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2015优化方案(高考总复习)新课标 湖北理科第七章第6课时


第七章

立体几何

第6课时

空间向量及其运算

第七章

立体几何

1.空间向量的有关概念 空间中,相等向量、共线向量、共面向量如何定义的? 相等向量:方向相同且模相等的向量. 提示:__________________________________________ 共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线 _________________________________________________ 互相平行或重合的向量. _________________________________________________

共面向量:平行于同一个平面的向量 ___________________________________________.
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第七章

立体几何

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的
a=λb . 充要条件是存在实数λ,使得________ (2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与 向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), p=xa+yb . 使____________

(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么
对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xa+yb+zc .其中{a,b,c}叫做空间的一个基底. ________________
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第七章

立体几何

温馨提示:空间向量基本定理是适当选取基底的依据,共 线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平行、 四点共面、线面平行的工具.

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第七章

立体几何

3.两个向量的数量积(与平面向量基本相同) (1)两向量的夹角:已知两个非零向量 a, b,在空间中任取一 → → ∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 点 O, 作OA= a, OB= b, 则 ________

a,b〉.通常规定 ________ 0 π 记作〈 ________ ≤〈 a,b〉≤ ________ .若 π 〈 a, b〉 ________ 2 ,则称向量 a, b 互相垂直,记作 a⊥ b.
(2)两向量的数量积:

|a||b|cos〈a,b〉 . 两个非零向量 a,b 的数量积 a· b= ________________

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第七章

立体几何

(3)向量的数量积的性质: ①a· e=|a|cos〈a,e〉; a· b=0 ②a⊥b?_____________ ; ③|a|2=a· a=a2; ≤ ④|a· b|________| a||b|. (4)向量的数量积满足如下运算律:

①(λa)· b=λ(a· b);
②a· b=b· a(交换律); a· b+a· c ③a· (b+c)=_____________( 分配律).

温馨提示:向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足
结合律,即(a· b)· c=a· (b· c)不一定成立.
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立体几何

4.空间向量的坐标运算 (1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3), a1b1+a2b2+a3 b3 λa=(λa1,λa2,λa3),a· b=__________________ , 0 a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=________ , a∥b?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R),
a· b a1 b1+ a2 b2+ a3 b3 cos 〈 a, b〉= = 2 . 2 2 2 2 2 |a|· |b| a 1+ a2 + a3· b1 + b2 + b3 (2)设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2 ), → → → (x2-x1,y2-y1,z2-z1) . 则AB =OB-OA= ________________________
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立体几何

1.已知 a=(- 2,- 3,1),b= (2,0,4),c= (- 4,- 6, 2),则下列结论正确的是 ( C ) A. a∥ c, b∥ c C. a∥ c, a⊥ b B. a∥ b, a⊥ c D.以上都不对

解析:∵ c= (-4,-6, 2)=2a,∴a∥c.又 a· b=0,故 a⊥ b .

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第七章

立体几何

2.若向量 { a, b, c}是空间的一个基底,向量 m= a+ b, n= a- b,那么可以与 m, n 构成空间另一个基底的向量 是( C ) A. a C. c B. b D. 2a

解析:∵ a+ b, a- b 分别与 a, b, 2a 共面, ∴它们分别与 a+ b, a- b 均不能构成一组基底.

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第七章

立体几何

3.下列命题: → → → → ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+ BC+CD +DA = 0; ②若MP=xMA+ yMB,则 M、 P、 A、 B 共面; ③若 p=xa+ yb,则 p 与 a, b 共面. 其中正确的个数为 ( D ) A. 0 C. 2 B. 1 D. 3







解析:可判断①②③正确.

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第七章

立体几何

4.已知空间三点 A(1,1,1),B(- 1,0,4),C(2,- 2, 2 π → → 3 3),则AB 与CA 的夹角θ 的大小是 __________ .

→ → 解析:由题意知AB = (- 2,- 1, 3),CA = (- 1, 3,- 2), → → AB ·CA - 7 1 2 故 cos θ = = =- ,所以 θ= π . → → 2 3 |AB||CA | 14

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第七章

立体几何

→ → → 5.在四面体 OABC 中,OA= a,OB= b,OC= c,D 为 BC 1 1 1 a+ b+ c → 2 4 4 用 a, b, c 的中点, E 为 AD 的中点,则OE= ___________( 表示 ).
→ 1→ 1→ 1 → 1→ 1 解析:OE= OA + OD= OA+ OB + 2 2 2 4 4 1 1 → 1 OC= a+ b+ c. 2 4 4

