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【创新设计】2015高考数学(人教,理)一轮复习步骤规范练——三角函数及三角函数的图象与性质]

步骤规范练——三角函数及三角函数的图 象与性质
(建议用时:90 分钟)

一、选择题 1.若角 α 的终边经过点 P(1,-2),则 tan 2α 的值为 A.- 3 C.4 解析 -2 tan α= 1 =-2, 2×?-2? 4 2tan α =3. 2 = 1-tan α 1-4 4 3 B. 4 3 ( ).

3 D.-4

tan 2α= 答案

B ( ).

2.(2014· 广州一测)函数 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是 π? ? A.奇函数且在?0,2?上单调递增 ? ? ?π ? B.奇函数且在?2,π?上单调递增 ? ? π? ? C.偶函数且在?0,2?上单调递增 ? ? ?π ? D.偶函数且在?2,π?上单调递增 ? ? 解析

y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,∴函数是偶函

π? ? 数且在?0,2?上单调递增. ? ? 答案 C ( ).

? π? 3.(2013· 温岭中学模拟)函数 f(x)=sin xsin?x+2?的最小正周期为 ? ? A.4π C.π B.2π π D.2

解析

1 ? π? f(x)=sin xsin?x+2?=sin xcos x=2sin 2x, ? ?

2π 故最小正周期为 T= 2 =π. 答案 C

π? ? 4.(2014· 浙江五校联盟)要得到函数 y=sin?2x-4?的图象,只要将函数 y=sin 2x ? ? 的图象 π A.向左平移4单位 π C.向右平移8单位 解析 答案 π B.向右平移4单位 π D.向左平移8单位 ( ).

π? 向右平移 ? π? ? x - 2 x - ? ? ? y=sin 2x π― ― → y = sin 2 = sin . 4? ? 8? ? ? 8个单位 C ( ).

5. 已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则 f(x)的表达式为

?3 π? A.f(x)=2sin?2x+4? ? ? ?3 5π? B.f(x)=2sin?2x+ 4 ? ? ? ?4 2π? C.f(x)=2sin?3x+ 9 ? ? ? ?4 25 ? D.f(x)=2sin?3x+18π? ? ? 解析 3 5π ? π? 4π 由函数的部分图象可知4T= 6 -?-6?,则 T= 3 ,结合选项知 ω>0, ? ?

2π 3 ?5π ? 故 ω= T =2,排除 C,D;又因为函数图象过点? 6 ,2?,代入验证可知只有 ? ? B 项满足条件. 答案 B

π? ? 6. (2014· 成都模拟)将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原来的 ? ? π 2 倍,再向右平移6个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的 一条对称轴是 π A.x=12 π C.x=3 解析 π B.x=6 2π D.x= 3 ( ).

π? ? 将函数 f(x)=3sin?4x+6?图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 得 ? ?

π? π ? ? π? π? ? x- ?+ ?= 到函数 y=3sin?2x+6?, 再向右平移6个单位长度, 得到 y=3sin?2? ? ? ? ? 6? 6? π? π? π π π ? ? 3sin?2x-6?,即 g(x)=3sin?2x-6?.当 2x-6=kπ+2时,解得 x=kπ+3,又当 ? ? ? ? π π k=0 时,x=3,所以 x=3是一条对称轴,故选 C. 答案 C

7.已知函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线 y=2 的两个相 邻交点的距离等于 π,则 f(x)的单调递增区间是 π 5π? ? A.?kπ-12,kπ+12?,k∈Z ? ? 5π 11π? ? B.?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z ? ? π π? ? C.?kπ-3,kπ+6?,k∈Z ? ? π 2π? ? D.?kπ+6,kπ+ 3 ?,k∈Z ? ? 解析 π? ? f(x)= 3sin ωx+cos ωx=2sin?ωx+6?, 由题设知 f(x)的最小正周期为 T ? ? ( ).

π? π π π ? =π,所以 ω=2,即 f(x)=2sin?2x+6?.由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z)得, ? ? π π kπ-3≤x≤kπ+6(k∈Z),故选 C. 答案 C ( ).

π? ? 8.设函数 f(x)=|sin?2x+3?|,则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是 ? ?

A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为 π ? π ? C.f(x)的图象关于点?-6,0?对称 ? ? ?π 7π? D.f(x)在区间?3,12?上是增函数 ? ? 解析 π π? ?π? ? ? π? 对 于 选 项 A , 由 于 f ?3? = |sin ?2×3+3? | = 0 , 而 f ?-3? = ? ? ? ? ? ?

