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简单的三角恒等变换2


第 六 节
简单的三角恒等变换

知识要求 考试 说明 内容 简单的三角恒等变换 了解 (A) 理解 (B) √ 浙江T6 江西T13 湖北T18 掌握 (C)

13年(5考):湖北T6
陕西T16

新课标全国卷ⅠT16

三年 12年(3考):北京T15 湖南T18 考题 11年(3考):新课标全国卷T11 上海T4 安徽T15

1.利用三角公式进行化简后研究函数的性质是高考考

查的热点
考情 2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结 播报 合命题 3.题型以解答题为主,属中低档题

【知识梳理】
1.半角公式
2sin2α 2cos2α


1 ? 2sin 2 ? 2

α
2cos2 ? ?1 2

?

1-cos? 2

?

1+cos? 2

?

1 ? cos? 1+cos?

2.辅助角公式 asin x+bcos x= a 2 ? b2 sin(x+φ), 其中sin φ=
b a ?b
2 2

,cos φ=

a a ?b
2 2

.

已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)
是角θ终边上一点,且sin θ=
? 2 5 5

,则y=________.

【解题指导】1.借助三角函数的定义及函数y=Asin(ωx+φ)中
参数A,ω,φ的含义求解

热点考向 二

同角三角函数间的基本关系及诱导公式
)
3

【典例】1.(2012·莱芜模拟)cos( ? 20? )的值等于( (A) 1 2 (B)
3 2

(C)-

1 2

(D) ?

3 2

2.(2012·辽宁高考)已知sin α-cos α= tan α=( (A)-1 ) (B)2 2

2

,α∈(0,π),则

(C)

2 2

(D)1
4

3.(2012·西城模拟)已知tan( ? +θ)=3,则sin 2θ-2cos2θ 的值为______.

【解题指导】1.负角化正角,然后借助诱导公式求解 . 2.将等式sin α-cos α=
2 两边平方,得到2sin

αcos α=

-1,整理得sin α+cos α=0,解方程得到sin α,cos α,利 用同角三角函数基本关系式即可. 3.先由已知求出tan θ,再等价转化求解. 【解析】1.选C. cos( =cos
20 ? )=cos 20? =cos(6π+ 2 ? ? 3 3 3 2? =-cos ? =- 1 . 2 3 3

)

2.选A.将等式sin α-cos α=
-1,整理得

2

两边平方,得到2sin αcos α=

1+2sin αcos α=0?sin2α+cos2α+2sin αcos α=0?(sin α+
cos α)2=0?sin α+cos α=0,

由sin α-cos α=
cos α=故tan α=
2 2

2

和sin α+cos α=0,解得sin α=

2 2

,

, =-1.

sin ? cos ?

3.由tan(

? 4

+θ)=3,得

1 ? tan ? ? 3 ,解得tan 1 ? tan ?

θ=

1 2

.所以

sin 2θ-2cos2θ= 答案:4 5

2sin ?cos ? ? 2cos 2 ? 2tan ? ? 2 4 ? ? ? . sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 5

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题:
? 1 ? cos ? ? . 2 2 ? 1 ? cos ? ②对任意角α, 都成立. tan 2 ? 2 1 ? cos ?

①当α是第一象限角时, sin

③半角的正余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的. ④公式 asin x ? bcos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ?) 中φ的取值与a,b的值无

关.

⑤函数y=sinx+cosx的最大值为2. 其中正确的是( A.①② B.③④ ) C.③ D.④⑤

? 在第一或第三象限. 【解析】选C.①错误.α在第一象限时, 2 ? 1 ? cos ? 当 ? 在第一象限时, ,当 ? 在第三象限时, sin ? 2 2 2 2 ? 1 ? cos ? sin ? ? . 2 2 ②错误.此式子必须使tan ? 有意义且1+cos α≠0.即 2 ? ≠kπ+ ? 且α≠2kπ+π,即α≠(2k+1)π(k∈Z). 2 2

③正确.由半角公式推导过程可知正确.

