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1.2充分条件与必要条件


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原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p

互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p

1.2充分条件与必要条件

学生活动 判断下列命题的真假. (1)若x=y,则 x2=y2 (2)若ab = 0,则a = 0 (3)若x2 >1,则x<1 (4)若x=1或x=2,则 x2 -3x+2=0 问题1:条件和结论有什么关系? 真 假 假 真

问题1:说明条件和结论有什么关系?
?

( 1) x= y

?a = 0; ? (3)x2>1 ?x<1 ;
? (2)ab = 0 ? (4)x=1或x=2
2 2

?

x2=y2 ; x2=y2

? x= y
x2>1

a=0
x<1

?ab = 0
?

?x -3x+2=0 ; x -3x+2=0 ? x= 1 或 x= 2

一、充分条件与必要条件 ?一般地, “若p,则q” 为真命题,

p ?q
我们就说p是q的充分条件;q是p必要条件.

理解概念
充分性:条件是充分的,也就是说条件是 充足的,条件是足够的,条件是足以保证结论 成立的。

若张三是高中生,则张三是中学生。
必要性:必要就是必须,必不可少。

从集合角度理解:

二、充要条件 如果既有p?q ,又有q?p 记作 p ? q.

此时 , 我们说 , 那么 p 是 q 的充分必要条件 , 简 称充要条件. 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充 要条件. 即:如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.

p与q关系包括的情况: 若p?q ,但 q ? p,则称p是q的充分但不必要条件; 若p? q,但q ? p,则称p是q的必要但不充分条件; 若p ? q,且q ? p,则称p是q的既不充分也不必要条 件.

若p ? q,则p 是 q的充要条件

例题1.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命 题 q是p的必要条件?
(1)若x=y,则x2=y2; (2)若两三角形全等,则这两个三角形的面积相等; (3)若a>b,则ac>bc. 点拨:还是判断“p ? q”是否为真命题。

例题2.填空题,试用适当的词语填空 充分不必要 条件 (1)x=y是x2=y2的_____________ 必要不充分 (2)ab = 0是a = 0 的________________ 条件 既不充分又不必要 条件 (3)x2>1是x<1的__________________ 充要 条件 (4)x=1或x=2是x2-3x+2=0的_____

课内活动 运用本节课所讲的知识填空

①“a和b都是偶数”是“a+b为偶数”的__条件; ②“x>5”是“x>3”的 条件; ③“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5 整除”的 条件; ④“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等” 的 条件;
(1)充分非必要 (2)充分非必要 答案: (3)充分非必要 (4)必要非充分

注意下列说法: 1.若p是q的充分条件,那么q是p的必要条件; 这时p?q成立(是真命题)

?q ? ?p也成立
2.若p是q的必要条件,那么q是p的充分条件; 这时q ? p成立(是真命题)

?p ? ?q也成立

三、问题再现
1.x>2是“x>3”的( B )条件?
A.充分非必要条件;B.必要非充分条件;

C.充要条件;D.既非充分也非必要条件. 2.下列哪个条件是x>5成立的必要条件?(A )
A.x>1; B.x>8;

C.x<5;

D.x<6.

注意:若“x>a”是“x>b”的充分条件,则a≥b.
“大于一个较大的数则必大于一个较小的数”

比较下列说法:
(1)下列哪个条件是x>5成立的必要条件?( A )

A.x>1;
C.x<5;

B.x>8;
D.x<6.

(2)下列哪个条件是x>5成立的充分条件?( B )
A.x>1; B.x>8;

C.x<5;

D.x<6.

3.p是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的 必要条件,那么q是p成立的(B ) A.充分条件; B.必要条件; C.充要条件; D.既非充分也非必要条件. 提示1:p ? r 提示2:r? s 提示3:s ? q p?q

四、充要条件的应用
例3、已知:p:x2-8x-20≤0,q: x2-2x+1 -m2≤0(m>0). ¬p是 ¬q的充分非必要条件, 求实数m的取值范围. 关键1.解出 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m; 关键2. ¬p ? ¬q,即q?p 关键3.p、q对应的两集合关系的关系

小结:
p? q,p是q的充分条件;q是p必要条件. p ? q,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
若p?q ,但 q ? p,则称p是q的充分但不必要条件; 若p? q,但q ? p,则称p是q的必要但不充分条件; 若p ? q,且q ? p,则称p是q的既不充分也不必要条 件. 若p ? q,则p 是 q的充要条件


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