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2015-2016高考冲刺模拟卷45套导数大题合集


1.记函数 f n ( x) ? (1 ? x)n ?1(n ? 2, n ? N * ) 的导函数为 f n?( x) ,函数 g ( x) ? f n ( x) ? nx . (I)讨论函数 g ( x) 的单调区间和极值; (II)若实数 x0 和正数 k 满足: 2.已知函数 f ( x ) ? ( a ? )e

f n?( x0 ) f (k ) ,求证: 0 ? x0 ? k . ? n f n??1 ( x0 ) f n?1 (k )

1 2

2x

?x.

(I)若函数 f ( x) 在区间 (??,0) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (II)若在区间 (0,??) 上函数 f ( x) 的图像恒在曲线 y ? 2aex 的下方,求实数 a 的取值范围. 3.函数 f ( x) 满足 f ( x) ?

f ?(1) 2 x ? 2 x 1 e ? x 2 ? 2 f (0) x, g ( x) ? f ( ) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a . 2 2 4

(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)求函数 g ( x) 的单调区间; (III)如果 s , t , r 满足 | s ? r |?| t ? r | ,那么称 s 比 t 更靠近 r .当 a ? 2 且 x ? 1 时,试比较

e 和 x

e x ?1 ? a 哪个更靠近 ln x ,并说说明理由. 1 ? x) ? bx ,曲线 y ? f ( x) 恒与 x 轴相切于坐标原点. 4.设函数 f ( x) ? (1 ? ax) ln(
(I)求常数 b 的值; (II)当 0 ? x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

? 10001? (III)求证: ? ? ? 10000?
5.已知函数 f ( x) ? ? 求 b 的取值范围.

10000 .4

? 1001? ?e?? ? ? 1000?

1000.5

1 2 ln x0 ? bx0 e x ? ln( x ? 1) , 若存在 x0 使得 | f ( x0 ) | ? 成立, ? e ?1 e ?1 2 x0

2 2 6.已知函数 f ( x) ? ( x ? 2x) ln x ? ax ? x(a ? 0) , 若函数 f ( x) 有且仅有一个零点,且当

x ? (e ?2 , e) 时, f ( x) ? m ,求 m 的取值范围.
7.设函数 f ( x) ? e ? ax ? 1 .
x

(I)若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (II)当 a ? 0 时,设函数 f ( x) 的最小值为 g (a ) ,求证: g (a) ? 0 .

(III)求证:对任意的正整数 n ,都有 1n?1 ? 2n?1 ? ? ? nn?1 ? (n ? 1)n?1 . 8.已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ax ?
3

1 2 x ? . 若函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象在交 2 3e
x a 1 a

点处存在公共切线,求实数 a 的值. 9.已知函数 y ? a ln x ,若在区间 (1, e) 上 e ? e x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 10.已知函数 f ( x ) ? x ?
2

2 ? a ln x ,其导函数 f ?( x ) 的图像为曲线 C ,曲线 C 上的不同两 x

点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 所在直线的斜率为 k ,求证:当 a ? 4 时, | k |? 1 . 11.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a( x ? ln x) ,若 f ( x) ? 12.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 立,求 a 的最小值. 13.已知函数 f ( x) ? ln(1 ? ax ) ?

1 (e ? 1)a ,求 a 的取值范围. 2

ax x ?x, (a ? Z ) 成 若存在 x ? 0 , 使 f ( x) ? x ? 1 ? ? x ?1 x ?1 2x . x?2

(I)若 a ? ( ,1) , f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,试比较 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 f (0) 的大小; (II)求证: e
n ( n ?1) 2

1 2

? n! (n ? 2, n ? N ) .

14.已知函数 f ( x) ? x ? aex (I)若函数 f ( x) ? e 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围;
2x

(II)若函数 f ( x) 有两个不同零点 x1 , x2 ,求证 x1 ? x2 ? 2 . 15.已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? 2 x ) ?
2

x b .若 a ? 0, b ? 0 ,求证: ln 2a ? ln b ? 1 ? . 1? 2x 2a

16.设函数 f ( x) ? x ? ln(x ? 1)(x ? 0) (I)试比较 f ( x) 与 x 的大小; (II)证明:对任意的正整数 n ,不等式 e ? e
0 ?1?4

3

? e ? 2?9 ? ? ? e (1? n ) n ?