④错误.由 cos ? ? 的值有关.

a a ?b
2 2

,sin ? ?

b a ?b
2 2

, 可知φ的取值与a,b

⑤错误. y ? sin x ? cos x= 2sin(x ? ? ), 故其最大值为 2 .
4

1 2.已知 cos ? ? ,α∈(π,2π),则cos ? 等于( 3 2

)

3 3 D. ? 3 3 ? ? 【解析】选B.因为 cos ? ? 1 , α∈(π,2π),所以 ? ( ,?), 2 2 3 1 1? 3 ?? 6. 所以 cos ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 2 2 2 3 A. B. ? C.

6 3

6 3

3.化简 sin 2?cos ? ? sin ? 等于(
cos 2?

)

A.-sin α

B.-cos α

C.sin α

D.cos α

2 sin 2 ? cos ? ? sin ? 2sin ? cos ? ? sin ? 【解析】选C. = cos 2? cos 2?



sin? ? 2cos 2 ? ? 1? cos 2?



sin ?cos 2? =sin ?. cos 2?

? 4.如果α∈ ,且sin α= , 那么 ( ,?) ? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) ?( 4 4 4 2 4 2 A. B. ? 5 5 2 4 5 )

3 2 5 3 4 ? 【解析】选D.因为 sin ? ? , <?<?, 所以cos α= ? , 5 5 2 ? ? 3 2 而 sin(? ? ? ) ? cos(? ? ) ? 2sin(? ? ) ? 2cos ? ? ? . 4 4 2 5 C. D. ?

3 2 5

5.(2014·岳阳模拟)函数y= 3 cos 4x+sin 4x的最小正周期 为 .

3 1 【解析】y ? 3cos 4x ? sin 4x ? ( 2 cos 4x ? sin 4x) 2 2 ? ? ? ?( 2 cos cos 4x ? sin sin 4x) ? 2cos (4x ? ), 6 6 6 2? ? 故T ? ? . 4 2 ? 答案: 2

6.(2014·孝感模拟)若 1 ? tan x =2 014, 则

1 ? tan x 【解析】 1 +tan 2x=1 ? sin 2x = cos 2x cos 2x cos 2 x ? sin 2 x = cos x ? sin x 1 ? tan x = =2 014. cos x ? sin x 1 ? tan x

1 +tan 2x = cos 2x 2 ? sin x ? cos x ?

.

答案:2 014

热点考向 三

三角恒等变换

【典例】(12分)(2012·蚌埠模拟)已知函数f(x)=2sin xcos x +cos 2x(x∈R).
? 取得最大值,并求其最大值; (1)当x取什么值时,函数f(x) 2 8

3

(2)若θ为锐角,且f(θ+

)=

,求tanθ的值.

? 2 【解题指导】 f(x)化成Asin(ωx+φ)的形式. 8(1)把 3

(2)由f(θ+ 最终求tan θ.

)=

,求出cos 2θ,求sin 2θ,求tan 2θ,

【规范解答】(1)f(x)=2sin xcos x+cos 2x =sin 2x+cos 2x= =
2sin(2x ?

2(

2 2 sin 2x ? cos 2x) 2 2

∴当2x+

? .………………………………………………3分 ) 4 ? =2kπ+ ? (k∈Z),即x=kπ+ ? (k∈Z)时,函数 2 8 4

f(x)取得最大值,其值为

2

.………………………………5分

(2)∵f(θ+ ∴cos 2θ=

? 8 1 3

)=

2 3

,∴

2

sin(2θ+

? 2

)=

2 3

,

.………………………………………………7分

? ,∴0<2θ<π, 2 2 2 ∴ sin 2? ? 1 ? cos 2 2? ? , 3 sin 2? ?2 2 ∴ tan 2? ? , cos 2?

∵θ为锐角,即0<θ<



2tan ? ?2 2 1 ? tan 2 ?

