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6.1不等关系与不等式


第一节 不等关系与不等式

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解现实世界和日常生活 中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背 景. 3.掌握不等式的性质及应 用.

怎 么 考 本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题, 一般是以选择 题或填空题的形式出现: (1)依据不等式的性质,判断不等式或有关结论是否成立; (2)利用不等式的性质进行大小关系的比较. (3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用.

[归纳· 知识整合] 1.比较两个实数大小的法则 设 a,b∈R,则 (1)a>b?a-b>0; (2)a=b?a-b=0; (3)a<b?a-b<0. 2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b?b<a a>b,b>c?a>c a>b?a+c>b+c 注意 ? ? ?

可乘性

a>b? ??ac>bc c>0 ? a>b? ??ac<bc c<0 ?

c 的符号

同向可加性

a>b? ??a+c>b+d c>d ? a>b>0? ??ac>bd c>d>0 ? a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2) n n a>b>0? a> b(n∈N,n≥2)

?

同向同正可乘性 可乘方性 可开方性

?

同正

[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致? 提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无条件限制,而同向不等式相乘必须两边 字母为正,否则不一定成立. 1 1 2.(1)a>b? < 成立吗? a b (2)a>b?an>bn(n∈N,且 n>1)对吗? 提示:(1)不成立,当 a,b 同号时成立,异号时不成立. (2)不对,若 n 为奇数,成立,若 n 为偶数,则不一定成立. [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2;③a>b?a3>b3;④ |a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② C.③④ ) B.②③ D.①④

解析:选 B 当 c=0 时,①不成立;当|a|=1,b=-2 时,④不成立. 2.如果 a∈R,且 a2+a<0,那么 a,a2,-a,-a2 的大小关系是( A.a2>a>-a2>-a C.-a>a2>a>-a2 解析:选 B ∵a2+a<0,∴-1<a<0. 1 不妨令 a=- ,易知选项 B 正确. 2 3.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc C.a-c>b-d B.ac>bd D.a+c>b+d ) B.-a>a2>-a2>a D.a2>-a>a>-a2 )

解析:选 D 由不等式的性质知,a>b,c>d?a+c>b+d.

4.(教材习题改编)已知 a>b>0,c>d>0,则 1 1 解析:∵c>d>0,∴ > >0. d c a b 又∵a>b>0,∴ > >0.∴ d c 答案: a > d b c a > d b . c

a 与 d

b 的大小关系为________. c

5.已知 12<x<60,15<y<36,则 x-y 的取值范围是________. 解析:∵15<y<36, ∴-36<-y<-15. 又∵12<x<60 ∴12-36<x-y<60-15, 即-24<x-y<45. 答案:(-24,45)

用不等式(组)表示不等关系

[例 1] 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售,每天可销售 100 件,现 在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高 1 元,销售量 就可能相应减少 10 件.若把提价后商品的售价设为 x 元,怎样用不等式表示每天的利润不 低于 300 元? x-10 [自主解答] 若提价后商品的售价为 x 元,则销售量减少 ×10 件,因此,每天的 1 利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x- 8)[100-10(x-10)]≥300. ————— —————————————— 实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数 学符号之间的正确转换,常见的文字语言及其转换关系如下表: 文字语言 符号语言 大于,高于, 超过 > 小于, 低于, 少于 < 大于等于,至少, 小于等于,至 不低于 ≥ 多,不超过 ≤

1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在 A,B 两种设备上加工,在 每台 A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为 1 小时和 2 小时,加工一件乙产品所需工 时分别为 2 小时和 1 小时,A,B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400 和 500.写出满足 上述所有不等关系的不等式. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为 x,y, x+2y≤400, ? ?2x+y≤500, 则由题意可知? x≥0,x∈N, ? ?y≥0,y∈N. 比较大小

[例 2] (1)已知 a1, a2∈(0,1), 记 M=a1a2, N=a1+a2-1, 则 M 与 N 的大小关系是( A.M<N C.M=N B.M>N D.不确定