2

n(n ? 3) 成立. 2

17.已知函数 f ( x) ? e ?
x

1 2 ax ? 2 x ,我们定义,若 f ??( x0 ) ? 0 且在 x0 的两侧 f ??( x) 异号, 2

则称点 ( x0 , f ( x0 )) 为曲线 y ? f ( x) 的拐点. 是否存在正实数 a 使得曲线 f ( x) 在其拐点处 切线的倾斜角 ? 为

5 ? ,若存在,求出 a 的值;若不存在说明理由. 6
x

18.已知函数 f ( x) ? ( x ?1)e ? 1, x ?[0,1] .

(I)证明: f ( x) ? 0 ; (II)若 a ?

ex ?1 ? b 在 x ? (0,1) 恒成立,求 b ? a 的最小值. x

19.设函数 f ( x) ? (1 ? x) 2 ? 2 ln( 1 ? x) . (I)若关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? 0 在 [0, e ? 1] 上有实数解,求实数 m 的取值范围; (II)设 g ( x) ? f ( x) ? x 2 ? 1,若关于 x 的方程 g ( x) ? p 至少有一个解,求 p 的最小值; (III)证明不等式: ln( n ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N * ) . 2 3 n

20.已知函数 f ( x) ? m( x ?1)e x ? x 2 . (I)若对任意的 x ? 0 ,不等式 x 2 ? (m ? 2) x ? f ?( x) 恒成立,求 m 的取值范围; (II)当 m ? ?1 时,求函数 f ( x) 在 [m,1] 上的最小值. 21.已知函数 f ( x) ? x ? eax (a ? 0) .若存在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,证明:

x1 ? ae . x2
2 x 22.已 知 函 数 f ( x) ? ax ? e . 若 f ( x) 有 两 个 极 值 点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 证 明 :

?

e ? f ( x1 ) ? ?1 . 2
x

23.已知函数 f ( x) ? a ? x ln a (a ? 1), g ( x) ? b ?

3 2 x . 2

(I)当 a ? e, b ? 5 时,求整数 n 的值,使得方程 f ( x) ? g ( x) 在区间 (n, n ? 1) 内有解; (II)若存在 x1 , x2 ?[?1,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 范围. 24.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? e 成立,求实数 a 的取值 2

1 2x ? ax , x ? (0,?? ), g ( x) ? 2 ? 1. x x ?1

(I)若函数 f ( x) 在 [1,??) 上是单调函数,求 a 的取值范围; (II)是否存在正实数 a 满足:对于任意 x1 ? [1,2] ,总存在 x2 ? [1,2] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成 立?若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,说明理由; (III)若数列 {xn } 满足 x1 ?

1 , xn?1 ? g ( xn ) ?1 , 2

求证:

( x ? x )2 5 ( x1 ? x2 ) 2 ( x2 ? x3 )3 ? ? ? ? n n?1 ? . x1 x2 x2 x3 xn xn?1 16
1 ? ln x 2e x ?1 . ? x(e ? 1) ( x ? 1)(xe x ? 1)

25.求证:当 x ? 1 时, 26.设函数 f ( x) ?

ae ln x 1 1 , g ( x) ? ? x ? (a ? e) ,若对任意 x ? [ ,?? ) , f ( x) 与 g ( x) 的 x 2 e 图像有且只有两个交点,求 a 的取值范围.

(1 ? a) x 2 ? ax ? a 27.设函数 f ( x) ? .当 x ? 0 时, f ( x) 的最大值为 a ,求 a 的取值范围. ex
28.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln( 1 ? x) ,若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 ,求证:

0?

f ( x2 ) 1 ? ? ? ln 2 . x1 2
3

29.已知函数 f ( x) ? x ?

