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高考数学百大经典例题 一元二次不等式解法 新课标版

高考数学百大经典例题——一元二次不等式解法 (新课标)
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分析 求算术根,被开方数必须是非负数. 解 据题意有,x2-x-6≥0,即(x-3)(x+2)≥0,解在“两根之外”, 所以x≥3或x≤-2. 例3 若ax2+bx-1<0的解集为{x|-1<x<2},则a=________,b= ________. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax2+bx-1 =0的两个根,考虑韦达定理. 解 根据题意,-1,2应为方程ax2+bx-1=0的两根,则由韦达定 理知

例4 解下列不等式 (1)(x-1)(3-x)<5-2x (2)x(x+11)≥3(x+1)2 (3)(2x+1)(x-3)>3(x2+2) 分析 将不等式适当化简变为ax2+bx+c>0(<0)形式,然后根据“解 公式”给出答案(过程请同学们自己完成). 答 (1){x|x<2或x>4}

(4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式. [ ]

A.{x|x>0}             B.{x|x≥1} C.{x|x>1}             D.{x|x>1或x=0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通 分. ∵x2>0,∴x-1>0,即x>1.选C. 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解. [ ] A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 D.(x-3)(2-x)≤0 故排除A、C、D,选B. 两边同减去2得0<x-2≤1.选B. 说明:注意“零”. [ ]

[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1或x>2} 答 选C. 说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧. 解 先将原不等式转化为

∴不等式进一步转化为同解不等式x2+2x-3<0, 即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1}. 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题. 例9 已知集合A={x|x2-5x+4≤0}与B={x|x2-2ax+a+2

分析 先确定A集合,然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 解 易得A={x|1≤x≤4} 设y=x2-2ax+a+2(*) 4a2-4(a+2)<0,解得-1<a<2.

说明:二次函数问题可以借助它的图像求解. 例10 解关于x的不等式 (x-2)(ax-2)>0. 分析 不等式的解及其结构与a相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当a=0时,原不等式化为 x-2<0其解集为{x|x<2};

4° 当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};

从而可以写出不等式的解集为: a=0时,{x|x<2};

a=1时,{x|x≠2}; 说明:讨论时分类要合理,不添不漏. 例11 若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α<x<β}(0<α<β),求cx2 +bx+a<0的解集. 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系,一元二次不等式的 解集实质上是用根来构造的,这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之 间的联系.考虑使用韦达定理: 解法一 由解集的特点可知a<0,根据韦达定理知:

∵a<0,∴b>0,c<0.

解法二 ∵cx2+bx+a=0是ax2+bx+a=0的倒数方程. 且ax2+bx+c>0解为α<x<β, 说明:要在一题多解中锻炼自己的发散思维. 分析 将一边化为零后,对参数进行讨论. 进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当a>0时,不等式化为 (2)a=0时,不等式化为x-1<0,即x<1,所以不等式解集为{x|x< 1}; 综上所述,原不等式解集为: 例13 (2001年全国高考题)不等式|x2-3x|>4的解集是________. 分析 可转化为(1)x2-3x>4或(2)x2-3x<-4两个一元二次不等式.

答 填{x|x<-1或x>4}. 例14 (1998年上海高考题)设全集U=R,A={x|x2-5x-6>0},B= {x||x-5|<a}(a是常数),且11∈B,则 [ ] A.(
UA)∩B=R

B.A∪(
UB)=R

C.(
UA)∪( UB)=R

D.A∪B=R 分析 由x2-5x-6>0得x<-1或x>6,即 A={x|x<-1或x>6}由|x-5|<a得5-a<x<5+a,即 B={x|5-a<x<5+a} ∵11∈B,∴|11-5|<a得a>6 ∴5-a<-1,5+a>11 ∴A∪B=R. 答 选D. 说明:本题是一个综合题,涉及内容很广泛,集合、绝对值不等 式、一元二次不等式等内容都得到了考查


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