)

(2)甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行, 一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( A.甲先到教室 C.两人同时到教室 B.乙先到教室 D.谁先到教室不确定 )

[自主解答] (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1) =a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1), ∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0. ∴M>N. s 2 (2)设甲用时间为 T,乙用时间为 2t,步行速度为 a,跑步速度为 b,距离为 s,则 T= + a s 2 s s s?a+b? = + = , b 2a 2b 2ab 2s s=ta+tb?2t= . a+b s?a+b? ?a+b?2-4ab s?a-b?2 2s T-2t= - =s× = >0,即乙先到教室. 2ab a+b 2ab?a+b? 2ab?a+b?

[答案] (1)B

(2)B

若将本例(1)中“a1,a2∈(0,1)”改为“a1,a2∈(1,+∞)”,试比较 M 与 N 的大小. 解:∵M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1), ∴当 a1,a2∈(1,+∞)时,a1-1>0,a2-1>0. ∴(a1-1)· (a2-1)>0. ∴M-N>0,即 M>N.

—————

—————————————— 比较大小的常用方法

(1)作差法 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式 分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以 先平方再作差. ?2?作商法 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论?注意所比较的两个数的 符号?. ?3?特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可以用特值法探究思路.

2.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)3x2-x+1 与 2x2+x-1; (2)当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb 与 abba. 解:(1)∵3x2-x+1-2x2-x+1=x2-2x+2 =(x-1)2+1>0, ∴3x2-x+1>2x2+x-1. aabb - - - 1? a-b ?a?a-b (2) b a=aa bbb a=aa b? ?b? =?b? . ab a?a-b a a b b a ∵当 a>b,即 a-b>0, >1 时,? ?b? >1,∴a b >a b . b a?a-b a a b b a 当 a<b,即 a-b<0, <1 时,? ?b? >1,∴a b >a b . b ∴当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb>abba.

不等式性质的简单应用

[例 3] (1)(2012· 湖南高考)设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ① > ;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). a b 其中所有的正确结论的序号是( A.① C.②③ ) B.①② D.①②③

c d (2)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0, - >0(其中 a,b,c,d 均为实数),用其中两 a b 个不等式作为条件, 余下的一个不等式作为结论组成一个命题, 可组成的正确命题的个数是 ( ) A.0 C.2 [自主解答] (1)① 所以①正确; a ? ?a?c<1? ? a>b>1? >1? b ② ? ? ?b? ? ?ac<bc, ? ? ? c<0 bc>0 ? 所以②正确; ③ a>b>1? c<0
?? ? a>1 ? a-c>b-c? ??loga(a-c)>loga(b-c), ? ?

B.1 D.3 a>b>1? a>b 1 ? 1 1? >0? > ? c c c c 1 1 ab ? ?a· >b· ? b a?? < 即 > , ab ab b a a b ? ? ? c<0 ?

a>b>1? ??a-c>1?logb(a-c)>loga(a-c), c<0 ? 所以 logb(a-c)>loga(b-c).所以③正确. (2)①由 ab>0,bc-ad>0,即 bc>ad, c d c d 得 > ,即 - >0; a b a b c d c d ②由 ab>0, - >0,即 > ,得 bc>ad, a b a b 即 bc-ad>0; c d ③由 bc-ad>0, - >0, a b 即 bc-ad >0,得 ab>0; ab

故可组成 3 个正确的命题.

[答案] (1)D —————

(2)D —————————————— 与不等式有关的命题的真假判断

在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑, 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比 如对数函数、指数函数的性质等.

a b 3.(2013· 包头模拟)若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a- d c c>b-d; (4)a(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:选 C ∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0, ∴ad<bc.∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0. ∵c<d<0,∴-c>-d>0. ∴a(-c)>(-b)(-d). a b ac+bd ∴ac+bd<0.∴ + = <0.∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d.∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), 即 a-c>b-d.∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c).∴(4)正确.

