种;④只有 5 个黑色正方形相邻,有 = 2 种; C1 C C 2 3 2

⑤只有6个黑色正方形相邻,有1种.故共有23+12+5+2+1
=43种. 答案:21 43

高考预测
1.(2012· 济南市模拟)如下图所示,若使电路接通灯亮, 则开关不同的开闭方式有( )

A.11种

B.20种

C.21种

D.12种

2 3 解析:若前一组开关只接通一个,则后一组有C1 + + C C 3 3 3 =7种,此时有2×7=14种.若前一组开关接通两个,则后一组 1 2 3 有C3 +C3+ C3 =7种,所以总共有14+7=21种.故选C.

答案:C

2.(2012· 深圳高级中学期末)值域为{2,5,10},其对应关系 为y=x2+1的函数的个数( ) A.1 B.27 C.39 D.8

解析:分别由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得x=±1, x=±2,x=±3由函数的定义,定义域中元素的选取分四种情 况: 1 1 1 C ①取三个元素:有C2 2 C2=8种; 1 ②取四个元素:先从±1,±2,±3三组中选取一组,有C3 1 1 1 1 种,再从剩下的两组中选两个元素 C1 种,故共有 C C C= C 2 2 3 2 2 12种; 5 ③取五个元素:C6 =6种; ④取六个元素:1种. 由分类计数原理,共有8+12+6+1=27种.故选B. 答案:B


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