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高二下期末模拟卷007—1306


连云港外国语学校 2012~2013 学年度 高二年级数学理科期末复习卷(七) 命题人:刘希团 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置. 1.若复数 z1 2013 年 6 月

? 1 ? 8i, z 2 ? 3 ? 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z 2 )i 的虚部为

.

1 . ? ai 是实数,则实数 a ? 1? i ??? ? ???? ? ???? ? ? ???? ? ???? ? ??? ? 3. 在 正 方 体 A B C D? A B C D , AB ? i , AD ? j , AA1 ? k , 设 点 E 满 足 D1 E ? 3 EC1 , 则 向 量 AE ? 中 1 1 1 1 ? ? ? (用 i , j , k 表示). 2 5 3 4.在 ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是 . x
2. 设 i 是虚数单位,若 z

?

Y C Y

5. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不排在第 1 节,则 不同的排法种数为 .(以数字作答). 6.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是

1 2

,他投篮 10 次,恰好投进 3 个球的概率

. (用数值作答)

7.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站 法种数是_______. 8.若 (2 x ? 1) 9. 将曲线 x ? 10. 随机变量 ?
4

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? a4 x 4 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ______.
. 的分布列如下:

y 2 ? 1 绕原点逆时针旋转 45? 后,得到的曲线 C 方程为

?
P
其中 a,b,c 成等差数列,若期望 E

?1

0
b

1

a
1 3
,则方差 V

c


?? ? ?

? ? ? 的值是

11.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分,设得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤7)= . 12.古希腊毕达哥拉斯学派把 3,6,10,15,?这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可以排成如图所示的三角形, 则 第 n 个三角形数为 .

13. 已知 a , b, c ? Z ,若 a

. ? b 2 ? c 2 ,则下列说法正确的序号是 第 12 题 ① a , b, c 可能都是偶数; ② a , b, c 不可能都是偶数; ③ a , b, c 可能都是奇数; ④ a , b, c 不可能都是奇数. a1 ? 2 a2 ? 3a3 ? ? ? nan 14.数列 {a n } 是正项等差数列,若 bn ? ,则数列 {bn } 也为等差数列,类比上述结论,数列 1? 2 ? 3 ?? ? n {cn } 是正项等比数列,若 d n ? ,则数列 {d n } 也为等比数列.
2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

数学试题

共 4 页,第 1 页

?0 1 ? ? 0 ? 1? M ? ? 在平面直角坐标系中, 设直线 2 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对 ? ,N ? ? ?。 ?1 0 ? ?1 0 ? 应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程
已知矩阵 16.(本题满分 14 分) 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G, G 在 AD 上,且 PG=4, AG ?

1 3

GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点.

P

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求 17. (本题满分 14 分) 已知曲线 C : {

PF FC

的值.

x ? 3 cos ? y ? 3 sin ?

,直线 l

: ?(2 cos ? ? 3 sin ? ) ? 13 .
B

A

G

F D

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值. 18. (本题满分 16 分) 已知矩阵

E

C

a? / ? , a ? R , 若点 P ( 2,?3) 在矩阵 A 的变换下得到点 P (3,3). ? 1? (1)则求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量.
一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要么只写有数字“ 2012 ” ,要

?3 A?? ?0

19. (本题满分 16 分) 么只写有文字“奥运会” .假定每个小球每一次被取出的机会都相同,又知从中摸出 2 个球都写着“奥运会”的概率 是

1 7

.现甲、乙两个小朋友做游戏,方法是:不放回从口袋中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再取,直到

两个小朋友中有一人取得写着文字“奥运会”的球时游戏终止. (1)求该口袋内装有写着数字“ 2012 ”的球的个数; 20. (本题满分 16 分) 在数列 {a n } 、 {bn } 中, a1 (2)求当游戏终止时总球次数 ? 的概率分布列和期望 E ? .

? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列 ( n ? N ? ) .

⑴求 a 2 , a3 , a 4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 {a n } 、 {bn } 的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑵证明:

1 a1 ? b1

?

1 a2 ? b2

???

1 an ? bn

?

5 12



数学试题

共 4 页,第 2 页

高二年级数学理科期末复习卷参考答案(七)
命题人:刘希团 2013 年 6 月 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在相应位置. Y 1.若复数 z1 ? 1 ? 8i , z 2 ? 3 ? 4i ,其中 i 是虚数单位,则复数 ( z1 ? z 2 )i 的虚部为 . ?2 C 1 1 Y 2. 设 i 是虚数单位,若 z ? . ? ai 是实数,则实数 a ? 2 1? i 3. 在 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , AB ? i , AD ? j , AA1 ? k , 设 点 E 满 足 D1 E ? 3 EC1 , 则 向 量

??? ?