? 1 个区别——不等式与不等关系的区别 不等关系强调的是关系,可用符号“>”,“<”,“≠”,“≥”,“≤”表示,而不等式 则是表示两者的不等关系,可用“a>b”,“a<b”,“a≠b”,“a≥b”,“a≤b”等式子表示, 就像相等关系可以用等式体现一样,不等关系可以用不等式体现. ? 2 条常用性质——不等式取倒数的性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b

a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a (2)若 a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m ? 3 个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是 传递不过去的.如 a≤b,b<c?a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号”,例如当 c≠0 时,有 a>b?ac2>bc2; 若无 c≠0 这个条件,a>b?ac2>bc2 就是错误结论(当 c=0 时,取“=”). (3)“a>b>0?an>bn(n∈N*,n>1)”成立的条件是“n 为大于 1 的自然数,a>b>0”,假 如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件,取 n=-1,a=3,b=2,那么就会出现“3 1>2
- -1

”的错误结论;假如去掉“b>0”这个条件,取 a=3,b=-4,n=2,那么就会出现“32>(-

4)2”的错误结论.

易误警示——解题时忽视不等式的隐含条件而致误

[典例] (2013· 盐城模拟)已知-1<a+b<3; 2<a-b<4,则 2a+3b 的取值范围为________. [解析] 设 2a+3b=x(a+b)+y(a-b),
? ?x+y=2, 则? 解得 ?x-y=3, ?

?x=2, ? 1 ?y=-2.

5

5 5 15 1 又∵- < (a+b)< ,-2<- (a-b)<-1, 2 2 2 2 9 5 1 13 ∴- < (a+b)- (a-b)< , 2 2 2 2 9 13 即- <2a+3b< . 2 2

9 13? [答案] ? ?-2, 2 ? [易误辨析] 1.本题易忽视题目中字母 a,b 相互制约的条件,片面地将 a,b 分割开来考虑,导致 字母的范围发生变化,从而造成解题的错误. 2.当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时,若题目中出现的 两个变量是相互制约的,不能分割开来,则应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根 据不等式的性质求待求整体的范围,以免扩大范围. [变式训练] 已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2)的取值范围. 解:f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-2)=4a-2b. 设 m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
? ? ?m+n=4, ?m=1, ∴? 解得? ?m-n=-2, ?n=3. ? ?

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10.

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

?a-c>b-d ? 解析:选 B 由? ?a>b;而当 a=c=2, ?c>d ? ?a>b b=d=1 时,满足? ,但 a-c>b-d 不成立, ?c>d

所以“a>b”是“a-c>b-d”的必要不充分条件. 2.(2013· 朔州模拟)已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是( A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a )

解析:选 D 由-1<b<0,可得 b<b2<1,又 a<0, ∴ab>ab2>a.

π? β ? π? 3.设 α∈? ?0,2?,β∈?0,2?,那么 2α-3的取值范围是( 5π? A.? ?0, 6 ? C.(0,π) π 5π? B.? ?-6, 6 ? π ? D.? ?-6,π?

)

β π π β 解析:选 D ∵0<2α<π,0≤ ≤ ,∴- ≤- ≤0. 3 6 6 3 π β ∴- <2α- <π. 6 3 4.(2013· 南平模拟)如果 a,b,c 满足 c<b<a,且 ac<0,那么下列选项中不一定成立的 是( ) A.ab>ac C.cb2<ab2 B.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0

解析:选 C 由题意知 c<0,a>0,则 A 一定正确;B 一定正确;D 一定正确;当 b=0 时 C 不正确. 1 1 5.设 a,b 为正实数,则“a<b”是“a- <b- ”成立的( a b A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:选 C ∵a>0,b>0,a<b, 1 1 1 1 ∴ > ,由不等式的性质 a- <b- . a b a b 1 1 ∴由 a<b 可得出 a- <b- . a b 1 1? 1 1 当 a- <b- 时,可得(a-b)-? ?a-b?<0, a b 1? 即(a-b)? ?1+ab?<0.又∵a>0,b>0,∴a-b<0. 1 1 ∴a<b.故由 a- <b- 可得出 a<b. a b 1 1 ∴“a<b”是“a- <b- ”成立的充要条件. a b 1 1 1 a b 6.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M>N C.M=N B.M<N D.不能确定 ) )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 解析:选 A ∵0<a< ,∴1+a>0,1+b>0, b 1-ab>0.