3(t ? 1) 2 x ? 3tx ? 1(t ? 0) . 2

(I)若存在 x0 ? (0,2) ,使得 f ( x0 ) 是 f ( x) 在 [0,2] 上的最大值,求实数 t 的取值范围; (II)若 f ( x) ? xex ? m ? 2 对任意的 x ? [0,??) 恒成立,且 m 的最大值为 1,求实数 t 的取值 范围. 30.已知函数 f ( x) ?

1 3 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ax ? bx 2 (a ? 0) ,若 x1 ? x2 ? 4 ,总有 ? ?1 成立, 3 x1 ? x2

试用 a 表示出 b 的取值范围.

ax ? b x x e ( a ? 0) , 设函数 g ( x) ? a( x ?1)e ? f ( x) .若存在 x0 ? (1,??) x b 使得 g ( x0 ) ? g ?( x0 ) ? 0 成立,求 的取值范围. a
31.已知函数 f ( x ) ? 32.已知函数 f ( x) ? e ? 3 .
x

(I)若存在 x ? (0,??) ,使得不等式 f ( x) ?

2x ?

m ? 3 成立,求实数 m 的取值范围; x

(II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 3 ,如果函数 t ( x) 满足 g ( x) ? t ( x) 恒成立,则称函数 t ( x) 为 g ( x) 的 下 界 函 数 . 若 函 数 G( x) ? ex 是 g ( x) 的 下 界 函 数 , 试 证 明 : 对 任 意 的 m ? 2 , 函 数

h( x) ? m ? ln x 都是 g ( x) 的下界函数.

33.已知函数 f ( x) ? x ? ln(x ? 1) , g ( x) ? m f ( x ? 1) ?

x2 ? m x ,其中 1 ? m ? 3 . 求证:当 2

3 e2 x ? [1, e] 时, ? (1 ? ln 3) ? g ( x) ? ? 2 . 2 2
34.若函数 f ( x) 的图象从左到右先减后增,则称函数 f ( x) 为“ ? 型函数”,函数图象的最 低点的横坐标称为“ ? 点”. (I)若函数 f ( x) ? 的“ ? 点”;

1 ( x 2 ? 1) ? ln x 为“ ? 型函数”,试求实数 m 的取值范围,并求出此时 2m

(II)若函数 g ( x) ? x ? ln x ,试证明:

1 3n 2 ? n ? 2 ? (n ? N * , n ? 2) . ? k ? g ( k ) n ( n ? 1 ) k ?2
n

2 2 2 35.设函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? (ln x) ? 2a ,求证: f ( x) ?

1 . 2

36.设函数 f ( x) ? x ? 取值范围.

4 ? a ln x(a ? 4) ,若不等式 f ( x) ? 1 在区间 [1,4] 上有解,求实数 a 的 x 2 ? ax ? 2(a ? 0) . 若 x ? [0,2] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 x ?1

37.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? 实数 a 的取值范围.

2 38.设函数 f ( x) ? x ? a ln(x ? 2) ,且 f ( x) 存在两个极值点 x1 , x2 ,其中 x1 ? x2 .

(I)求实数 a 的取值范围; (II)若 f ( x1 ) ? mx2 恒成立,求 m 的最小值. 39.已知函数 f ( x) ? ( x ? a ? 1)e , g ( x) ? ( x ? 2)e
2 x 2 x?2

,若函数 f ( x) 有两个不同的极值点

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 ? 1 ,记 F ( x) ? e x f ( x) ? g ( x) ,求 F (m) 的最大值.
40.已知函数 f ( x) ? ?

?? x 3 ? x 2 , x ? 1 ?a ln x, x ? 1

(I)当 a ? 1 ,求 f ( x) 在 [0, e] 上的最大值; (II)对任意给定的正实数 a ,问:曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 ?POQ ( O 点为 坐标原点)是以 O 为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边的中点在 y 轴上? 41. 设 函 数 f ( x) ?

a 1 ? ln x, g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 . 如 果 对 任 意 的 s, t ? [ ,2] , 都 有 2 x 3

sf ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.


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