? ????

? ????

?

???? ?

???? ?

??? ? AE ?

(用 i , j , k 表示).

? ? ?

3? ? ? i? j?k 4
. ?10

4.在 ( x ? ) 的二项展开式中, x 的系数是
5
3

2 x

5. 某班某天要安排语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课,要求数学课排在前 3 节,体育课不 排在第 1 节,则不同的排法种数为 .(以数字作答). 312 6.某篮球运动员在三分线投篮的命中率是 作答)

1 2

,他投篮 10 次,恰好投进 3 个球的概率

. (用数值

15 128

7.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上,若每级台阶最多站 2 人,同一级台阶上的人不区分站的位 置,则不同的站法种数是_______.336 8.若 (2 x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x ? a4 x ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ______.1
4 2 3 4

9. 将 曲 线 x ? y ? 1 绕 原 点 逆 时 针 旋 转 45? 后 , 得 到 的 曲 线 C 方 程 为
2

.

x ? y ? 2 xy ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0
2 2

10. 随机变量 ? 的分布列如下:

?
P

?1

0

1

a
1 3

b

c

5

9 11.袋中有 4 只红球 3 只黑球,从袋中任取 4 只球,取到 1 只红球得 1 分,取到 1 只黑球得 3 分,设 13 得分为随机变量 ξ ,则 P(ξ ≤7)= . 35 12.古希腊毕达哥拉斯学派把 3,6,10,15,?这列数叫做三角形数,因为这列数对应的点可以排成如图

其中 a,b,c 成等差数列,若期望 E ? ? ? ?

,则方差 V ? ? ? 的值是

所示的三角形, 则第 n 个三角形数为

.

( n ? 1) ? n ? 2 ? 2

数学试题

共 4 页,第 3 页

13. 已知 a , b, c ? Z ,若 a ? b ? c ,则下列说法正确的序号是
2 2 2

. ①④

① a , b, c 可能都是偶数; ③ a , b, c 可能都是奇数; 14.数列 {an } 是正项等差数列,若 bn ?

② a , b, c 不可能都是偶数; ④ a , b, c 不可能都是奇数.

a1 ? 2 a2 ? 3a3 ? ? ? nan

1? 2 ? 3 ?? ? n 结论,数列 {cn } 是正项等比数列,若 d n ?

,则数列 {bn } 也为等差数列,类比上述 ,则数列 {d n } 也为等比数列.

?C ? C
1

2 2

? C33 ? ? ? Cn n ? n? n ?1?

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)

?0 1 ? ? 0 ? 1? ? ,N ? ? ? 。在平面直角坐标系中,设直线 2 x ? y ? 1 ? 0 在矩 ?1 0 ? ?1 0 ? 阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线 F ,求曲线 F 的方程 ? 0 1 ? ? 0 ? 1? ?1 0 ? 解:由题设得 MN ? ? ? ? ? ??? ? ,设 ( x, y ) 是直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上任意一点, ?1 0 ? ?1 0 ? ? 0 ? 1? 点 ( x , y ) 在矩阵 MN 对应的变换作用下变为 ( x ?, y ?) , ?1 0 ? ? x ? ? x ? ? ? x ? ? x ?? ? x ? x? 则有 ? ? ? ? ? ? ?? , 即 ? ? ? ? ?? ,所以 ? ?0 ? 1? ? y ? ? y ? ?? y ? ? y ? ? y ? ? y? 因为点 ( x , y ) 在直线 2 x ? y ? 1 ? 0 上,从而 2 x ? ? ( ? y ?) ? 1 ? 0 ,即: 2 x ? ? y ? ? 1 ? 0 所以曲线 F 的方程为 2 x ? y ? 1 ? 0
已知矩阵 M ? ? 16.(本题满分 14 分) 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 1 PG=4, AG ? GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3 (1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; PF (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求 的值. P FC
GC 、 为 x 轴、y 轴、 GP 解:(1)以 G 点为原点, GB 、 z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0),

P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0,2,
cos ? GE , PC ?? GE ? PC | GE | ? | PC | ? 2 2 ? 20 ? 10 10

4)。 A G F D



∴GE 与 PC 所成的余弦值为

. 10 (2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,±1,0) .

