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高中数学圆锥曲线15、16高考真题

高中数学圆锥曲线高考真题
一.解答题(共 30 小题) 1.已知椭圆 C: + =1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点.

(1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 2.平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率是 ,抛

物线 E:x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同 的两点 A,B,线段 AB 的中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上; (ii) 直线 l 与 y 轴交于点 G, 记△PFG 的面积为 S1, △PDM 的面积为 S2, 求 最大值及取得最大值时点 P 的坐标. 的

3. 设椭圆

+

=1 ( a>

) 的右焦点为 F, 右顶点为 A, 已知

+

=



其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率.
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4.如图,设椭圆 C:

+y2=1(a>1)

(Ⅰ)求直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长(用 a,k 表示) (Ⅱ)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离 心率的取值范围.

5. 设椭圆

+

=1 ( a>

) 的右焦点为 F, 右顶点为 A. 已知

+

=



其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交 于点 M,与 y 轴于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线 l 的斜率的取 值范围. 6.在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px (p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延长交 C 于点 H. (Ⅰ)求 ;

(Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 7. 已知抛物线 C: y2=2x 的焦点为 F, 平行于 x 轴的两条直线 l1, l2 分别交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 8.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过动点 M(0,m) (m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在
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第一象限) ,且 M 是线段 PN 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延 长 QM 交 C 于点 B. (ⅰ)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明 (ⅱ)求直线 AB 的斜率的最小值. 为定值;

9.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 , )在椭圆 E 上.

的三个顶点,点 P(

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳?︳MB︳=︳MC ︳?︳MD︳ 10. 已知椭圆 E: + =1 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点, 斜率为 k (k>0)

的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (Ⅰ)当 t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围. 11.已知 A 是椭圆 E: + =1 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E 与 A,

M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积 (II) 当 2|AM|=|AN|时,证明: 12.如题图,椭圆 <k<2.

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直
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线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1 (Ⅰ)若|PF1|=2+ |=2﹣ ,求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.

13.如题图,椭圆

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,且过 F2 的直

线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1. (Ⅰ)若|PF1|=2+ ,|PF2|=2﹣ ,求椭圆的标准方程.

(Ⅱ)若|PQ|=λ|PF1|,且 ≤λ< ,试确定椭圆离心率 e 的取值范围.

14.设椭圆 E 的方程为

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为

(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 .

(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB. 15.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 + =1(a>b>0)的一个

,过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与
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C2 相交于 C,D 两点,且 (Ⅰ)求 C2 的方程;



同向.

(Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 16.已知椭圆 上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对称.

(1)求实数 m 的取值范围; (2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

17.已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: 焦点.C1 与 C2 的公共弦长为 2 (Ⅰ)求 C2 的方程; .

+

=1(a>b>0)的一个

(Ⅱ)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A、B 两点,与 C2 相交于 C、D 两点,且 同向. (ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率;



(ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△ MFD 总是钝角三角形. 18. 一种画椭圆的工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点, 短杆 ON 可绕 O 转动, 长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动, 且 DN=ON=1, MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖画 出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直 角坐标系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若 直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 试探究: △OPQ 的面积是否存在最小值?
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若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

19.已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,

0) , (0,b)的直线的距离为 c. (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率; (Ⅱ)如图,AB 是圆 M: (x+2)2+(y﹣1)2= 的一条直径,若椭圆 E 经过 A、 B 两点,求椭圆 E 的方程.

20.椭圆 C:

=1, (a>b>0)的离心率

,点(2,

)在 C 上.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的 中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 21.如图,椭圆 E: + =1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且离心率为 .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异 于点 A) ,证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

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22.已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. 23.已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行 四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 24.已知椭圆 E: + =1(a>b>0)过点 ,且离心率 e 为 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 x=my﹣1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由. 与以

25.已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m)在抛物线 E 上, 且|AF|=3, (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(﹣1,0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且
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与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

26. 平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C:

+

=1 (a>b>0) 的离心率为



左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半 径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m

交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;

(ii)求△ABQ 面积的最大值. 27.设椭圆 E 的方程为 + =1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为

(a,0) ,点 B 的坐标为(0,b) ,点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对 称点的纵坐标为 ,求 E 的方程. 28.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心率为 ,点

M 在椭圆上且位于第一象限, 直线 FM 被圆 x2+y2= .

截得的线段的长为 c, |FM|=

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(Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 斜率的取值范围. 29.如图,椭圆 E: 的离心率是 ,过点 P(0,1)的动直 ,求直线 OP(O 为原点)的

线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线 段长为 2 .

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q, 使得 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

30. 已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,点 P(0, 1)和点 A(m,

n) (m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N,问:y 轴上是否存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点 Q 的坐标,若不存在, 说明理由.

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高中数学圆锥曲线高考真题
参考答案与试题解析

一.解答题(共 30 小题) 1. (2016?北京)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N,求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 【分析】 (1)由题意可得 a=2,b=1,则 程可求,离心率为 e= ; ,则椭圆 C 的方 + =1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点.

(2)设 P(x0,y0) ,求出 PA、PB 所在直线方程,得到 M,N 的坐标,求得|AN|, |BM|.由 值 2. 【解答】 (1)解:∵椭圆 C: ∴a=2,b=1,则 ∴椭圆 C 的方程为 (2)证明:如图, 设 P(x0,y0) ,则 ,PA 所在直线方程为 y= , + =1 过点 A(2,0) ,B(0,1)两点, , ,离心率为 e= ; ,结合 P 在椭圆上求得四边形 ABNM 的面积为定

取 x=0,得



,PB 所在直线方程为



取 y=0,得



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∴|AN|=



|BM|=1﹣





=

=



=

=

= ∴四边形 ABNM 的面积为定值 2.



【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,考查计算能力与推 理论证能力,是中档题.

2. (2016?山东)平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 心率是

+

=1(a>b>0)的离

,抛物线 E:x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 P 是 E 上的动点,且位于第一象限,E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同 的两点 A,B,线段 AB 的中点为 D,直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. (i)求证:点 M 在定直线上;
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(ii) 直线 l 与 y 轴交于点 G, 记△PFG 的面积为 S1, △PDM 的面积为 S2, 求 最大值及取得最大值时点 P 的坐标.



【分析】 (I)运用椭圆的离心率公式和抛物线的焦点坐标,以及椭圆的 a,b,c 的关系,解得 a,b,进而得到椭圆的方程; (Ⅱ) (i)设 P(x0,y0) ,运用导数求得切线的斜率和方程,代入椭圆方程,运 用韦达定理,可得中点 D 的坐标,求得 OD 的方程,再令 x=x0,可得 y=﹣ .进 而得到定直线; (ii)由直线 l 的方程为 y=x0x﹣y0,令 x=0,可得 G(0,﹣y0) ,运用三角形的面 积公式,可得 S1= |FG|?|x0|= x0?( +y0) ,S2= |PM|?|x0﹣ |,化简

整理,再 1+2x02=t(t≥1) ,整理可得 t 的二次方程,进而得到最大值及此时 P 的 坐标. 【解答】解: (I)由题意可得 e= = 即有 b= ,a2﹣c2= , 解得 a=1,c= , ,抛物线 E:x2=2y 的焦点 F 为(0, ) ,

可得椭圆的方程为 x2+4y2=1; (Ⅱ) (i)证明:设 P(x0,y0) ,可得 x02=2y0, 由 y= x2 的导数为 y′=x,即有切线的斜率为 x0, 则切线的方程为 y﹣y0=x0(x﹣x0) , 可化为 y=x0x﹣y0,代入椭圆方程, 可得(1+4x02)x2﹣8x0y0x+4y02﹣1=0, △=64x02y02﹣4(1+4x02) (4y02﹣1)>0,可得 1+4x02>4y02. 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
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可得 x1+x2=

,即有中点 D(

,﹣

) ,

直线 OD 的方程为 y=﹣

x,可令 x=x0,可得 y=﹣ .

