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欧拉方程解法_图文


*第十一节 欧拉方程 第十一节
形如

x y

n

(n)

+ p1 x

n ?1

y

( n ?1 )

+ L + p n ? 1 xy ′ + p n y = f ( x )

的方程(其中 p1 , p2 L pn 为常数 叫欧拉方程 为常数) 欧拉方程. 的方程 其中 特点: 特点:各项未知函数导数的阶数与乘积因子自 变量的方次数相同. 变量的方次数相同. 解法:欧拉方程是特殊的变系数方程, 解法:欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变 量代换可化为常系数微分方程. 量代换可化为常系数微分方程

作变量变换 将自变量换为 t ,

x = e t 或 t = ln x ,

dy dy dt 1 dy , = = dx dt dx x dt

d 2 y 1 ? d 2 y dy ? = 2 ? 2 ? ?, 2 dx x ? dt dt ? d3y 1 ?d3y d2y dy ? = 3 ? 3 ? 3 2 + 2 ? , LL 3 dx x ? dt dt dt ?

d 用 D 表示对自变量 t 求导的运算 , dt 上述结果可以写为
xy′ = Dy ,

d 2 y dy x 2 y′′ = 2 ? = ( D 2 ? D ) y = D( D ? 1) y , dt dt

d y d y dy x y′′′ = 3 ? 3 2 + 2 dt dt dt = ( D 3 ? 3 D 2 + 2 D ) y = D( D ? 1)( D ? 2) y ,
3

3

2

LL

一般地, 一般地, xk y(k) = D D?1)L D?k +1 y. ( ( ) 将上式代入欧拉方程, 将上式代入欧拉方程,则化为以 t 为自变量 的常系数 线性微分方程 求出这个方程的解后, 线性微分方程. 求出这个方程的解后, 把 t 换为 ln x , 即得到原方程的解. 即得到原方程的解 例 求欧拉方程

′′′ + x 2 y ′′ ? 4 xy′ = 3 x 2 的通解. x y 的通解.
3



作变量变换 x = e t 或 t = ln x ,

原方程化为
D( D ? 1)( D ? 2) y + D( D ? 1) y ? 4 Dy = 3e 2t ,

即 或

D y ? 2 D y ? 3 Dy = 3e ,
3 2 2t

d3y d2y dy ? 2 2 + 3 = 3e 2 t . dt 3 dt dt d3y d2y dy ? 2 2 + 3 = 0, 3 dt dt dt

(1)

方程(1)所对应的齐次方程为 方程 所对应的齐次方程为

其特征方程

r 3 ? 2 r 2 ? 3 r = 0,

特征方程的根为 r1 = 0, r2 = ?1, r3 = 3. 所以齐次方程的通解为

C2 Y = C1 + C 2 e C 3 e = C1 + + C 3 x 3 . x
?t 3t

设特解为 y ? = be 2 t = bx 2 ,

x 即y =? , 2 C2 1 2 3 所给欧拉方程的通解为 y = C1 + + C 3 x ? x . x 2
?

1 代入原方程, 代入原方程,得 b = ? . 2

2


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