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2015-2016年高中数学 1.1集合的含义及其表示学案 苏教版必修1


2015-2016 年高中数学 1.1 集合的含义及其表示学案 苏教版必修 1

1.一般地,一定范围内某些确定的不同的对象的全体构成一个集合,集合中的每一个 对象称为该集合的元素,简称元. 2.元素与集合的关系:如果 x 是集合 A 中的元素,则说 x 属于集合 A,记作 x∈A;若 x 不是集合 A 中的元素,就说 x 不属于集合 A,记作 x?A. 3.集合中元素的三个特征: (1)确定性:给定集合 A,对于某个对象 x, “x∈A”或“x?A”这两者必居其一且仅居其 一. (2)互异性:集合中的元素互不相同,不允许重复. (3)无序性:在一个给定的集合中,元素之间无先后次序之分. 4.集合的表示. (1)把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内元素之间逗号分隔表示集合的方法称 为列举法. (2)把集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内表示集合的方法称为描述法. 常 用形式是:{x|p},竖线前面的 x 叫做集合的代表元素,p 表示元素 x 所具有的公共属性. (3)用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合,这种图形称为 Venn 图.用 Venn 图、数 轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为图示法. 5.常用集合的符号表示. 实数集 正实数集 有理数集 整数集 自然数集 正整数集 + * R R Q Z N N+或 N 6.最小的自然数是 0. 例如:小于 5 的自然数分别为 0、1、2、3、4. 7.含有有限个元素的集合叫有限集,含有无限个元素的集合叫无限集. 例如:大于 0 小于 1 的实数构成的集合是有限集还是无限集?无限集. 例如:小于 3 的自然数集用列举法表示为{0,1,2}(其他合理皆可);用描述法表示为 {x|x<3 且 x∈N}或{小于 3 的自然数}.,

一、集合的概念及其元素的特征 集合,其具有确定性、互异性、无序性特征.特别是互异性特征,既是易出错点,也是 高考常考知识点.
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例如由 book 中的字母组成的集合是{b,o,k}. 2 方程(x -4x+4)(x+3)=0 的根构成的集合为{2,-3},不能写成{2,2,-3}. 无序性就是指集合的元素之间没有顺序关系,只要放在一起,不存在次序问题. 二、元素与集合的关系 元素 a 与集合 A 之间是属于或不属于关系,即要么 a∈A,要么 a?A. 三、常用数集的符号表示及集合的分类 * 自然数集 N,正整数集 N 或 N+,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R.按照集合所含元素个 数的多少分为:有限集、无限集、空集. 四、集合的表示方法:列举法、描述法、Venn 图 用列举法、描述法表示集合时,应注意根据问题的不同情境或形式选择合理的表示方 法.列举法不宜表示无限集,用描述法表示集合时,应该注意代表元素的性质.例如表示数 集时代表元素可用一个字母 x 表示, 而表示点集时代表元素则用(x, y)来表示. 此外用 Venn 图表示集合的最大优势在于形象直观.总之应根据不同的情况合理地选择应用. 五、注重对空集概念的理解 一般地,我们把不含任何元素的集合称为空集,记作?.空集是特殊集合,它不含任何元 素,规定它是有限集,特别要注意?与{0}{?}的区别.

基 础 巩 固 1.下列说法正确的是(C)