即有点 M 在定直线 y=﹣ 上; (ii)直线 l 的方程为 y=x0x﹣y0,令 x=0,可得 G(0,﹣y0) , 则 S1= |FG|?|x0|= x0?( +y0)= x0(1+x02) ; S2= |PM|?|x0﹣ |= (y0+ )? = x0? ,



=



令 1+2x02=t(t≥1) ,则

=

=

=

=2+ ﹣

=﹣( ﹣ )2+ ,

则当 t=2,即 x0=

时,

取得最大值 ,

此时点 P 的坐标为(

, ) .

【点评】 本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐 标,考查直线和抛物线斜的条件,以及直线方程的运用,考查三角形的面积的计 算,以及化简整理的运算能力,属于难题.

3. (2016?天津) 设椭圆 + =

+

=1 (a>

) 的右焦点为 F, 右顶点为 A, 已知

,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交于 点 M,与 y 轴交于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线 l 的斜率.
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【分析】 (1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 转化为关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求;

+

=



(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) ,联立直线方程和椭圆方程, 化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所 在直线方程, 求出 H 的坐标, 由 BF⊥HF, 得 整理得到 M 的坐标与 k 的关系,由∠MOA=∠MAO,得到 x0=1,转化为关于 k 的 等式求得 k 的值. 【解答】解: (1)由 + = , ,



+ =





=



∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3) ,解得 a=2. ∴椭圆方程为 ;

(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) , 设 B(x1,y1) ,M(x0,k(x0﹣2) ) , ∵∠MOA=∠MAO, ∴x0=1, 再设 H(0,yH) , 联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.

△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2) (16k2﹣12)=144>0. 由根与系数的关系得 ,







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MH 所在直线方程为 y﹣k(x0﹣2)=﹣ (x﹣x0) , 令 x=0,得 yH=(k+ )x0﹣2k, ∵BF⊥HF, ∴ 即 1﹣x1+y1yH=1﹣ , [(k+ )x0﹣2k]=0,

整理得: ∴k=﹣ 或 k= .

=1,即 8k2=3.

【点评】 本题考查椭圆方程的求法, 考查直线与椭圆位置关系的应用, 体现了“整 体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.

4. (2016?浙江)如图,设椭圆 C:

+y2=1(a>1)

(Ⅰ)求直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长(用 a,k 表示) (Ⅱ)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离 心率的取值范围.

【分析】 (Ⅰ)联立直线 y=kx+1 与椭圆方程,利用弦长公式求解即可. (Ⅱ)写出圆的方程,假设圆 A 与椭圆有 4 个公共点,再利用对称性有解已知条 件可得任意一 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点,a 的取值范围, 进而可得椭圆的离心率的取值范围. ,可得: (1+a2k2)x2+2ka2x=0,

【解答】解: (Ⅰ)由题意可得:

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得 x1=0 或 x2=



直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长为:

=



(Ⅱ) 假设圆 A 与椭圆有 4 个公共点, 由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不 同的点 P,Q,满足|AP|=|AQ|, 记直线 AP,AQ 的斜率分别为:k1,k2;且 k1,k2>0,k1≠k2,由(1)可知|AP|= ,|AQ|= ,

故:

=

,所以, ( k12 ﹣ k22 ) [1+k12+k22+a2 ( 2

﹣a2)k12k22]=0,由 k1≠k2, k1,k2>0,可得:1+k12+k22+a2(2﹣a2)k12k22=0, 因此 a2(a2﹣2)①,

因为①式关于 k1,k2;的方程有解的充要条件是:1+a2(a2﹣2)>1, 所以 a> .

因此,任意点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为:1 <a< e= = , 得,所求离心率的取值范围是: .

【点评】 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用,椭圆与圆的位置关系的综 合应用,考查分析问题解决问题的能力,考查转化思想以及计算能力.

5. (2016?天津) 设椭圆 + =

+

=1 (a>

) 的右焦点为 F, 右顶点为 A. 已知

,其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交
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于点 M,与 y 轴于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线 l 的斜率的取 值范围. 【分析】 (1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 转化为关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求; (2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) ,联立直线方程和椭圆方程, 化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所 在直线方程, 求出 H 的坐标, 由 BF⊥HF, 得 , + = ,

整理得到 M 的坐标与 k 的关系,由∠MOA≤∠MAO,得到 x0≥1,转化为关于 k 的不等式求得 k 的范围.

【解答】解: (1)由

+

=

,得







∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3) ,解得 a=2. ∴椭圆方程为 ;

(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) , 设 B(x1,y1) ,M(x0,k(x0﹣2) ) , ∵∠MOA≤∠MAO, ∴x0≥1, 再设 H(0,yH) , 联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.

△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2) (16k2﹣12)=144>0. 由根与系数的关系得 ,






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MH 所在直线方程为 令 x=0,得 ∵BF⊥HF, ∴ 即 1﹣x1+y1yH= , ,





整理得: ∴ 或 .

,即 8k2≥3.

【点评】 本题考查椭圆方程的求法, 考查直线与椭圆位置关系的应用, 体现了“整 体运算”思想方法和“设而不求”的解题思想方法,考查运算能力,是难题.

6. (2016?新课标Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M, 交抛物线 C:y2=2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连结 ON 并延 长交 C 于点 H. (Ⅰ)求 ;

(Ⅱ)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其它公共点?说明理由. 【分析】 (Ⅰ)求出 P,N,H 的坐标,利用 (Ⅱ) 直线 MH 的方程为 y= 利用判别式可得结论. 【解答】解: (Ⅰ)将直线 l 与抛物线方程联立,解得 P(
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=

,求



x+t, 与抛物线方程联立, 消去 x 可得 y2﹣4ty+4t2=0,

,t) ,

∵M 关于点 P 的对称点为 N, ∴ ∴N( = , =t,

,t) ,

∴ON 的方程为 y= x, 与抛物线方程联立,解得 H( ∴ = =2; , x+t,与抛物线方程联立,消去 x 可得 y2﹣4ty+4t2=0, ,2t)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 kMH= ∴直线 MH 的方程为 y= ∴△=16t2﹣4×4t2=0,

∴直线 MH 与 C 除点 H 外没有其它公共点. 【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,正确联立方 程是关键.

7. (2016?新课标Ⅲ)已知抛物线 C:y2=2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 【分析】 (Ⅰ)连接 RF,PF,利用等角的余角相等,证明∠PRA=∠PQF,即可证 明 AR∥FQ; (Ⅱ)利用△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求出 N 的坐标,利用点差法求 AB 中点的轨迹方程. 【解答】 (Ⅰ)证明:连接 RF,PF, 由 AP=AF,BQ=BF 及 AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°, ∵R 是 PQ 的中点, ∴RF=RP=RQ,
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∴△PAR≌△FAR, ∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA, ∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR, ∴∠PRA=∠PQF, ∴AR∥FQ. (Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , F( ,0) ,准线为 x=﹣ , S△PQF= |PQ|= |y1﹣y2|, 设直线 AB 与 x 轴交点为 N, ∴S△ABF= |FN||y1﹣y2|, ∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍, ∴2|FN|=1,∴xN=1,即 N(1,0) . 设 AB 中点为 M(x,y) ,由 得 =2(x1﹣x2) ,

又 ∴

=



= ,即 y2=x﹣1.