10

B

E

C

数学试题

共 4 页,第 4 页

3 , ,0) , 4 4 2 2 3 ∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |= . 2 3 3 3 3 (3)设 F(0,y,z),则 DF ? (0 , , ) ? (? , , ) ? ( ,y ? , ) 。 y z 0 z 2 2 2 2

∵ GD ?

3

AD ?

3

BC ? (?

3

∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 ,
3 3 即 ( ,y ? , ) ? (0, , ) ? 2 y ? 3 ? 0 , z 2 0 2 2 3 3 ∴y? , 又 PF ? ? PC ,即(0, ,z-4)=λ(0,2,-4), ∴z=1, 2 2 3 5 3 1 3 PF 故 F(0, ,1) , PF ? (0, , 3), ? (0, , 1) ,∴ ? FC ? ? 2 ?3。 2 2 2 PC 5 2 17. (本题满分 14 分)

已知曲线 C : {

x ? 3 cos ? y ? 3 sin ?

,直线 l : ?(2 cos ? ? 3 sin ? ) ? 13 .

(1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 的距离的最小值. (1) 2 x ? 3 y ? 13 ; (2) 13 ? 3 18. (本题满分 16 分)

a? / ? , a ? R , 若点 P ( 2,?3) 在矩阵 A 的变换下得到点 P (3,3). 0 ? 1? ? (1)则求实数 a 的值; (2)求矩阵 A 的特征值及其对应的特征向量. (1) a ? 1 ; ?1 ? ? 1 ? (2)特征值 ?1 ? 3, ? 2 ? ?1 对应的特征向量分别为 ? 1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? ?0 ? ?? 4?
已知矩阵 A ? ? 19. (本题满分 16 分) 一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的 7 个小球,且每个小球的球面上要么只写有数 字“ 2012 ” ,要么只写有文字“奥运会” .假定每个小球每一次被取出的机会都相同,又知从 中摸出 2 个球都写着“奥运会”的概率是

?3

1 7

.现甲、乙两个小朋友做游戏,方法是:不放回从口

袋中轮流摸取一个球, 甲先取、乙后取, 然后甲再取,直到两个小朋友中有一人取得写着文字 “奥 运会”的球时游戏终止. (1)求该口袋内装有写着数字“ 2012 ”的球的个数; (2)求当游戏终止时总球次数 ? 的概率分布列和期望 E ? . 解: (1)4 个; (2) ? 1 2 3 4 5
数学试题 共 4 页,第 5 页

P
E? ? 2

3 7

2 7

6 35

3 35

1 35

20. (本题满分 16 分) 在数列 {an } 、 {bn } 中, a1 ? 2, b1 ? 4 ,且 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列 ( n ? N ? ) . ⑴求 a2 , a3 , a4 及 b2 , b3 , b4 ,由此猜测 {an } 、 {bn } 的通项公式,并用数学归纳法证明; ⑵证明:

1 a1 ? b1

?

1 a2 ? b2

???
2

1 an ? bn

?

5 12



解:⑴由条件得 2bn ? an ? an ?1 , an ?1 ? bn bn ?1 ,再由 a1 ? 2, b1 ? 4 推得 a2 ? 6, b2 ? 9,

a3 ? 12, b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25 ,猜测 an ? n ( n ? 1), bn ? ( n ? 1) 2 ,用数学归纳法证明如下:① n ? 1
时,由上知结论成立。②假设 n ? k 时,结论成立,即 ak ? k ( k ? 1), bk ? ( k ? 1) ,那么 n ? k ? 1 时,
2

ak ?1 ? 2bk ? ak ? 2( k ? 1) 2 ? k ( k ? 1) ? ( k ? 1)( k ? 2)

bk ?1 ?

ak2?1 bk

?

( k ? 1) 2 ( k ? 2) 2 ( k ? 1)
2

? ( k ? 2) 2 ,结论也成立,
2

由①②知, an ? n ( n ? 1), bn ? ( n ? 1) 对一切正整数都成立. ⑵证明当 n ? 1 时,

1 a1 ? b1

?

1 6

?
1

5 12

,当 n ? 2 时,由①知 an ? bn ? n ( n ? 1) ? ( n ? 1)

2

? ( n ? 1)(2n ? 1) ? 2( n ? 1) n ,故

a1 ? b1

?

1 a2 ? b2

???

1 an ? bn

2 2 ? 3 3? 4 1 5 . ? ? ? 6 4 12

?

1 6 1

?

1

(

1

?

1

???

1 n ( n ? 1)

) ?

1 6

?

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ? ? 2 2 n ?1 6 4 2( n ? 1)

数学试题

共 4 页,第 6 页


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