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三角函数的对称轴


三角函数图象的对称性质及其应用
一、正弦曲线和余弦曲线都是轴对称图形 性质 1、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的图象关于过最值点且垂直 于 x 轴的直线分别成轴对称图形;
y ? A sin(?x ? ? ) 对称轴方程的求法是:令 sin(?x ? ? ) ? ?1 ,得

?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,则 x ?

(2k ? 1)? ? 2? 为函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象的对称轴 2?

方程。
y ? A cos(?x ? ? ) 对称轴方程的求法是:令 cos(?x ? ? ) ? ?1 ,得

?x ? ? ? k? (k ? Z ) ,则 x ?

k? ? ?

例 1、函数 y ? 3 sin( 2 x ? ) 图象的一条对称轴方程是( (A) x ? 0 (B) x ?
2? 3 6

? ?

为函数 y ? A cos(?x ? ? ) 的图象的对称轴方程。 )
?
3

(C) x ? ?
?

?
6

(D) x ?
?

? k? ? (k ? Z ) ,即 6 6 2 k ? 2? x ? ? ? (k ? Z ) ,取 k ? 1 时, x ? ,故选(B) 。 2 6 3 1 ? 例 2、函数 f ( x) ? cos( 3x ? ) 的图象的对称轴方程是 2 3

解:由性质 1 知,令 3 sin( 2 x ? ) ? ?1 得 2 x ?

?

解:由性质 1 知, 令 cos( 3x ? ) ? ?1 得 3 x ?
3 x?

?

?

k ? ? k ? ? ? (k ? Z ) , 所以 f ( x) ? cos( 3 x ? ) 的图象的对称轴方程 x ? ? ? (k ? Z ) 。 3 9 3 3 9

3

? k? (k ? Z ) ,即

二、正弦曲线和余弦曲线都是中心对称图形 性质 2、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的图象关于其与 x 轴的交点 分别成中心对称图形;
y ? A sin(?x ? ? ) 的对称中心求法是:令 sin(?x ? ? ) ? 0 ,得 ?x ? ? ? k? (k ? Z ) ,

则x ?

k? ? ?

?

(k ? Z ) , 所以函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象关于点 (

k? ? ?

?

,0) (k ? Z ) 成中

心对称;
y ? A cos(?x ? ? ) 对称中心的求法是:令 cos(?x ? ? ) ? 0 ,得
1

2 (2k ? 1)? ? 2? ,0) (k ? Z ) 成中心对称; 象关于点 ( 2?

?x ? ? ? k? ?

?

(k ? Z ) ,则 x ?

(2k ? 1)? ? 2? (k ? Z ) ,所以函数 y ? A cos(?x ? ? ) 的图 2?

例 3、函数 y ? 4 sin( 2 x ? ) 的图象的一个对称中心是( (A) (
?
12 ,0 )

?

6 ? ? k ? 解: 由性质 2 知, 令 sin( 2 x ? ) ? 0 得 2 x ? ? k? (k ? Z ) , 即 x ? ? ? (k ? Z ) , 6 6 2 12

(B) ( ,0)
3

?

6


?

(C) (? ,0)
6

?

(D) ( ,0)

取 k ? 0 时, x ?

?

12

,故选(A) 。
1 2

例 4、函数 y ? 2 cos( x ? ) 的图象的对称中心是
8

?

解:由性质 2 知, 令 cos( x ? ) ? 0 得 x ?
8 x ? 2k? ? ( 2k? ?

5? ,0) ( k ? Z ) 。 4

5? 1 ? (k ? Z ) ,所以函数 y ? 2 cos( x ? ) 的图象的对称中心是 4 2 8

1 2

?

1 2

?
8

? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即

三、正切曲线和余切曲线都是中心对称图形
?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的图象关于其与 x 轴的交点 性质 3、函数 y ? A tan(

分别成中心对称图形;
y ? A tan( ?x ? ? ) 对称中心的求法是:令 tan( ?x ? ? ) ? 0 ,得 ?x ? ? ? k? (k ? Z ) ,

则x ? 称;

k? ? ?

?

?x ? ? ) 的图象关于点 ( ,所以函数 y ? A tan(

k? ? ?

?

,0) (k ? Z ) 成中心对

y ? A cot( ?x ? ? ) 对称中心求法是: ?x ? ? ) ? 0 , 令 cot( 得 ?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,

则x ?