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第七章

立体几何

空间向量的线性运算
(1)如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中, O 为 AC 的
→ → → 1 → 1 → -AA → → 1 (或A1A) 中点.化简A1O- AB- AD = ____________ ,用AB,AD , 2 2
1→ 1→ → AB + AD + AA 1 → → → 2 2 AA1 表示OC1,则OC1= _______________;

(2)(2014· 广东中山调研 )向量 a= (3,5,- 4),b= (2,1,8),
(12,13,16) (5,13,-28) . 则 2a+ 3b= _____________, 3a-2b= _____________

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第七章

立体几何

1→ 1→ → 1→ 1 → → → [ 解析 ](1)A1O - AB - AD = ( A1A + AO ) - AB - AD =- 2 2 2 2 1→ 1→ → 1 → → → AA1 + (AB+AD )- AB- AD =-AA1 . 2 2 2 → → → 1→ → 1 → → → 1→ 1 OC1= OC + CC1 = AC+ CC1 = ( AB + AD )+AA1 = AB + 2 2 2 2 → → AD +AA1 . (2)2a+ 3b=2(3, 5,- 4)+3(2,1,8)= (6,10,-8)+ (6, 3,24)= (12, 13,16), 3a- 2b=3(3,5,- 4)-2(2,1,8)=(9,15,- 12)- (4,2, 16)= (5,13,- 28).

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第七章

立体几何

用已知向量表示某一向量的方法:

用已知不共面的向量表示某一向量时,应结合图形,将已知
向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三 角形法则或平行四边形法则,把所求向量用已知向量表示出 来.

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第七章

立体几何

→ 1.如图所示,在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中,设AA1 = a, → → AB= b,AD = c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点, 试用 a,b, c 表示下列各向量. → → → → (1)AP; (2)A1N; (3)MP+NC1.

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第七章

立体几何

→ → → → → → 1→ 解:(1)AP=AD +DD1+D1P= AD +AA1 + AB 2 1 = c+ a+ b. 2 → → → → → → 1→ (2)A1N=A1A+ AB+BN =-AA1 + AB+ AD 2 1 =-a+ b+ c. 2 1→ → → → 1→ (3)MP+NC1= ( AA1 + AD + AB)+ 2 2 1→ 3 1 3 → ( AD +AA1 )= a+ b+ c. 2 2 2 2

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第七章

立体几何

共线、共面向量定理的应用 已知 E,F,G,H分别是空间四边形 ABCD的边AB,

BC,CD,DA的中点,求证:
(1)E,F,G,H四点共面;

(2)BD∥平面EFGH.

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第七章

立体几何

[证明 ](1)连接 BG(图略), → → → → 1 → → 则EG = EB+BG =EB+ (BC+BD ) 2 → → → =EB+ BF+EH → → =EF+ EH, 由共面向量定理的推论知, E, F, G, H 四点共面. → → → (2)因为EH=AH-AE 1 → 1→ 1 → → 1→ = AD - AB= (AD -AB)= BD , 2 2 2 2 所以 EH∥ BD. 又 EH?平面 EFGH, BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH.
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第七章

立体几何

应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方

法比较:
三点(P, A, B)共线 → → PA= λPB且同过点 P 对平面内任一点 O, → → → OP=OA+ tAB 对平面内任一点 O, → → → OP= xOA+ (1-x)·OB 空间四点 (M, P, A, B)共面 → → → MP= xMA+ yMB → → 对空间任一点 O,OP= OM+ → → xMA+ yMB → → 对空间任一点 O,OP= xOM+ → → yOA+(1-x- y)OB
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第七章

立体几何

2.已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O, → 1 → → → 若点 M 满足OM= (OA+OB+OC). 3 → → → (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面; (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内.

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第七章

立体几何

→ → → → 解:(1)由已知OA+ OB+OC= 3OM, → → → → → → ∴OA- OM= (OM-OB)+ (OM-OC), → → → → → 即MA= BM+CM=-MB- MC, → → → ∴MA, MB,MC共面. → → → (2)由 (1)知,MA,MB,MC共面且基线过同一点 M, ∴四点 M, A, B, C 共面, 从而点 M 在平面 ABC 内.
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第七章

立体几何

空间向量的数量积及其应用
已知空间三点 A(0,2,3),B(- 2,1,6),C(1,- 1,5). → → (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积; → → (2)若 |a|= 3,且 a 分别与AB,AC垂直,求向量 a 的坐标.

