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课时作业43直线、平面平行的判定及其性质


课时作业(四十三)
一、选择题

直线、平面平行的判定及其性质
)

1.(2015· 济南模拟)平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α 答案:D

解析:若 α∩β=l,a∥l,a?α,a?β,故排除 A.若 α∩β=l,a?α,a∥l,则 a∥β,故 排除 B.若 α∩β=l,a?α,a∥l,b?β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C.故应选 D. 2.下面四个命题: ①分别在两个平面内的两直线平行; ②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确的命题是( A.①② C.①③ 答案:B 解析:①中的两条直线有可能平行,相交或异面,故①不正确,②正确,③中一个平面 内的两条相交直线分别平等于另一个平面,则这两个平面平行,故③不正确,④正确. 3.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的 中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( ) ) B.②④ D.②③

A.①② C.②③

B.①④ D.③④

答案:A 解析:由线面平行的判定定理,知①②可得出 AB∥平面 MNP. 4.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,且 PQ∥AC,PN∥BD,则下列 命题中,错误的是( )

A.AC⊥BD B.AC∥截面 PQMN C.AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 答案:C 解析:由题意可知 PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正确;由 PQ ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN,故 B 正确;由 PN∥BD 可知,异面直线 PM 与 BD 所成的角 等于 PM 与 PN 所成的角,又四边形 PQMN 为正方形,所以∠MPN=45° ,故 D 正确;而 AC=BD 没有论证来源. 5.(2015· 余姚模拟)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中 点,则下列说法错误的是( )

A.MN 与 CC1 垂直 C.MN 与 BD 平行 答案:D

B.MN 与 AC 垂直 D.MN 与 A1B1 平行

解析:如图,连接 C1D,BD,AC,在△C1DB 中,MN∥BD,故 C 正确;

∵CC1⊥平面 ABCD, ∴CC1⊥BD,∴MN 与 CC1 垂直,故 A 正确; ∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN 与 AC 垂直,故 B 正确; ∵A1B1 与 BD 异面,MN∥BD, ∴MN 与 A1B1 不可能平行,故 D 错误. 故应选 D. 6.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD, 且 MD=NB=1,G 为 MC 的中点,则下列结论中不正确的是( )

A.MC⊥AN B.GB∥平面 AMN C.平面 CMN⊥平面 AMN D.平面 DCM∥平面 ABN 答案:C 解析: 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体, 把该几何体放置到正方 体中(如图).

取 AN 的中点 H,连接 HB,MH,GB,则 MC∥HB,又 HB⊥AN,所以 MC⊥AN,所 以 A 正确; 由题意得 GB∥MH,又 GB?平面 AMN,MH?平面 AMN,所以 GB∥平面 AMN,所以 B 正确; 因为 AB∥CD,DM∥BN,且 AB∩BN=B,CD∩DM=D, 所以平面 DCM∥平面 ABN,所以 D 正确. 二、填空题 7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别为下底面的棱 A1B1, a B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ, 3

Q 在 CD 上,则 PQ=________.

2 2 答案: a 3 解析:如图,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,又平面 ABCD∩平面 PMNQ=PQ,∴ MN∥PQ.

∵MN∥AC,∴PQ∥AC. a 又∵AP= , 3 ∴ PD DQ PQ 2 = = = , AD CD AC 3

2 2 2 ∴PQ= AC= a. 3 3 8.已知平面 α∥平面 β,P 是 α,β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α,β 分别交于 A,C, 过点 P 的直线 n 与 α, β 分别交于 B, D, 且 PA=6, AC=9, PD=8, 则 BD 的长为________. 24 答案:24 或 5 解析:如图,根据题意可得到以下如图两种情况:

24 可求出 BD 的长分别为 或 24. 5 9.如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1, D1D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件 ________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

答案:M∈线段 FH 解析: 连接 FH, HN, FN, 由题意知 HN∥平面 B1BDD1, FH∥平面 B1BDD1, 且 FH∩HN =H, ∴平面 NHF∥平面 B1BDD1, ∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥平面 B1BDD1. 10.空间四面体 A-BCD 的两条对棱 AC,BD 的长分别为 5 和 4,则平行于两条对棱的 截面四边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是________.