,…………………………………………10分

∴ ∴(

2

tan2θ+tan θ2

2

=0,
2 2

tan θ-1)(tan θ+
2 2

)=0,

∴tan θ=

或tan θ=-

(不合题意,舍去),

∴tan θ=

2 2

.………………………………………………12分

已知-

? 2

<θ<

? 2

,且sin θ+cos θ=a,其中

a∈(0,1),则关于tan θ的值,以下四个选项中可能正确的 是( (A)-2 ) (B)- 1
3

(C)2或 1

3

(D)-2或- 1
? 4

3

【解析】选B.由题意知sin(θ+ 又∵a∈(0,1),∴故只有B项符合.
? 4

)=

2 2

a,

<θ<0,∴tan θ∈(-1,0),

考点1

利用三角恒等变换化简求值
2 2 2 2

【典例1】(1)已知450°<α<540°,则 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? 的值

是(
A. ? sin C.sin

)
? 2 B.cos ? 2 ? 2

? 2

D. ? cos

(2)(2014·荆州模拟)化简:sin2α·sin2β+cos2α·cos2β1 cos 2α·cos 2β= 2

.

【解题视点】(1)利用倍角公式化简. (2)从角、名、形、次数统一等几个方面入手进行化简 . 【规范解答】(1)选A.原式= 1 ? 1 1 ? cos 2?
= 1 1 ? ? cos ?=|sin |. 2 2 2
2 2 2

因为450°<α<540°,所以225°< ? <270°.

所以原式=-sin ? .故选A.
2

2

(2)方法一:(从“角”入手,复角→单角)

原式=sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- 1 ·(2cos2α-1)
2

·(2cos2β-1) =sin2α·sin2β+cos2α·cos2β- 1 (4cos2α·cos2β2

2cos2α-2cos2β+1) =sin2α·sin2β-cos2α·cos2β+cos2α+cos2β=sin2α·sin2β+cos2α·sin2β+cos2β- 1 =sin2β+cos2β- 1 =1- 1 = 1 .
2 2 2 2 1 2

方法二:(从“名”入手,异名化同名)
原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β- 1 cos2α·cos2β
2

=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)- 1 cos2α·cos2β
=cos2β-sin2α·cos2β- 1 cos2α·cos2β
2 2

=cos2β-cos2β·(sin2α+ 1 cos 2α)
1 ? cos 2? 1 ? cos 2? [sin 2 ? ? (1 ? 2sin 2?)] 2 2 1 ? cos 2? 1 1 ? ? cos 2? ? . 2 2 2 ?
2

方法三(从“幂”入手,利用降幂公式先降次) 原式= 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ? 1 cos 2? cos 2?
2 2 2 2 2
1 1 ? (1 ? cos 2? cos 2? ? cos 2? ? cos 2?) ? (1 ? cos 2? cos 2? ? cos 2? ? cos 2?) 4 4 1 1 ? cos 2? cos 2? ? . 2 2

方法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)

原式=(sin α·sin β-cos α·cos β)2+2sin α·
1 cos 2α·cos 2β 2 =cos 2(α+β)+ 1 sin 2α·sin 2β- 1 cos 2α·cos 2β 2 2 =cos 2(α+β)- 1 ·cos(2α+2β) 2 =cos2(α+β)- 1 ·[2cos 2(α+β)-1]= 1 . 2 2 1 答案: 2

sin β·cos α·cos β-

【规律方法】 1.三角函数式的化简遵循的三个原则 (1)一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联 系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式.

(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用
的公式,常见的有“切化弦”.

(3)三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形
的方向,常见的有“遇到分式要通分”等.

2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角;降幂或升幂. 提醒:在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是 基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.

三角函数式化简的要求 (1)能求出值的应求出值. (2)尽量使函数种数最少. (3)尽量使项数最少. (4)尽量使分母不含三角函数.

(5)尽量使被开方数不含三角函数.