∴AB 中点轨迹方程为 y2=x﹣1.

【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查轨迹方程,考查学生的计算能力, 属于中档题.

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8. (2016?山东) 已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1 (a>b>0) 的长轴长为 4, 焦距为 2



(Ⅱ)过动点 M(0,m) (m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在 第一象限) ,且 M 是线段 PN 的中点,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,延 长 QM 交 C 于点 B. (ⅰ)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′,证明 (ⅱ)求直线 AB 的斜率的最小值. 为定值;

【分析】 (Ⅰ)利用已知条件求出椭圆的几何量,即可求解椭圆 C 的方程; (Ⅱ) (ⅰ)设出 N 的坐标,求出 PQ 坐标,求出直线的斜率,即可推出结果 (ⅱ)求出直线 PM,QM 的方程,然后求解 B,A 坐标,利用 AB 的斜率求解最 小值. 【解答】解: (Ⅰ)椭圆 C: 得 a=2,c= ,b= , ; + =1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 .可

可得椭圆 C 的方程:

(Ⅱ)过动点 M(0,m) (m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在 第一象限) ,设 N(﹣t,0)t>0,M 是线段 PN 的中点,则 P(t,2m) ,过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q,Q(t,﹣2m) , (ⅰ)证明:设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k′, k= = ,k′= =﹣ ,

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=

=﹣3.为定值;

(ⅱ)由题意可得 PN 的方程为:y=kx+m, 联立

,m2=4﹣ t2,QM 的方程为:y=﹣3kx+m,

,可得:x2+2(kx+m)2=4,

即: (1+2k2)x2+4mkx+2m2﹣4=0 可得 xA= ,yA= +m,

同理解得 xB=



yB=



xA﹣xB=

k﹣

=



yA﹣yB=

k+m﹣(

)=



kAB= 所以 6k+ 此时

=

= ,当且仅当 k= ,即 m=

,由 m>0,x0>0,可知 k>0, 时取等号. ,符合题意. .

所以,直线 AB 的斜率的最小值为:

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【点评】本题考查椭圆方程的综合应用,椭圆方程的求法,直线与椭圆的位置关 系的应用,考查转化思想以及计算能力.

9. (2016?四川)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端 , )在椭圆 E 上.

点是正三角形的三个顶点,点 P( (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;

(Ⅱ)设不过原点 O 且斜率为 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A,B,线段 AB 的中点为 M,直线 OM 与椭圆 E 交于 C,D,证明:︳MA︳?︳MB︳=︳MC ︳?︳MD︳ 【分析】 (Ⅰ)由题意可得 a=2b,再把已知点的坐标代入椭圆方程,结合隐含条 件求得 a,b 得答案; (Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,求出弦长及 AB 中点坐标,得到 OM 所 在直线方程,再与椭圆方程联立,求出 C,D 的坐标,把︳MA︳?︳MB︳化为 ,再由两点间的距离公式求得︳MC︳?︳MD︳的值得答案. 【解答】 (Ⅰ)解:如图,

由题意可得

,解得 a2=4,b2=1,

∴椭圆 E 的方程为

; ,

(Ⅱ)证明:设 AB 所在直线方程为 y=

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联立

,得 x2+2mx+2m2﹣2=0.

∴△=4m2﹣4(2m2﹣2)=8﹣4m2>0,即 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(x0,y0) , 则 |AB|= . ∴x0=﹣m, ,即 M( , ) , ,



=

则 OM 所在直线方程为 y=﹣

联立

,得





∴C(﹣



) ,D (

,﹣

) .

则︳MC︳?︳MD︳= = 而︳MA︳?︳MB︳= = (10﹣5m2)= . .

∴︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳.

【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用,训 练了弦长公式的应用,考查数学转化思想方法,训练了计算能力,是中档题.

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10. (2016?新课标Ⅱ) 已知椭圆 E:

+

=1 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点,

斜率为 k(k>0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (Ⅰ)当 t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积; (Ⅱ)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)方法一、求出 t=4 时,椭圆方程和顶点 A,设出直线 AM 的方程, 代入椭圆方程,求交点 M,运用弦长公式求得|AM|,由垂直的条件可得|AN|, 再由|AM|=|AN|,解得 k=1,运用三角形的面积公式可得△AMN 的面积; 方法二、运用椭圆的对称性,可得直线 AM 的斜率为 1,求得 AM 的方程代入椭 圆方程,解方程可得 M,N 的坐标,运用三角形的面积公式计算即可得到; (Ⅱ) 直线 AM 的方程为 y=k (x+ ) , 代入椭圆方程, 求得交点 M, 可得|AM|,

|AN|,再由 2|AM|=|AN|,求得 t,再由椭圆的性质可得 t>3,解不等式即可得 到所求范围. 【解答】解: (Ⅰ)方法一、t=4 时,椭圆 E 的方程为 + =1,A(﹣2,0) ,

直线 AM 的方程为 y=k(x+2) ,代入椭圆方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2 ﹣12=0, 解得 x=﹣2 或 x=﹣ 由 AN⊥AM,可得|AN|= ,则|AM|= ? ?|2﹣ = |= ? ? , ,

由|AM|=|AN|,k>0,可得

?

=

?



整理可得(k﹣1) (4k2+k+4)=0,由 4k2+k+4=0 无实根,可得 k=1, 即有△AMN 的面积为 |AM|2= ( ? )2= ;

方法二、由|AM|=|AN|,可得 M,N 关于 x 轴对称, 由 MA⊥NA.可得直线 AM 的斜率为 1,直线 AM 的方程为 y=x+2, 代入椭圆方程 + =1,可得 7x2+16x+4=0,
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解得 x=﹣2 或﹣ ,M(﹣ , 则△AMN 的面积为 ×

) ,N(﹣ ,﹣ ;

) ,

×(﹣ +2)=

(Ⅱ)直线 AM 的方程为 y=k(x+ 可得(3+tk2)x2+2t 解得 x=﹣ 或 x=﹣

) ,代入椭圆方程,

k2x+t2k2﹣3t=0, ,

即有|AM|= |AN|═ ?

?| = ?

﹣ ,

|=

?



由 2|AM|=|AN|,可得 2

?

=

?



整理得 t=



由椭圆的焦点在 x 轴上,则 t>3,即有 可得 <k<2,即 k 的取值范围是( ,2 ) .

>3,即有

<0,

【点评】本题考查椭圆的方程的运用,考查直线方程和椭圆方程联立,求交点, 以及弦长公式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

11. (2016?新课标Ⅱ)已知 A 是椭圆 E:

+

=1 的左顶点,斜率为 k(k>0)

的直线交 E 与 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当|AM|=|AN|时,求△AMN 的面积 (II) 当 2|AM|=|AN|时,证明: <k<2.