答案:(8,10) DH GH 解析:设 = =k(0<k<1), DA AC AH EH 所以 = =1-k, DA BD 所以 GH=5k,EH=4(1-k),所以周长=8+2k. 又因为 0<k<1,所以周长的范围为(8,10). 三、解答题 11. (2015· 日照检测)如图, 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AD=DC=CB=a, ∠ABC= 60° , 四边形 ACFE 是矩形,且平面 ACFE⊥平面 ABCD,点 M 在线段 EF 上. (1)求证:BC⊥平面 ACFE; (2)当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?证明你的结论.

解:(1)证明:在梯形 ABCD 中,∵AB∥CD, AD=DC=CB=a, ∠ABC=60° ,

∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠DCA=∠DAC=30° ,∠DCB=120° , ∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90° ,∴AC⊥BC. 又平面 ACFE⊥平面 ABCD,交线为 AC, ∴BC⊥平面 ACFE. (2)当 EM= 3 a 时,AM∥平面 BDF,证明如下: 3

在梯形 ABCD 中,设 AC∩BD=N,连接 FN,如图,

则 CN∶NA= 1∶2. ∵EM= 3 a,而 EF=AC= 3a,∴EM∶MF=1∶2, 3

∴MF 綊 AN,∴四边形 ANFM 是平行四边形, ∴AM∥NF. 又∵NF?平面 BDF,AM?平面 BDF, ∴AM∥平面 BDF. 12.(2014· 江西)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥BC,A1B⊥BB1.

(1)求证:A1C⊥CC1; (2)若 AB=2,AC= 3,BC= 7,问 AA1 为何值时,三棱柱 ABC-A1B1C1 体积最大, 并求此最大值. 解:(1)证明:由 AA1⊥BC,知 BB1⊥BC, 又 BB1⊥A1B, 故 BB1⊥平面 BCA1,则 BB1⊥A1C, 又 BB1∥CC1,所以 A1C⊥CC1. (2)解法一:设 AA1=x,
2 2 在 Rt△A1BB1 中,A1B= A1B1 -BB2 1 = 4-x .

2 2 同理,A1C= A1C2 1-CC1 = 3-x .

A1B2+A1C2-BC2 在△A1BC 中,cos ∠BA1C= 2A1B· A1C x2 =- , ?4-x2??3-x2? sin ∠BA1C= 12-7x2 , ?4-x2??3-x2?

12-7x2 1 所以 S△A1BC= A1B· A1C· sin ∠BA1C= . 2 2 从而三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 x 12-7x2 V=S 直· l=S△A1BC· AA1= . 2 因为 x 12-7x2= 12x2-7x4= 3 7 时,体积 V 取到最大值 . 7 6?2 36 2 -7? ?x -7? + 7 ,故当 x= 6 42 42 = ,即 AA1= 7 7 7

解法二:如图,过 A1 作 BC 的垂线,垂足为 D,连接 AD. 因为 AA1⊥BC,A1D⊥BC, 所以 BC⊥平面 AA1D, 所以 BC⊥AD, 又∠BAC=90° , 1 1 所以 S△ABC= AD· BC= AB· AC, 2 2 2 21 得 AD= . 7 设 AA1=x,在 Rt△AA1D 中, A1D= AD2-AA2 1= 12 2 -x , 7

12-7x2 1 S△A1BC= A1D· BC= . 2 2 从而三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 x 12-7x2 V=S 直· l=S△A1BC· AA1= . 2 因为 x 12-7x2= 12x2-7x4



6?2 36 2 -7? ?x -7? + 7 , 6 42 42 3 7 = ,即 AA1= 时,体积 V 取到最大值 . 7 7 7 7

故当 x=


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