(2k ? 1)? ? 2? ?x ? ? ) 的图象关于点 ,所以函数 y ? A cot( 2? (2k ? 1)? ? 2? ( ,0) (k ? Z ) 成中心对称; 2?

例 5、求函数 y ? 3 tan( 2 x ? ) 的对称中心的坐标。
3

?

解: 由性质 3 知,令 tan( 2 x ? ) ? 0 得 2 x ?
?
3 3

?

?
3

? k? (k ? Z ) , 即x ? k 2

所以函数 y ? 3 tan( 2 x ? ) 的图象的对称中心是 ( ? ? ,0) (k ? Z ) 。
6

?

k ? ? ? (k ? Z ) , 2 6

四、对称性规律:
2

1.若 x ? a 是 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 或 f ( x) ? A cos(? x ? ?) 的对称轴,则 f (a) ? ? A 2.若 (a, 0) 是 f ( x) ? A sin(? x ? ?) 或 f ( x) ? A cos(? x ? ?) 或 f ( x) ? A tan(? x ? ?) 的对称中 心,则 f (a) ?0 解题思路:解选择题的思路即代入法。 五、应用 1.解析式问题 由于对称轴都是通过函数图像的最高点或者最低点的直线,所以把对称 轴的方程代入到函数解析式,函数此时可能取得最大值或最小值。 例 1.设函数 f ( x) = sin(2 x ? ? ) ( ? ? ? ? ? 0 ) , f ( x) 图像的一条对称轴是直 线x?
?
8

,求 ? 的值。
?
8

解析:∵ x ?
?
4

是函数 y= f ( x) 的图像的对称轴,∴ sin( 2 ? ? ? ) ? ?1 ,
2 3? 。 4 8

?

∴ ? ? ? k? ? ,k∈Z,而 ? ? ? ? ? 0 ,则 ? ? ? 2.参数问题

?

过函数 y=Asin (? ? x ? ? ) 图象最值点与 y 轴平行(或重合)的直线都是函数 图象的对称轴。 例 2.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,则 a 的 值为( A. 2 ) B.- 2 C.1 D.-1
1 1 ? a2

? 8

解法一: y = sin2x + acos2x= 1 ? a2 sin ( 2x + ? ) ,其中 cos ? = sin ? =
? 8
a 1 ? a2



, 由函数的图象关于 x=- 对称知, 函数 y=sin2x+acos2x 在 x=
? 4 ? 4

? 8

- 处取得最大值或最小值,∴sin(- )+acos(- )=± 1 ? a2 , 即
2 (1-a)=± 1? a2 ,解得 a=-1,所以应选择答案:D。 2

3

解法二:∵f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, ∴ f? ??
? ? ? ? ? ? ?? ? x ? ? f ? ? ? x ? ,令 x=- ,得 f ? ? ? ? f ?0? , 8 ? 8 ? ? 8 ? ? 4?

? 8

?

?? ? ?? ∴sin ? ? ? ? +acos ? ? ? =sin0+acos0,得 a=-1,
? 2? ? 2?

3.单调区间问题 一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间,可先运用对称轴方 程求其一个单调区间,然后在两端分别加上周期的整数倍即得。 例 3.在下列区间中函数 y=sin(x+ )的单调增区间是( ) A. [ ,? ]
? 2 ? 4

B. [0, ]
? 4

? 4 3? ∈Z) , 照选择支, 分别取 k=-1、 0、 1, 得一个递增或递减区间分别是 [- , 4 ? ? 5? ]或[ , ] ,对照选择支思考即知应选择答案:B。 4 4 4

? 4

C. [- ? ,0]
? 2

D. [ , ]
? 4

? 4

? 2

解析:函数 y=sin(x+ )的对称轴方程是:xk=k ? + - =k ? + (k

4.函数性质问题 例 4.设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ,则 f ( x) 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.
? 2 ? 4

D.

? 4

解析:设点 P 是函数 f ( x) ? sin ?x 的图象 C 的一个对称中心,若点 P 到图象 C 的对称轴上的距离的最小值 ? , 而图象的对称中心到一条对称轴的距离的最
4

小值等于 周期,∴最小正周期为 T= ? ×4=π,即选择答案:B。
4

1 4

函数 y= A sin(? ? x ? ? ) 的对称轴有无数条,它们的周期不是 T= T=
k? ,可以理解为对称轴的周期是函数周期的一半。 ?

2 k?

?

,而是

4


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