【分析】 (I) 依题意知椭圆 E 的左顶点 A (﹣2, 0) , 由|AM|=|AN|, 且 MA⊥NA, 可知△AMN 为等腰直角三角形,设 M(a﹣2,a) ,利用点 M 在 E 上,可得 3(a ﹣2)2+4a2=12,解得:a= ,从而可求△AMN 的面积;
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(II)设直线 lAM 的方程为:y=k(x+2) ,直线 lAN 的方程为:y=﹣ (x+2) ,联立 消去 y,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,利用韦达定理及弦长

公式可分别求得|AM|=

|xM﹣(﹣ 2 ) |=

, |AN|=

=

, 结合 2|AM|=|AN|,可得 = ,整理后,构造函数 f(k)=4k3﹣6k2+3k

﹣8,利用导数法可判断其单调性,再结合零点存在定理即可证得结论成立. 【解答】解: (I)由椭圆 E 的方程: + =1 知,其左顶点 A(﹣2,0) ,

∵|AM|=|AN|,且 MA⊥NA,∴△AMN 为等腰直角三角形,

∴MN⊥x 轴,设 M 的纵坐标为 a,则 M(a﹣2,a) ,
2 ∵点 M 在 E 上, ∴3 (a﹣2) +4a2=12, 整理得: 7a2﹣12a=0, ∴a=

或 a=0 (舍) ,

∴S△AMN= a×2a=a2=



(II)设直线 lAM 的方程为:y=k(x+2) ,直线 lAN 的方程为:y=﹣ (x+2) ,由 消去 y 得: (3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,∴xM﹣2=﹣ ,∴

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xM=2﹣

=



∴|AM|= ∵k>0,

|xM﹣(﹣2)|=

?

=

∴|AN|=

=



又∵2|AM|=|AN|,∴ 整理得:4k3﹣6k2+3k﹣8=0, 设 f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8,

=



则 f′(k)=12k2﹣12k+3=3(2k﹣1)2≥0, ∴f(k)=4k3﹣6k2+3k﹣8 为(0,+∞)的增函数, 又 f( )=4×3 ﹣6×3+3 ﹣8=15 ﹣26= ﹣ <0,f(2)=4×8

﹣6×4+3×2﹣8=6>0, ∴ <k<2.

【点评】 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,常用的方法就是联立方程求出交 点的横坐标或者纵坐标的关系, 通过这两个关系的变形去求解,考查构造函数思 想与导数法判断函数单调性,再结合零点存在定理确定参数范围,是难题.

12. (2015?重庆)如题图,椭圆

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,

F2,过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1 (Ⅰ)若|PF1|=2+ |=2﹣ ,求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.

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【分析】 (Ⅰ)由椭圆的定义, 2a=|PF1|+|PF2| ,求出 a ,再根据 2c=|F1F2|= =2 ,求出 c,进而求出椭圆的标准方程; |PF1|=4a﹣2|PF1|,解得|PF1|=2

(Ⅱ)由椭圆的定义和勾股定理,得|QF1|= (2﹣ )a,从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2(

﹣1)a,再一次根据勾股定理可求出

离心率. 【解答】解: (Ⅰ)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=2+ 设椭圆的半焦距为 c, 由已知 PF2⊥PF1, 因此 2c=|F1F2|= 即 c= ,从而 b= =1, . +2﹣ =4,故 a=2, =2 ,

故所求椭圆的标准方程为

(Ⅱ)连接 F1Q,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a, 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a﹣2|PF1|, 又由 PQ⊥PF1, |PF1|=|PQ|, 知|QF1|= a,从而|PF2|=2a﹣|PF1|=2( 由 PF2⊥PF1,知 2c=|F1F2|= = = . |PF1|=4a﹣2|PF1|, 解得|PF1|=2 (2﹣ )

﹣1)a, ,因此 e= = =

【点评】本题考查了椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|,椭圆的标准方程,直角三角形 的勾股定理,属于中档题.

13. (2015?重庆)如题图,椭圆

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,
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且过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1. (Ⅰ)若|PF1|=2+ ,|PF2|=2﹣ ,求椭圆的标准方程.

(Ⅱ)若|PQ|=λ|PF1|,且 ≤λ< ,试确定椭圆离心率 e 的取值范围.

【分析】 (I) 由椭圆的定义可得: 2a=|PF1|+|PF2|, 解得 a. 设椭圆的半焦距为 c, 由于 PQ⊥PF1,利用勾股定理可得 2c=|F1F2|= b2=a2﹣c2.即可得出椭圆的标准方程. (II)如图所示,由 PQ⊥PF1,|PQ|=λ|PF1|,可得|QF1|= 的定义可得: |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a, 解得|PF1|= 由勾股定理可得:2c=|F1F2|= 则上式化为 e2= ,解出即可. )+(2﹣ )=4, ,由椭圆 . |PF2|=2a﹣|PF1|, , ,解得 c.利用

,代入化简.令 t=1+λ

【解答】解: (I)由椭圆的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 解得 a=2. 设椭圆的半焦距为 c,∵PQ⊥PF1, ∴2c=|F1F2|= ∴c= . = =2



∴b2=a2﹣c2=1. ∴椭圆的标准方程为 .

(II)如图所示,由 PQ⊥PF1,|PQ|=λ|PF1|, ∴|QF1|= = ,

由椭圆的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|,
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∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a, ∴ |PF1|=4a,解得|PF1|= .

|PF2|=2a﹣|PF1|= 由勾股定理可得:2c=|F1F2|= ∴ +

, , =4c2,



+

=e2.

令 t=1+λ ∵t=1+λ

,则上式化为 ,且 ≤λ< ,

=



∴t 关于 λ 单调递增,∴3≤t<4.∴ ∴ ,解得 . .



∴椭圆离心率的取值范围是

【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理、不等式的性质、 “换元法”,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

14. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,

点 A 的坐标为 (a, 0) , 点 B 的坐标为 (0, b) , 点 M 在线段 AB 上, 满足|BM|=2|MA|,
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直线 OM 的斜率为



(1)求 E 的离心率 e; (2)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,证明:MN⊥AB. 【分析】 (1)通过题意,利用 ,计算即得结论; (2)通过中点坐标公式解得点 N 坐标,利用 ? =0 即得结论. =2 ,可得点 M 坐标,利用直线 OM 的斜率为

【解答】 (1)解:设 M(x,y) ,∵A(a,0) 、B(0,b) ,点 M 在线段 AB 上且 |BM|=2|MA|, ∴ =2 ,即(x﹣0,y﹣b)=2(a﹣x,0﹣y) ,

解得 x= a,y= b,即 M( a, b) , 又∵直线 OM 的斜率为 ∴a= b,c= ,∴ = ,

=2b, ;

∴椭圆 E 的离心率 e= =

(2)证明:∵点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点, ∴N( ,﹣ ) ,∴ 又∵ ∴ ? =(﹣a,b) , =(﹣a,b)?( , ? )=﹣ a2+ = (5b2﹣a2) , =( , ) ,

由(1)可知 a2=5b2,故

=0,即 MN⊥AB.

【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、注意 解题方法的积累,属于中档题.

15. (2015?湖南)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: >0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且 与

+

=1(a>b

, 过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A, 同向.