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第七章

立体几何

[解 ](1)由题意可得: → → AB= (- 2,- 1, 3),AC= (1,- 3,2), → → AB·AC - 2+ 3+ 6 7 1 → → ∴ cos〈AB, AC〉= = = = . 14 2 → → 14 × 14 |AB||AC| 3 → → ∴ sin〈AB,AC〉= , 2 → → ∴以AB,AC为边的平行四边形的面积为 1→ → → → S= 2× |AB|· |AC|· sin〈 AB,AC〉 2 3 = 14× = 7 3. 2
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第七章

立体几何

(2)设 a= (x, y, z), 2 2 2 x + y + z =3 ?

? 由题意得?- 2x- y+ 3z= 0, ? ?x-3y+2z=0 x=1 ?x=- 1 ? ? ? 解得?y= 1或?y=- 1, ? ? z= 1 ? ?z=-1
∴向量 a 的坐标为 (1,1,1)或 (- 1,- 1,- 1).

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第七章

立体几何

(1)空间向量数量积的计算方法: ①定义法:设向量 a, b 的夹角为 θ,则 a· b= |a||b|cos θ . ②坐标法:设 a= (x1, y1, z1),b= (x2, y2, z2),则 a·b= x1x2+ y1y2+ z1z2. (2)数量积的应用: a· b ①求夹角:设向量 a,b 所成的角为 θ,则 cos θ = , |a||b| 进而可求两异面直线所成的角. ②求长度 (距离 ): 运用公式 |a|2= a· a, 可使线段长度的计算问 题转化为向量数量积的计算问题. ③解决垂直问题:利用 a⊥b?a· b= 0(a≠ 0, b≠ 0),可将垂 直问题转化为向量数量积的计算问题.
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第七章

立体几何

3.如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中,以顶点A为端 点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°. (1)求AC1的长;

(2)求BD1与AC夹角的余弦值.

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第七章

立体几何

→ → → 解:(1)记AB= a,AD = b,AA1 = c, 则 |a|= |b|= |c|=1, 〈 a, b〉=〈b, c〉=〈 c, a〉= 60°, 1 ∴ a· b= b· c= c· a= . 2 → 2 |AC1 | = (a+ b+ c)2 = a2+b2+ c2+ 2(a· b+ b· c+ c· a) 1 1 1? ? = 1+ 1+ 1+2× 2+ 2+2 = 6, ? ? → ∴ |AC1 |= 6,即 AC1 的长为 6.

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第七章

立体几何

→ → (2)BD1= b+ c- a,AC= a+ b, → → ∴ |BD1|= 2, |AC|= 3, → → BD1·AC= (b+ c- a)· (a+ b) = b2-a2+ a· c+ b · c= 1. → → BD1·AC 6 → → ∴ cos〈BD1, AC〉= = . 6 → → |BD1 ||AC| 6 ∴ AC 与 BD1 夹角的余弦值为 . 6

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第七章

立体几何

因空间向量运算不准致误
如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,M 是 CD1 的中点,点 Q 在 CA1 上,且

→ → → CQ∶QA1=4∶ 1,设AB= a,AD =b,AA1 =c,用基底 {a,
b, c}表示以下向量: → → (1)AM; (2)AQ .
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第七章

立体几何

[解 ] 如图,连接 AC, AD1. 1 → → 1 → → → → (1)AM= (AC+AD1)= (AB+ 2AD +AA1 ) 2 2 1 = (a+2b+ c). 2 → → → → 4 → → (2)AQ =AC+ CQ =AC+ (AA1 -AC) 5 1→ 4 → 1→ 1→ 4 → = AC+ AA1 = AB+ AD + AA1 5 5 5 5 5 1 1 4 = a + b + c. 5 5 5
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第七章

立体几何

解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算, 特别是 → → → 减法运算理解不清,如把CA1 误认为是AC- AA1 ;另一个错 → 4→ → 3 误是向量的数乘表示不准,如把CQ = CA1 ,误认为CQ = 5 4 → CA1 .

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第七章

立体几何

正确理解三个定理:空间向量基本定理是适当选取基底的依 据,共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线平 行、四点共面、线面平行的工具,三个定理保证了由向量作 为桥梁由实数运算方法完成几何证明问题的完美“嫁接”.

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第七章

立体几何

在本例中,若 P 是 CA1 的中点, N 是 C1D1 的中点,其他条 → → 件不变,试求(1)AP; (2)AN .
→ 1 → → 解:(1)AP= (AC+AA1 ) 2 1 → → → = (AB+AD +AA1 ) 2 1 = (a+b+c). 2

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第七章

立体几何

→ 1 → → (2)AN = (AC1 +AD1) 2 1 → → → → → = [(AB+AD +AA1 )+ (AD +AA1 )] 2 1 → → → = (AB+ 2AD + 2AA1 ) 2 1 = (a+2b+ 2c) 2 1 = a+ b+ c. 2

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