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2013安徽高中数学联赛初赛试卷


2013 年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试卷
(考试时间:2013 年 9 月 14 日上午 9:00—11:30) 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1、函数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 1 ? 4 ? x
2013

2

的值域为____________________

2、方程 sin( 2013?x) 3、化简 sin 12
o

? x 的实根个数为____________________
o o

sin 48 sin 54

____________________(用数字作答)

4、设数列{an } 满足 a1 ? a2 ? 1 , an ? 3an?1 ? an?2 (n ? 3) ,则 a 2013 5、设

? ______
, 则

?ABC

的 外 接 圆 圆 心

P

满 足

2 AP ? ( AB ? AC ) 5

c o? sB A C ? _____________ z ? 1 的实部与虚部之比为 3 。其中 i 是虚数单位, 6、设复数 z ? x ? yi 满足 z?2


y 的最大值为____________________ x
其中 c , c ? ? ? c 实常数, 则? c x ? x ) ? ?c x ,
2 150 k k ?0 k
0 1 300

7、设 (1 ?

300

300

k ?0

3k

_____________

8、随 机 选 取 正 11 边 形 3 个 不 同 顶 点 , 它 们 构 成 锐 角 三 角 形 的 概 率 为
________________

二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题每题 22 分,共 86 分) 9.设正三棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 2,求其体积和内切球半径.

10.求所有函数

f : R ? R ,使得对任意 x, y ? R 都有
2

f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy 且 x

? | x | ? f ( x) ? x ? | x | .
2

1 2

1 2

ab ? bc ? c 11.设 a, b, c 是不全为 0 的实数,求 F ? a ? 2b ? 3c 别满足什么条件时, F 取得最大值与最小值?
2 2 2

的取值范围.
2

a, b, c 分

12.设数列{an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 , a ? (1 ? a n ?1 ) ( n ? 3). n
2

a

n?2

(1)求数列{an } 的通项公式; (2)求证:对任意正整数 k ,

a

2 k ?1



a 都是整数. 2
2k


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