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(Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. 【分析】 (Ⅰ)通过 C1 方程可知 a2﹣b2=1,通过 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称可得 ,计算即得结论; = 可得 (x1+x2) 且

(Ⅱ) 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , D (x4, y4) , 通过
2

﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,设直线 l 方程为 y=kx+1,分别联立直线与抛物线、

直线与椭圆方程,利用韦达定理计算即可. 【解答】解: (Ⅰ)由 C1 方程可知 F(0,1) , ∵F 也是椭圆 C2 的一个焦点,∴a2﹣b2=1, 又∵C1 与 C2 的公共弦的长为 2 ,C1 与 C2 的图象都关于 y 轴对称, , ) ,

∴易得 C1 与 C2 的公共点的坐标为(± ∴ ,

又∵a2﹣b2=1, ∴a2=9,b2=8, ∴C2 的方程为 + =1;

(Ⅱ)如图,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,

∵ ∴

与 =

同向,且|AC|=|BD|, ,∴x1﹣x2=x3﹣x4,
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∴(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,

设直线 l 的斜率为 k,则 l 方程:y=kx+1, 由 ,可得 x2﹣4kx﹣4=0,

由韦达定理可得 x1+x2=4k,x1x2=﹣4, 由 ,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,

由韦达定理可得 x3+x4=﹣

,x3x4=﹣



又∵(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4, ∴16(k2+1)= + ,

化简得 16(k2+1)= ∴(9+8k2)2=16×9,解得 k=± 即直线 l 的斜率为± .

, ,

【点评】 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题, 考查求椭圆方程以及直线的斜率, 涉及到韦达定理等知识,考查计算能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

16. (2015?浙江)已知椭圆 称. (1)求实数 m 的取值范围;

上两个不同的点 A,B 关于直线 y=mx+ 对

(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) .

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【分析】 (1 ) 由题意, 可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n, 代入椭圆方程可得 (m2+2) y2﹣2mny+n2﹣2=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .可得△>0,设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P,代入直线 y=mx+ ,可得 ,代入△>0,即可解出. (2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n,可得 S△OAB= 不等式即可得出. 【解答】 解: (1) 由题意, 可设直线 AB 的方程为 x=﹣my+n, 代入椭圆方程 可得(m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) .由题意,△=4m2n2﹣4(m2+2) (n2﹣2)=8(m2﹣ n2+2)>0, 设线段 AB 的中点 P(x0,y0) ,则 由于点 P 在直线 y=mx+ 上,∴ ∴ 解得 m2 = + , .x0=﹣m× +n= , , ,再利用均值

,代入△>0,可得 3m4+4m2﹣4>0, ,∴ 或m .

(2)直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n, ∴S△OAB= = |n|? = ,

由均值不等式可得:n2(m2﹣n2+2)

=



∴S△AOB

=

, 当且仅当 n2=m2﹣n2+2, 即 2n2=m2+2, 又∵
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解得 m= 当且仅当 m=

, 时,S△AOB 取得最大值为 .

【点评】 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为 方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形 面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属 于难题.

17. (2015?湖南)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: >0)的一个焦点.C1 与 C2 的公共弦长为 2 (Ⅰ)求 C2 的方程; .

+

=1(a>b

(Ⅱ)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A、B 两点,与 C2 相交于 C、D 两点,且 同向. (ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率;



(ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时,△ MFD 总是钝角三角形. 【分析】 (Ⅰ)根据两个曲线的焦点相同,得到 a2﹣b2=1,再根据 C1 与 C2 的公共 弦长为 2 ,得到 =1,解得即可求出;

(Ⅱ)设出点的坐标, (ⅰ)根据向量的关系,得到(x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2 ﹣4x3x4,设直线 l 的方程,分别与 C1,C2 构成方程组,利用韦达定理,分别代入 得到关于 k 的方程,解得即可; (ⅱ)根据导数的几何意义得到 C1 在点 A 处的切线方程,求出点 M 的坐标,利 用向量的乘积∠AFM 是锐角,问题得以证明. 【解答】解: (Ⅰ)抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 的坐标为(0,1) ,因为 F 也是椭 圆 C2 的一个焦点, ∴a2﹣b2=1,①, 又 C1 与 C2 的公共弦长为 2 , C1 与 C2 的都关于 y 轴对称, 且 C1 的方程为 x2=4y, , ) ,

由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为(±

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所以

=1,②,

联立①②得 a2=9,b2=8, 故 C2 的方程为 + =1.

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , (ⅰ)因为 所以 = , 与 同向,且|AC|=|BD|,

从而 x3﹣x1=x4﹣x2,即 x1﹣x2=x3﹣x4,于是 (x1+x2)2﹣4x1x2=(x3+x4)2﹣4x3x4,③ 设直线的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1, 由 ,得 x2﹣4kx﹣4=0,而 x1,x2 是这个方程的两根,

所以 x1+x2=4k,x1x2=﹣4,④ 由 ,得(9+8k2)x2+16kx﹣64=0,而 x3,x4 是这个方程的两根,

所以 x3+x4=

,x3x4=﹣

,⑤

将④⑤代入③,得 16(k2+1)=

+



即 16(k2+1)= 所以(9+8k2)2=16×9, 解得 k=± .



(ⅱ)由 x2=4y 得 y′= x, 所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y﹣y1= x1(x﹣x1) , 即 y= x1x﹣ x12,

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令 y=0,得 x= x1, M( x1,0) , 所以 而 于是 =( x1,﹣1) , =(x1,y1﹣1) , ? = x12﹣y1+1= x12+1>0,

因此∠AFM 是锐角,从而∠MFD=180°﹣∠AFM 是钝角, 故直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形. 【点评】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系,关键是联立方程,构造方 程, 利用韦达定理, 以及向量的关系, 得到关于 k 的方程, 计算量大, 属于难题.

18. (2015?湖北)一种画椭圆的工具如图 1 所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接,MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN=ON=1,MN=3,当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为 C,以 O 为原点,AB 所在的直线为 x 轴建立 如图 2 所示的平面直角坐标系. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设动直线 l 与两定直线 l1:x﹣2y=0 和 l2:x+2y=0 分别交于 P,Q 两点.若 直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, 试探究: △OPQ 的面积是否存在最小值? 若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.

【分析】 (1)根据条件求出 a,b 即可求椭圆 C 的方程; (2)联立直线方程和椭圆方程,求出原点到直线的距离,结合三角形的面积公 式进行求解即可. 【解答】解: (1)设 D(t,0) ,|t|≤2,
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N(x0,y0) ,M(x,y) ,由题意得 且| |=| |=1,

=2



∴(t﹣x,﹣y)=2(x0﹣t,y0) ,且





,且 t(t﹣2x0)=0,

由于当点 D 不动时,点 N 也不动,∴t 不恒等于 0, 于是 t=2x0,故 x0= ,y0=﹣ , 代入 x02+y02=1,得方程为 .

(2) ①当直线 l 的斜率 k 不存在时, 直线 l 为: x=4 或 x=﹣4, 都有 S△OPQ= ②直线 l 的斜率 k 存在时,直线 l 为:y=kx+m, (k 由 ) ,



消去 y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,

∵直线 l 总与椭圆 C 有且只有一个公共点, ∴△=64k2m2﹣4(1+4k2) (4m2﹣16)=0,即 m2=16k2+4,①, 由 ,可得 P( , ) ,同理得 Q( , ) ,

原点 O 到直线 PQ 的距离 d=

和|PQ|=

?|xP﹣xQ|,

可得 S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m||

|=|

|②,

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将①代入②得 S△OPQ=|

|=8|

|,

当 k2> 时,S△OPQ=8(

)=8(1+

)>8,

当 0≤k2< 时,S△OPQ=8|

|=﹣8(

)=8(﹣1+

) ,

∵0≤k2< 时,∴0<1﹣4k2≤1,

≥2 ,

∴S△OPQ=8(﹣1+

)≥8,当且仅当 k=0 时取等号,

∴当 k=0 时,S△OPQ 的最小值为 8, 综上可知当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,三角形 OPQ 的面积存在最小 值为 8. 【点评】 本题主要考查椭圆方程的求解, 以及直线和圆锥曲线的位置关系的应用, 结合三角形的面积公式是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.