【变式训练】化简:
? ? (1 ? sin? ? cos? ( ) sin -cos ) 2 2 (0 ? ? ? ?) ? . 2 ? 2cos? ? ? ? ? ? (2sin cos ? 2cos 2 )(sin -cos ) 2 2 2 2 2 【解析】原式 ? ? 4cos 2 2 ? ? 2 ? 2 ? cos (sin -cos ) -cos cos ? 2 2 2 2 ? ? , ? ? |cos | |cos | 2 2 ? ? ? 因为0<θ<π,所以0 ? ? ,所以 cos ? 0, 2 2 2

所以原式=-cos θ.

答案:-cos θ

【加固训练】
2 sin 2 ? ? 2cos ? 1.化简: = ? sin (? ? ) 4

.

2sin ?cos ? ? 2cos 2? 【解析】原式= =2 2cos ?. 2 ? sin ? ? cos ? ? 2

答案: 2 2cos ?

2.化简:

1 1 ? 2cos 2 xsin 2 x 2 = 2 【解析】原式= ? ? 2 ? 2tan( ? x) sin ( ? x) 2sin( ? x) 2 ? 4 4 4 sin ( ? x) ? 4 cos( ? x) 1 1 1 2 2 4 ? ? sin 2x ? cos 2x 1 2 2 = = 2 = cos 2x. ? ? 2cos( ? x) sin ( ? 2x) 2 2 ? 4 2 sin ( ? x) ? 4 sin( ? x) 4 1 答案: cos 2x 2 2cos 2 x ? cos 2 x ? 1? ?

= ? ? 2 2tan ( ? x) sin ( ? x) 4 4

2cos 4 x ? 2cos 2 x ?

1 2

.

考点3

三角恒等变换在研究图象性质中的应用

高频考点 通 关

【考情】利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质 是高考的热点.在高考中以解答题的形式出现,考查三角函数的 值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.

【典例3】(1)(2013·湖北高考)将函数y= 3cos x+sin x(x∈R) 的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴 对称,则m的最小值是(
A. ? 12 B. ? 6 C. ? 3 D. 5? 6

)

(2)(2014·吉首模拟)函数 y ? 1 sin 2x ? 3cos 2 x ? 3 的最小正周
2 2

期等于(
A.? B.2?

)
C. ? 4 D. ? 2

【解题视点】(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)的形式再求解. (2)降幂将角统一后再化为y=Asin(ωx+φ)的形式,利用周期 公式求解.

3 1 【规范解答】(1)选B.由已知 y ? ( 2 cos x ? sin x)
? ? 2sin(x ? ), 3 当m= ? 时,平移后函数为y=2sin(x+ ? )=2cos x,其图象关于 6 2

2

2

y轴对称,且此时m最小.
1 3 3 ?1+cos 2x ?- 2 2 2 = 1 sin 2x+ 3 cos 2x=sin (2x ? ? ), 所以T=π. 2 2 3

(2)选A.y= sin 2x+

【通关锦囊】 高考指数 ◆◆◆ 重点题型 化简后求值 域或最值 破 解 策 略

由x的范围得出ωx+φ的范围,数形 结合求解 利用公式:y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期
2? ,y=tan(ωx+φ)的最小正周 | ?| ? 期为 | ? | 求解

◆◆◆

化简后研究 周期



◆◆◆

化简后研究 单调性、对 称性

将ωx+φ当成整体,构造不等式或 方程求解

【关注题型】

◆◇◇ 比较大小 化为同名三角函数,根据单调性比较大小

◆◇◇ 解不等式

将ωx+φ当成整体,构造不等式求解

◆◇◇ 求解析式

化为y=Asin(ωx+φ)的形式后再求解

【通关题组】
? 1.(2011·新课标全国卷)设函数f(x)= sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ), 4 4

则(

)

A.y=f(x)在(0, ? )内单调递增,其图象关于直线x= ? 对称

2 4 B.y=f(x)在(0, ? )内单调递增,其图象关于直线x= ? 对称 2 2 C.y=f(x)在(0, ? )内单调递减,其图象关于直线x= ? 对称 2 4 D.y=f(x)在(0, ? )内单调递减,其图象关于直线x= ? 对称 2 2