1-a 1-b 2-2ab ∴M-N= + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b? 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩 形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母 a,b(a≠b)的不等式表示为________.

1 解析:图(1)所示广告牌的面积为 (a2+b2),图(2)所示广告牌的面积为 ab,显然不等式 2 1 表示为 (a2+b2)>ab(a≠b). 2 1 答案: (a2+b2)>ab(a≠b) 2 8.若 x>y>z>1,则 xyz, xy, yz, xz从大到小依次为________. 解析:因为 x>y>z>1,所以有 xy>xz,xz>yz,xyz>xy,于是有 xyz> xy> xz> yz. 答案: xyz, xy, xz, yz 9.已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若 m<n,且 m+n=a-1,则 f(m)与 f(n)的大小关 系为________. 解析:f(m)-f(n)=am2+2am-an2-2an=a(m2-n2)+2a(m-n)=a(m-n)(m+n+2)= a(m-n)(a+1). ∵a>0,∴a(a+1)>0.又 m<n,故 a(m-n)(a+1)<0. ∴f(m)<f(n). 答案:f(m)<f(n) 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.比较 x3 与 x2-x+1 的大小. 解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1). ∵x2+1>0, ∴当 x>1 时,(x-1)(x2+1)>0,即 x3>x2-x+1; 当 x=1 时,(x-1)(x2+1)=0,即 x3=x2-x+1; 当 x<1 时,(x-1)(x2+1)<0,即 x3<x2-x+1. 1 1 1 11.设 a>b>c,求证: + + >0. a-b b-c c-a 证明:∵a>b>c,∴-c>-b. 1 1 ∴a-c>a-b>0.∴ > >0. a-b a-c

∴ ∴

1 1 1 + >0.又 b-c>0,∴ >0. a-b c-a b-c 1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a

12.已知 f(x)=ax2-c 且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求 f(3)的取值范围.
? ?a-c=f?1?, 解:由题意,得? ?4a-c=f?2?, ?

?a=3[f?2?-f?1?], 解得? 4 1 ?c=-3f?1?+3f?2?.
5 8 所以 f(3)=9a-c=- f(1)+ f(2). 3 3 因为-4≤f(1)≤-1, 5 5 20 所以 ≤- f(1)≤ . 3 3 3 因为-1≤f(2)≤5, 8 8 40 所以- ≤ f(2)≤ . 3 3 3 两式相加,得-1≤f(3)≤20,故 f(3)的取值范围是[-1,20].

1

1. 限速 40 km/h 的路标, 指示司机在前方路段行驶时, 应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h, 写成不等式就是( A.v<40 km/h C.v≠40 km/h ) B.v>40 km/h D.v≤40 km/h

解析:选 D 速度 v 不超过 40 km/h,即 v≤40 km/h. 2.已知 a,b,c∈R,则“a>b”是“ac2>bc2”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析:选 B )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a>b ?/ ac2>bc2,因为当 c2=0 时,ac2=bc2;反之,ac2>bc2?a>b. ) B.ab<b2 D.|a|+|b|>|a+b|

1 1 3.若 < <0,则下列结论不 正确的是( . a b A.a2<b2 C.a+b<0 1 1 解析:选 D ∵ < <0,∴0>a>b. a b ∴a2<b2,ab<b2,a+b<0,|a|+|b|=|a+b|.


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