19. (2015?陕西)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0)的半焦距为 c,原点 O 到

经过两点(c,0) , (0,b)的直线的距离为 c. (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率; (Ⅱ)如图,AB 是圆 M: (x+2)2+(y﹣1)2= 的一条直径,若椭圆 E 经过 A、 B 两点,求椭圆 E 的方程.

【分析】 (Ⅰ)求出经过点(0,b)和(c,0)的直线方程,运用点到直线的距 离公式,结合离心率公式计算即可得到所求值;
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(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2,①设出直线 AB 的方程,代入 椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可 得 b2=3,即可得到椭圆方程. 【解答】解: (Ⅰ)经过点(0,b)和(c,0)的直线方程为 bx+cy﹣bc=0, 则原点到直线的距离为 d= = c,即为 a=2b,

e= =

=



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆 E 的方程为 x2+4y2=4b2,① 由题意可得圆心 M(﹣2,1)是线段 AB 的中点,则|AB|= ,

易知 AB 与 x 轴不垂直,记其方程为 y=k(x+2)+1,代入①可得 (1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2﹣4b2=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= .x1x2= ,

由 M 为 AB 的中点,可得 x1+x2=﹣4,得 从而 x1x2=8﹣2b2,于是|AB|= = = ,解得 b2=3, + =1. ?|x1﹣x2|=

=﹣4,解得 k= , ?

则有椭圆 E 的方程为

【点评】 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程 的运用,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查直线和 圆的位置关系,以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题.

20. (2015?新课标Ⅱ) 椭圆 C: 在 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

=1, (a>b>0) 的离心率

, 点 (2,



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(2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的 中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 【分析】 (1)利用椭圆的离心率,以及椭圆经过的点,求解椭圆的几何量,然后 得到椭圆的方程. (2)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(xM,yM) , 联立直线方程与椭圆方程,通过韦达定理求解 KOM,然后推出直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 【解答】解: (1)椭圆 C: =1, (a>b>0)的离心率 ,点(2, )

在 C 上, 可得



, 解得 a2=8, b2=4, 所求椭圆 C 方程为:

. (2)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(xM,yM) , 把直线 y=kx+b 代入 可得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣8=0,

故 xM=

=

,yM=kxM+b=



于是在 OM 的斜率为:KOM=

=

,即 KOM?k=



∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. 【点评】本题考查椭圆方程的综合应用,椭圆的方程的求法,考查分析问题解决 问题的能力.

21. (2015?陕西)如图,椭圆 E: 离心率为 .

+

=1(a>b>0)经过点 A(0,﹣1) ,且

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过点(1,1) ,且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异
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于点 A) ,证明:直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2.

【分析】 (Ⅰ)运用离心率公式和 a,b,c 的关系,解方程可得 a,进而得到椭 圆方程; (Ⅱ) 由题意设直线 PQ 的方程为 y=k (x﹣1) +1 (k≠0) , 代入椭圆方程 运用韦达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)由题设知, = 结合 a2=b2+c2,解得 a= 所以 +y2=1; , ,b=1, +y2=1,

(Ⅱ)证明:由题意设直线 PQ 的方程为 y=k(x﹣1)+1(k≠0) , 代入椭圆方程 +y2=1,

可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0, 由已知得(1,1)在椭圆外, 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,x1x2≠0, 则 x1+x2= ,x1x2= ,

且△=16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2) (1+2k2)>0,解得 k>0 或 k<﹣2. 则有直线 AP,AQ 的斜率之和为 kAP+kAQ= +

=

+

=2k+(2﹣k) (

+

)=2k+(2﹣k)?

=2k+(2﹣k)?

=2k﹣2(k﹣1)=2.

即有直线 AP 与 AQ 斜率之和为 2. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联 立直线方程,运用韦达定理,考查直线的斜率公式,属于中档题.
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22. (2015?北京)已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的 直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x=3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. 【分析】 (1) 通过将椭圆 C 的方程化成标准方程, 利用离心率计算公式即得结论; (2)通过令直线 AE 的方程中 x=3,得点 M 坐标,即得直线 BM 的斜率; (3)分直线 AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可. 【解答】解: (1)∵椭圆 C:x2+3y2=3, ∴椭圆 C 的标准方程为: ∴a= ,b=1,c= , ; +y2=1,

∴椭圆 C 的离心率 e= =

(2)∵AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴, ∴可设 A(1,y1) ,B(1,﹣y1) , ∵E(2,1) ,∴直线 AE 的方程为:y﹣1=(1﹣y1) (x﹣2) , 令 x=3,得 M(3,2﹣y1) , ∴直线 BM 的斜率 kBM= =1;

(3)结论:直线 BM 与直线 DE 平行. 证明如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)知 kBM=1, 又∵直线 DE 的斜率 kDE= =1,∴BM∥DE;

当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x﹣1) (k≠1) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则直线 AE 的方程为 y﹣1= (x﹣2) ,

令 x=3,则点 M(3,

) ,
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∴直线 BM 的斜率 kBM=



联立

,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0,

由韦达定理,得 x1+x2=

,x1x2=



∵kBM﹣1=

=

= =0, ∴kBM=1=kDE,即 BM∥DE; 综上所述,直线 BM 与直线 DE 平行. 【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题,涉及到韦达定理等知识,考查计算能 力,注意解题方法的积累,属于中档题.

23. (2015?新课标Ⅱ)已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m>0) ,直线 l 不过原点 O 且不 平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (2)若 l 过点( ,m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行 四边形?若能,求此时 l 的斜率;若不能,说明理由. 【分析】 (1)联立直线方程和椭圆方程,求出对应的直线斜率即可得到结论. (2) 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分, 即 xP=2xM, 建立方程关系即可得到结论. 【解答】解: (1)设直线 l:y=kx+b, (k≠0,b≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , M(xM,yM) ,
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将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2(m>0) ,得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0, 则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9) (b2﹣m2)>0, 则 x1+x2= ,则 xM= = ,yM=kxM+b= ,

于是直线 OM 的斜率 kOM= 即 kOM?k=﹣9,

=



∴直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值. (2)四边形 OAPB 能为平行四边形. ∵直线 l 过点( ,m) , ∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9) (b2﹣m2)>0, 即 k2m2>9b2﹣9m2, ∵b=m﹣ m, ∴k2m2>9(m﹣ m)2﹣9m2, 即 k2>k2﹣6k, 即 6k>0, 则 k>0, ∴l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k>0,k≠3, 由(1)知 OM 的方程为 y= 设 P 的横坐标为 xP, 由 得 ,即 xP= , x,

将点( ,m)的坐标代入 l 的方程得 b= 即 l 的方程为 y=kx+ 将 y= 得 kx+ x,代入 y=kx+ = x
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, ,

解得 xM=



四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分,即 xP=2xM, 于是 解得 k1=4﹣ =2× 或 k2=4+ , ,

∵ki>0,ki≠3,i=1,2, ∴当 l 的斜率为 4﹣ 或 4+ 时,四边形 OAPB 能为平行四边形.

