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北师大版6.2.1《直线与平面垂直的性质》课件


6.2.1 直线与平面垂直的性质

1

复习
1. 直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何 一条直线都垂直,则称这条直线和这个平 面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫 做直线的垂面.交点叫做垂足.
l
α A
2

2. 直线和平面垂直的判定定理

l

?
如果一条直线和一个平面内的两条 相交直线都垂直,那么这条直线垂直于 这个平面.
3

提出问题

问题 1. 在同平面内,垂直于同一条直 线的两条直线互相平行。在空间中上述结 论还成立吗?

4

问题 2. 在空间中,垂直于同一平面的 两条直线平行吗?

D1 A1

C1 B1

a
D A

b
B

c
C
5

归纳猜想

如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。
a b

α
6

证明猜想:

a ??



b ??

证明:假定b 不平行于 a, 设

a ?? b ?

b ?? ? o
a
b

b’ 是经过点O与直线 a平行的直线

Q a // b’ ,a ? ?
?
b’

b’

??

?

o

即经过同一点O的两条直线b、b’ 都垂直于 ?
矛盾!
7

总结提练

直线和平面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。

a ??? ? ? a / /b b ?? ?
α
作用:证两条直线平行

a

b

8

例题讲解
例3 如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中, BD,BC′,DC′分别为三条面对角线,A′C为 一条体对角线。 求证:(1)A'C⊥BD;
A A'

D' B'

C'

D
B

C

(2)A'C⊥平面DBC′
证明: (1)连接AC,在正方体ABCD-A'B'C'D'中
AA'⊥平面ABCD,所以AA'⊥BD

又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD
又AA'∩AC=A,所以BD⊥平面A'AC,从而A'C⊥BD

(2)同理可证A'C ⊥DC',而BD∩DC'=D,
所以A'C⊥平面BDC'.
9

总结反思
一、直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线平行 二、两条直线平行的判定方法: 1、定义法:两直线共面且没有公共点。

2、平面几何学过的证明两条直线平行的方法。
3、平行线的传递性

记:a // b, a // c ? b // c

4、线面平行的性质定理 记:a / /? , a ? ? , ? I ? ? b ? a / /b 5、面面平行的性质定理
记:? / / ? , ? I ? ? a, ? I ? ? b ? a / /b

6、线面垂直的性质定理 记:a ? ? , b ? ? ? a // b
10

性质定理的应用

判断下列命题的正误。 (1)平行于同一直线的两条直线互相平行(





(2)垂直于同一直线的两条直线互相平行(×) (3)平行于同一平面的两条直线互相平行(×) (4)垂直于同一平面的两条直线互相平行(

√)
11

作业: CB ? ? 如图,已知 ? I ? ? l , CA ? ? 于点A, 于点B,a ? ? , a ? AB, C 求证: a // l . β

B l
A a

α

12


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