A.我校爱好足球的同学组成一个集合 B.{1,2,3}是不大于 3 的自然数组成的集合 C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合 1 3 6 1 D.数 1,0,5, , , , 组成的集合有 7 个元素 2 2 4 4 2.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素个数 为(C) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 3.下列四个关系中,正确的是(A) A.a∈{a,b} B.{a}∈{a,b} C.a?{a} D.a?{a,b} 4.集合 M={(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}是(D) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集 解析:集合 M 为点集且横、纵坐标异号,故是第二、四象限内的点集. 5.若 A={(2,-2),(2,2)},则集合 A 中元素的个数是(B) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.集合 M 中的元素都是正整数,且若 a∈M,则 6-a∈M,则所有满足条件的集合 M 共 有(B) A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个 解析:由题意可知,集合 M 中包含的元素可以是 3,1 和 5,2 和 4 中的一组,两组,三 组,即 M 可为{3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{3,1,5,2, 4},共 7 个.
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7.下列集合中为空集的是(C) 2 2 A.{x∈N|x ≤0} B.{x∈R|x -1=0} 2 C.{x∈R|x +x+1=0} D.{0} 2 8.设集合 A={2,1-a,a -a+2},若 4∈A,则 a=(C) A.-3 或-1 或 2 B-3 或-1 C.-3 或 2 D.-1 或 2 2 解析:当 1-a=4 时,a=-3,A={2,4,14};当 a -a+2=4 时,得 a=-1 或 2, 当 a=-1 时,A={2,2,4},不满足互异性,当 a=2 时,A={2,4,-1}. ∴a=-3 或 2. 9.集合 P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x=4k+1,k∈Z},若 a∈P,b∈Q,则有(B) A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.a+b 不属于 P、Q、M 中任意一个 解析:∵a∈P,b∈Q,∴a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z.∴a+b=2(k1+k2)+1,k1, k2∈Z.∴a+b∈Q. 10.由下列对象组成的集体,其中为集合的是①④⑤(填序号). ①不超过 2π 的正整数; ②高一数学课本中的所有难题; ③中国的高山; ④平方后等于自身的实数; ⑤高一(2)班中考 500 分以上的学生. 2 2 11.若 a=n +1,n∈N,A={x|x=k -4k+5,k∈N},则 a 与 A 的关系是________. 2 2 解析:∵a=n +1=(n+2) -4(n+2)+5,且当 n∈N 时,n+2∈N. 答案:a∈A 12.集合 A={x|x∈R 且|x-2|≤5}中最小整数为_______ 解析:由|x-2|≤5? -5≤x-2≤5? -3≤x≤7,∴最小整数为-3. 答案:-3 * * .13.一个集合 M 中元素 m 满足 m∈N , 且 8-m∈N , 则集合 M 的元素个数最多为______. 答案:7 个 14.下列各组中的 M、P 表示同一集合的是________(填序号). ①M={3,-1},P={(3,-1)}; ②M={(3,1)},P={(1,3)}; 2 2 ③M={y|y=x -1,x∈R},P={a|a=x -1,x∈R}; 2 2 ④M={y|y=x -1,x∈R},P={(x,y)|y=x -1,x∈R}. 答案:③ 能 力 提 升 15. 已知集合 A={x|x∈R|(a -1)x +(a+1)x+1=0}中有且仅有一个元素, 求 a 的值. ? ? 1 1 2 解析:(1)若 a -1=0,则 a=±1.当 a=1 时,x=- ,此时 A=?- ?,符合题意;当 2 ? 2? a=-1 时,A=?,不符合题意. ? 3? 5 2 2 2 (2)若 a -1≠0, 则Δ =0, 即(a+1) -4(a -1)=0? a= , 此时 A=?- ?, 符合题意. 综 3 ? 4? 5 上所述,a=1 或 . 3
2 2 014 2 013 16.若集合 A=?a, ,1?又可表示为{a ,a+b,0},求 a +b 的值. 2 2

? ?

b a

? ?

b 解析:由题知 a≠0,故 =0. a
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∴b=0.∴a =1. ∴a=±1. 又 a≠1,故 a=-1. 2 014 2 013 2 014 2 013 ∴a +b =(-1) +0 =1. 17.设正整数的集合 A 满足:“若 x∈A,则 10-x∈A” . (1)试写出只有一个元素的集合 A; (2)试写出只有两个元素的集合 A; (3)这样的集合 A 至多有多少个元素? 解析:(1)令 x=10-x? x=5.故 A={5}. (2)若 1∈A,则 10-1=9∈A;反过来,若 9∈A,则 10-9=1∈A.因此 1 和 9 要么都在 A 中,要么都不在 A 中,它们总是成对地出现在 A 中.同理,2 和 8,3 和 7,4 和 6 成对地 出现在 A 中,故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合. (3)A 中至多有 9 个元素,A={1,9,2,8,3,7,4,6,5}. 1+a 18.若数集 M 满足条件:若 a∈M,则 ∈M(a≠0,a≠±1),则集合 M 中至少有几个 1-a 元素? 1+a 解析:∵a∈M, ∈M, 1-a 1+a 1+ 1-a 1 ∴ =- ∈M. 1+a a 1- 1-a 1 a-1 1- 1+ a a-1 a+1 ∴ = ∈M.∴ =a∈M. 1 a+1 a-1 1+ 1- a a+1 ∵a≠0 且 a≠±1, 1+a 1 a-1 ∴a, ,- , 互不相等.∴集合 M 中至少有 4 个元素. 1-a a a+1

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