【点评】 本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题,联立方程组转化为一元二次 方程,利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强,难度较大.

24. (2015?福建)已知椭圆 E: e为 .

+

=1(a>b>0)过点

,且离心率

(1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 x=my﹣1(m∈R)交椭圆 E 于 A,B 两点,判断点 G 线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由. 与以

【分析】解法一: (1)由已知得

,解得即可得出椭圆 E 的方程.

(2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 中点为 H(x0,y0) .直线方程与椭圆方 程联立化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,利用根与系数的关系中点坐标公式可得:

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y0= |GH|2﹣

.|GH|2= 即可判断出.



=

,作差

解法二: (1)同解法一. (2)设点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 = , = .直 =

线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 化 为 ( m2+2 ) y2 ﹣ 2my ﹣ 3=0 , 计 算 即可得出∠AGB,进而判断出位置关系.

【解答】解法一: (1)由已知得

,解得



∴椭圆 E 的方程为



(2)设点 A(x1y1) ,B(x2,y2) ,AB 中点为 H(x0,y0) . 由 ,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,

∴y1+y2= G ∴|GH|2=

,y1y2= , =

,∴y0=



+

=

+

+



= , 故 |GH|2 ﹣ =

=

=

+

=



+

=

>0.

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,故 G 在以 AB 为直径的圆外.

解法二: (1)同解法一. (2)设点 A(x1y1) ,B(x2,y2) ,则 = , = .



,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,

∴y1+y2=

,y1y2=



从而 = = = ∴

= +y1y2 + ﹣ >0,又 , + = 不共线, >0.

∴∠AGB 为锐角. 故点 G 在以 AB 为直径的圆外.

【点评】 本小题主要考查椭圆、 圆、 直线与椭圆的位置关系、 点与圆的位置关系、 向量数量积运算性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形 结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.

25. (2015?福建)已知点 F 为抛物线 E:y2=2px(p>0)的焦点,点 A(2,m) 在抛物线 E 上,且|AF|=3, (Ⅰ)求抛物线 E 的方程; (Ⅱ)已知点 G(﹣1,0) ,延长 AF 交抛物线 E 于点 B,证明:以点 F 为圆心且 与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切.

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【分析】解法一: (I)由抛物线定义可得:|AF|=2+ =3,解得 p.即可得出抛物 线 E 的方程. (II)由点 A(2,m)在抛物线 E 上,解得 m,不妨取 A 可得直线 AF 的方程, 与抛物线方程联立化为 2x2﹣5x+2=0, 解得 B ,F(1,0) , . 又

G(﹣1,0) ,计算 kGA,kGB,可得 kGA+kGB=0,∠AGF=∠BGF,即可证明以点 F 为 圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)由点 A(2,m)在抛物线 E 上,解得 m,不妨取 A 可得直线 AF 的方程, 与抛物线方程联立化为 2x2﹣5x+2=0, 解得 B ,F(1,0) , . 又

G (﹣1, 0) , 可得直线 GA, GB 的方程, 利用点到直线的距离公式可得: 点F (1, 0)到直线 GA、GB 的距离,若相等即可证明此以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的 圆,必与直线 GB 相切. 【解答】解法一: (I)由抛物线定义可得:|AF|=2+ =3,解得 p=2. ∴抛物线 E 的方程为 y2=4x; (II)证明:∵点 A(2,m)在抛物线 E 上, ∴m2=4×2,解得 m= ∴直线 AF 的方程:y=2 联立 ,不妨取 A (x﹣1) , . ,F(1,0) ,

,化为 2x2﹣5x+2=0,解得 x=2 或 ,B .kGB= =﹣ ,

又 G(﹣1,0) ,∴kGA= ∴kGA+kGB=0,

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∴∠AGF=∠BGF,∴x 轴平分∠AGB, 因此点 F 到直线 GA,GB 的距离相等, ∴以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. 解法二: (I)同解法一. (II)证明:点 A(2,m)在抛物线 E 上,∴m2=4×2,解得 m= A ,F(1,0) , (x﹣1) , . =0, ,不妨取

∴直线 AF 的方程:y=2 联立

,化为 2x2﹣5x+2=0,解得 x=2 或 ,B x﹣3y+2

又G (﹣1, 0) , 可得直线 GA, GB 的方程分别为: =0, 点 F(1,0)到直线 GA 的距离 d= 同理可得点 F(1,0)到直线 GB 的距离= = .



因此以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆,必与直线 GB 相切. 【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点 到直线的距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结 合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.

26. (2015?山东)平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 的离心率为

+

=1(a>b>0)

,左、右焦点分别是 F1,F2,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2

为圆心以 1 为半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 E: + =1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m

交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求| |的值;
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(ii)求△ABQ 面积的最大值. 【分析】 (Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和 a,b,c 的关系,计算即可得到 b,进 而得到椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求得椭圆 E 的方程, (i)设 P(x0,y0) ,| |=λ,求得 Q 的坐标,分别代

入椭圆 C,E 的方程,化简整理,即可得到所求值; (ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,运用韦达 定理, 三角形的面积公式, 将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 由判别式大于 0, 可得 t 的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ 的面积为 3S,即可得到所求的最 大值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得 a=2, 又 = ,a2﹣c2=b2, +y2=1; + =1,

可得 b=1,即有椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆 E 的方程为 (i)设 P(x0,y0) ,| Q(﹣λx0,﹣λy0) ,由于

|=λ,由题意可知, +y02=1,



+ |=2;

=1,即



+y02)=1,

所以 λ=2,即|

(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,将直线 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程,可得 (1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得 m2<4+16k2,① 则有 x1+x2=﹣ ,x1x2= ,所以|x1﹣x2|= ,

由直线 y=kx+m 与 y 轴交于(0,m) , 则△AOB 的面积为 S= |m|?|x1﹣x2|= |m|?

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=2

,设

=t,则 S=2



将直线 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0, 由△>0 可得 m2<1+4k2,② 由①②可得 0<t<1,则 S=2 值, 即有 S ,即 m2=1+4k2,取得最大值 2 , 在(0,1)递增,即有 t=1 取得最大

由(i)知,△ABQ 的面积为 3S, 即△ABQ 面积的最大值为 6 .

【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用 韦达定理,同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.

27. (2015?安徽)设椭圆 E 的方程为

+

=1(a>b>0) ,点 O 为坐标原点,

点 A 的坐标为 (a, 0) , 点 B 的坐标为 (0, b) , 点 M 在线段 AB 上, 满足|BM|=2|MA|, 直线 OM 的斜率为 (Ⅰ)求 E 的离心率 e; (Ⅱ)设点 C 的坐标为(0,﹣b) ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对 称点的纵坐标为 ,求 E 的方程. 【分析】 (I)由于点 M 在线段 AB 上,满足 |BM|=2|MA| ,即 .利用 ,可得 . =1,利用中点坐标公式可得 N.设 ,线段 NS 的中点 T,又 AB 垂直平分线 ,可得

(II)由(I)可得直线 AB 的方程为: 点 N 关于直线 AB 的对称点为 S 段 NS,可得 b,解得即可.

【解答】解: (I)∵点 M 在线段 AB 上,满足|BM|=2|MA|,∴ ∵A(a,0) ,B(0,b) ,∴ =
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∵ ∴

,∴ =

,a= .

b.