? 【解析】选D.因为f(x)= sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ) ? ? ? ) ? 2cos2x, 4 4 ? 所以f(x)在(0, )内单调递减,且图象关于x= ? 对称. 2 2 ? 2sin(2x ? 4 4

? 2.(2014·株洲模拟)已知函数f(x)= sin( 3? ? x) ? 3cos(x ? ) , 4 4
x ? R, 则f(x)(

)
12

A.周期为π,且图象关于点( ? ,0)对称 B.最大值为2,且图象关于点( ? ,0)对称
12 C.周期为2π,且图象关于点(- ? ,0)对称 12 D.最大值为2,且图象关于x= 5? 对称 12

? 【解析】选B.f(x)= sin( 3? ? x) ? 3cos(x ? )

? ? ? sin[? ? (x ? )] ? 3cos(x ? ) 4 4 ? ? ? sin(x ? ) ? 3cos(x ? ) 4 4 1 ? 3 ? ? 2[ sin(x ? ) ? cos(x ? )] 2 4 2 4 ? ? ? ? 2sin[(x ? ) ? ] ? 2sin(x ? ), 4 3 12

4

4

? ? R, 12 所以-1≤sin(x- ? )≤1,则f(x)的最大值为2. 12 因为ω=1,所以周期T= 2 ? =2π. 1 当x- ? =kπ(k∈Z)时,f(x)图象关于某一点对称, 12 所以当k=0时,求出x= ? ,即f(x)图象关于( ? ,0)中心对称, 12 12

因为x∈R,所以 x ?

故选B.

3.(2013·新课标全国卷Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx

取得最大值,则cosθ=

.

【解析】f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x+φ),其中tan φ=
? 时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+ 2 ? ? -φ.所以cos θ=cos( -φ)=sin φ,又因为tan φ=-2, 2 2 2 5 2 5 φ在第四象限,所以sin φ=,即cos θ=. 5 5 答案:- 2 5 5

-2,当x+φ=2kπ+

【加固训练】 1.(2014·泰安模拟)已知函数f(x)= 3 sin x-cos x,x∈R, 若f(x)≥1,则x的取值范围为(
? A.{x | k?+ ? x ? k?+?,k ? Z} 3 ? B.{x | 2k?+ ? x ? 2k?+?,k ? Z} 3 ? 5? C.{x | k?+ ? x ? k?+ ,k ? Z} 6 6 ? 5? D.{x | 2k?+ ? x ? 2k?+ ,k ? Z} 6 6

)

【解析】选B.根据题意,得f(x)=2sin (x- ? ),f(x)≥1,所 以2sin (x- ? )≥1,即sin (x- ? )≥ 1 ,由图象可知满足
6 6 2 6 ? ? 5? 解得 ? +2kπ≤x≤π+2kπ +2k? ? x- ? +2k? ? k ? Z ?, 3 6 6 6

(k∈Z).

2.(2014·南宁模拟)设a=sin 14°+cos 14°,b=sin 16° +cos 16°,c= 6 .则a,b,c按从小到大的顺序排列为
2



【解析】a=sin 14°+cos 14°= 2 sin 59°, b=sin 16°+cos 16° = 2 sin 61°,c= 6 = 2 sin 60°.
2

因为59°<60°<61°,所以sin 59°<sin 60°<sin 61°, 所以a<c<b.

答案:a<c<b

? 3.(2011·上海高考)函数 y ? sin( ? ? x) 的最大值 cos( ? x) 2 6



.

【解析】y ? sin( ? x)cos( ? x)

? ? 2 6 ? ? ? ? cos xcos( ? x) ? cos x(cos cos x ? sin sin x) 6 6 6

3 1 3 1 ? cos 2x 1 2 ? cos x ? sin xcos x ? ? ? sin 2x 2 2 2 2 4 1 ? 3 ? cos(2x ? ) ? , 2 6 4 故函数的最大值是 2 ? 3 . 4 2? 3 答案: 4

4.(2012·北京高考)已知函数 f ? x ? ? ? sin x ? cos x ? sin 2x .
sin x

(1)求f(x)的定义域及最小正周期. (2)求f(x)的单调递减区间.