(II)由(I)可得直线 AB 的方程为: 设 点 N 关 于 直 线 AB 的 对 称 点 为 S ,

=1,N

. , 线 段 NS 的 中 点 T

又 AB 垂直平分线段 NS,∴

,解得 b=3,

∴a=3

. .

∴椭圆 E 的方程为:

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐 标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于难 题.

28. (2015?天津)已知椭圆 率为

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣c,0) ,离心 截得的线段的

,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x2+y2= .

长为 c,|FM|=

(Ⅰ)求直线 FM 的斜率; (Ⅱ)求椭圆的方程; (Ⅲ)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 斜率的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)通过离心率为 ,计算可得 a2=3c2、b2=2c2,设直线 FM 的方程 ,求直线 OP(O 为原点)的

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为 y=k(x+c) ,利用勾股定理及弦心距公式,计算可得结论; (Ⅱ)通过联立椭圆与直线 FM 的方程,可得 M(c, 算即可; (Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,分别联立直线 FP、直线 OP 与椭圆方程,分 x ∈(﹣ ,﹣1)与 x∈(﹣1,0)两种情况讨论即可得到结论. 【解答】解: (Ⅰ)∵离心率为 ∴2a2=3b2,∴a2=3c2,b2=2c2, 设直线 FM 的斜率为 k(k>0) ,则直线 FM 的方程为 y=k(x+c) , ∵直线 FM 被圆 x2+y2= 截得的线段的长为 c, , ,∴ = = , c) ,利用|FM|= 计

∴圆心(0,0)到直线 FM 的距离 d=

∴d2+ 解得 k=

=

,即(

)2+ ; +

=



,即直线 FM 的斜率为

(Ⅱ)由(I)得椭圆方程为:

=1,直线 FM 的方程为 y=

(x+c) ,

联立两个方程,消去 y,整理得 3x2+2cx﹣5c2=0,解得 x=﹣ c,或 x=c, ∵点 M 在第一象限,∴M(c, ∵|FM|= ,∴ c) , = ,

解得 c=1,∴a2=3c2=3,b2=2c2=2, 即椭圆的方程为 + =1;

(Ⅲ)设动点 P 的坐标为(x,y) ,直线 FP 的斜率为 t, ∵F(﹣1,0) ,∴t= ,即 y=t(x+1) (x≠﹣1) ,

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联立方程组

,消去 y 并整理,得 2x2+3t2(x+1)2=6,

又∵直线 FP 的斜率大于 ∴ >



,6﹣2x2>6(x+1)2,

整理得:x(2x+3)<0 且 x≠﹣1, 解得﹣ <x<﹣1,或﹣1<x<0, 设直线 OP 的斜率为 m,得 m= ,即 y=mx(x≠0) ,

联立方程组

,消去 y 并整理,得 m2=

﹣ .

①当 x∈(﹣ ,﹣1)时,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0, ∴m= ,∴m∈( , ) ;

②当 x∈(﹣1,0)时,有 y=t(x+1)>0,因此 m<0, ∴m=﹣ ,∴m∈(﹣∞,﹣ ) ; )∪( , ) .

综上所述,直线 OP 的斜率的取值范围是: (﹣∞,﹣

【点评】本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆 的位置关系、 一元二次不等式等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质, 考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力,属于中档题.

29. (2015?四川)如图,椭圆 E:

的离心率是

,过点 P

(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,当直线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被 椭圆 E 截得的线段长为 2 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; .

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(Ⅱ) 在平面直角坐标系 xOy 中, 是否存在与点 P 不同的定点 Q, 使得 恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】 (Ⅰ)通过直线 l 平行于 x 轴时被椭圆 E 截得的线段长为 2 是 ,计算即得结论;

及离心率

(Ⅱ)通过直线 l 与 x 轴平行、垂直时,可得若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条 件,则 Q 点坐标只能是(0,2) .然后分直线 l 的斜率不存在、存在两种情况, 利用韦达定理及直线斜率计算方法,证明对任意直线 l,均有 即可. ,

【解答】 解: (Ⅰ) ∵直线 l 平行于 x 轴时, 直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 ∴点( ,1)在椭圆 E 上, ,

又∵离心率是



,解得 a=2,b=



∴椭圆 E 的方程为:

+

=1; 恒成立.

(Ⅱ)结论:存在与点 P 不同的定点 Q(0,2) ,使得 理由如下: 当直线 l 与 x 轴平行时,设直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点, 如果存在定点 Q 满足条件,则有 = =1,即|QC|=|QD|.

∴Q 点在直线 y 轴上,可设 Q(0,y0) . 当直线 l 与 x 轴垂直时,设直线 l 与椭圆相交于 M、N 两点, 则 M、N 的坐标分别为(0, ) 、 (0,﹣ ) ,

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又∵

=

,∴

=

,解得 y0=1 或 y0=2.

∴若存在不同于点 P 的定点 Q 满足条件,则 Q 点坐标只能是(0,2) . 下面证明:对任意直线 l,均有 .

当直线 l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线 l 的斜率存在时,可设直线 l 的方程为 y=kx+1, A、B 的坐标分别为 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 联立 ,消去 y 并整理得: (1+2k2)x2+4kx﹣2=0,

∵△=(4k)2+8(1+2k2)>0, ∴x1+x2=﹣ ∴ + = ,x1x2=﹣ =2k, ,

已知点 B 关于 y 轴对称的点 B′的坐标为(﹣x2,y2) , 又 kAQ= = =k﹣ ,kQB′= = =﹣k+ =k﹣ ,

∴kAQ=kQB′,即 Q、A、B′三点共线, ∴ = = = . 恒成立.

故存在与点 P 不同的定点 Q(0,2) ,使得

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【点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关 系等基础知识, 考查推理论证能力、 运算求解能力, 考查数形结合、 化归与转化、 特殊与一般、分类与整合等数学思想,注意解题方法的积累,属于难题.

30. (2015?北京)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,点 P(0,

1)和点 A(m,n) (m≠0)都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m,n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N,问:y 轴上是否存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点 Q 的坐标,若不存在, 说明理由.

【分析】 (I)根据椭圆的几何性质得出

求解即可.

(II)求解得出 M( ONQ, 解. =

,0) ,N(

,0) ,运用图形得出 tan∠OQM=tan∠ +n2,根据 m,m 的关系整体求

,求解即可得出即 yQ2=xM?xN,

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【解答】解: (Ⅰ)由题意得出

解得:a= ∴

,b=1,c=1

+y2=1,

∵P(0,1)和点 A(m,n) ,﹣1<n<1 ∴PA 的方程为:y﹣1= ∴M( ,0) x,y=0 时,xM=

(II)∵点 B 与点 A 关于 x 轴对称,点 A(m,n) (m≠0) ∴点 B(m,﹣n) (m≠0) ∵直线 PB 交 x 轴于点 N, ∴N( ,0) ,

∵存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q(0,yQ) , ∴tan∠OQM=tan∠ONQ, ∴ = ,即 yQ2=xM?xN, +n2=1

yQ2= ∴yQ=

=2, , )或 Q(0,﹣ )

故 y 轴上存在点 Q,使得∠OQM=∠ONQ,Q(0,
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【点评】本题考查了直线圆锥曲线的方程,位置关系,数形结合的思想的运用, 运用代数的方法求解几何问题,难度较大,属于难题.

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