【解析】(1)由sin x≠0,得x≠kπ,k∈Z,所以定义域为 {x|x≠kπ,k∈Z}.
f ?x? sin x ? cos x ? 2sin xcos x ? ? ? 2sin xcos x ? 2cos 2 x sin x

? ? sin 2x ? cos 2x ? 1 ? 2sin(2x ? ) ? 1, 4 所以最小正周期T= 2 ? =π. 2 (2)令 2k? ? ? ? 2x ? ? ? 2k? ? 3? , 得k? ? 3? ? x ? k? ? 7? , 2 4 2 8 8 所以单调递减区间为 [k? ? 3? , k? ? 7? ], k ? Z. 8 8

【规范解答4】三角变换在研究三角函数中的应用 【典例】(12分)(2013·陕西高考)已知向量a=(cos x,? ),
1 2

b=( 3 sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期.

(2)求f(x)在 [0, ? ] 上的最大值和最小值.
2

【审题】分析信息,形成思路 信息提取 思路分析 根据向量数量积的坐标运算 得f(x)的解析式→化简f(x) 解析式→利用周期公式求周 期 由x的限定范围→整体角的范 围→在正弦曲线中截图→求 最大值和最小值

f(x)=a·b,求f(x)的最 (1) 小正周期
? [0, ]上的最大 求f(x)在 2

(2)

值和最小值

【解题】规范步骤,水到渠成
(1)f(x)=a·b=cos x· 3 sin x

- 1 cos 2x……………………2分

2 = 3 sin 2x- 1 cos 2x ? sin(2x- ? ) ,① ………………4分 2 2 6 最小正周期T= 2 ? =π. 2 所以f(x)= sin(2x- ? ) 的最小正周期 6

为π. ……………………………6分

(2)当x ? [0, ? ]时,(2x- ? ) ? [? ? , 5? ] ②,…………………8分
2 6

6 6 ? 5? 由正弦曲线y=sin x在 [? , ] 上的图象知, 6 6 ? ?③ ,即x= ? 时,f(x)取得最大值1; 当2x ? ? 6 2 3 当 2x ? ? ? ? ? ,即x=0时,f(x)取得最小值- 1 . ……10分 2 6 6 所以,f(x)在[0, ? ]上的 2 1 最大值和最小值分别为1,- .④ 2

…………………………………………………………12分

【点题】失分警示,规避误区

失分点
①处没将解析式化成一角一 名的形式
? ②处未由x的范围求出2x6

防范措施
研究三角函数的图象性质时 应将解析式化成一角一名的 形式

的范围,直接利用正弦函数
的最值为〒1求解

求三角函数的最值时应注意 角的范围

失分点

防范措施

? 5? 求三角函数的最值时应结合图象 2x - = ③处误认为 时函 6 6 求解,不要误认为最值一定在端

数取得最大值

点处取得

④处未进行总结导致解题 过程不完整而失分

对于解答题,最后要进行总结,对 结果进行整合

【变题】变式训练,能力迁移 (2014·朝阳模拟)已知函数f(x)= sin x cos x ? cos 2 x -1.
2 2 2

(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间. (2)求函数f(x)在 [ ? , 3? ] 上的最小值.
4 2

【解析】(1)f ? x ? ? sin x cos x ? 1 ? cos x -1
2 2 2 1 1 1 2 ? 1 ? sin x ? cos x- ? sin(x ? )- . 2 2 2 2 4 2

所以函数f(x)的最小正周期为2π. 由 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 3? ,k ? Z,
2 4 2 得 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5? . 4 4

则函数f(x)的单调递减区间是 [2k? ? , 2k? ?

? 4

5? ],k ? Z. 4

(2)由 ? ? x ? 3? ,得 ? ? x ? ? ? 7 ? .
4

2 2 4 4 则当 x ? ? ? 3? , 即x= 5? 时,f(x)取得最小值- 2 ? 1 . 4 4 2 2


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