π 3 ?π? ? ? ? π? π?? ?sin?2×?-3?+3??=|sin |= ≠f?3?,所以 f(x)不是偶函数;对于选项 B,由 ? ?? 3 2 ? ? ? ? ? π? π?? ? ? ? 于 f(x) = sin ?2x+3? 的周期为 π ,而 f(x) = ?sin?2x+3?? 的图象是将 f(x) = ? ? ? ? ?? π? ? sin?2x+3?的 x 轴上方的图象保持不变,x 轴下方的图象关于 x 轴对称到上方 ? ? π?? π? ? ? ? 去,因此 f(x)=?sin?2x+3??的周期为 f(x)=sin?2x+3?的周期的一半,故选项 ? ? ?? ? ? π?? ? ? B 不正确;对于选项 C,由于 f(x)=?sin?2x+3??的图象不是中心对称图形, ? ? ?? π?? ? ? 因此也不正确;对于选项 D,由三角函数的性质可知,f(x)=?sin?2x+3??的 ? ? ?? π π kπ π kπ π 单调递增区间是 kπ≤2x+3≤kπ+2(k∈Z),即 2 -6≤x≤ 2 +12(k∈Z),当 k ?π 7π? =1 时,x∈?3,12?,故选 D. ? ? 答案 D

? π? 9. (2014· 石狮模拟)函数 y=cos2?x+4?的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0), 所 ? ? 得图象关于 y 轴对称,则 a 的最小值为 A.π π C.2 B. 3π 4 ( ).

π D.4 π? ? ?2x+2? 1-sin 2x 1 + cos ? ? 1 1 ? π? y=cos2?x+4?= = =2-2sin 2x,函数图象向右 2 2 ? ?

解析

1 1 1 1 平移 a 个单位得到函数 y=2-2sin[2(x-a)]=2-2sin(2x-2a), 要使函数的图

π π kπ 象关于 y 轴对称,则有-2a=2+kπ,k∈Z,即 a=-4- 2 ,k∈Z,所以当 k π =-1 时,a 有最小值为4,选 D. 答案 D

π 10. 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<2)的图象在 y 轴上的截距为 1, 3 ? ? ?x0+2,-2?(x0>0)上 f(x)分别取得最大值和最小值. 在相邻两最值点(x0,2), 若 ? ? 函数 g(x)=af(x)+b 的最大值和最小值分别为 6 和 2,则|a|+b 的值为 ( A.5 C.7 解析 B.6 D.8 3? T ? 3 由题意知 A=2,2 =?x0+2?-x0=2, ? ? ).

2π 2π ∴T=3,即|ω|=3,又 ω>0,∴ω= 3 . π ?2π ? ∴f(x)=2sin? 3 x+φ?,又函数 f(x)过点(0,1),代入得 2sin φ=1,而|φ|<2,∴φ ? ? π =6, ?2π π? ?2π π? ∴f(x)=2sin? 3 x+6?,g(x)=af(x)+b=2asin? 3 x+6?+b. ? ? ? ? ?2|a|+b=6, ?|a|=1, 由? 得? ∴|a|+b=5. ?-2|a|+b=2, ?b=4, 答案 A

二、填空题 11 . (2013· 宁波十校测试 ) 函数 y = sin(x + 10° ) + cos(x + 40° )(x ∈ R) 的最大值= ________. 解析 y=sin(x+10° )+cos(x+40° )

=sin(x+10° )+cos[(x+10° )+30° ] 3 1 =sin(x+10° )+ 2 cos(x+10° )-2sin(x+10° )

1 3 =2sin(x+10° )+ 2 cos(x+10° ) =sin(x+10° +60° ) =sin(x+70° ), 故 ymax=1. 答案 1

π? ? 12. 如图所示的是函数 y=Asin(ωx+φ)?A>0,ω>0,|φ|<2?图象的一部分,则 ? ? 其函数解析式是________.

解析 +φ).

T π ? π? π 由图象知 A=1,4 =6-?-3?=2,得 T=2π,则 ω=1,所以 y=sin(x ? ?

π ?π ? 由图象过点?6 ,1?,可得 φ=2kπ+3(k∈Z), ? ? π 又|φ|<2, π ? π? 所以 φ=3,所以所求函数解析式是 y=sin?x+3?. ? ? 答案 ? π? y=sin ?x+3? ? ?

13.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象与直线 y=b(0<b< A)的三个相邻交点的横坐标分别是 2,4,8, 则 f(x)的单调递增区间是________. 解析 2π π 根据分析可得函数的周期为 6,即 ω =6,得 ω=3,由三角函数的对

?π ? 称性可知,函数在 x=3 处取得最大值,即 Asin?3×3+φ?=A,即 sin φ=-1, ? ? π π 所以 φ=2kπ-2(k∈Z).又|φ|<π,所以 φ=-2 ,故函数的解析式为 f(x)= π π π π ?π π? Asin?3x-2?,令 2kπ-2≤3x-2≤2kπ+2(k∈Z),得 6k≤x≤6k+3(k∈Z).故 ? ? 函数 f(x)的单调递增区间是[6k,6k+3](k∈Z).

答案

[6k,6k+3](k∈Z)

14.(2014· 淄博二模)下面有五个命题: ①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π.
? ? ? ? ? kπ ②终边在 y 轴上的角的集合是?α?α= 2 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. π? π ? ④把函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移6个单位得到 y=3sin 2x 的图象. ? ? ? π? ⑤函数 y=sin?x-2?在(0,π)上是减函数. ? ? 其中真命题的序号是________. 解析 2π ①化简得 y=-cos 2x,最小正周期为 2 =π.真命题.

? ? ? ? ? π ②终边在 y 轴上的角的集合是?α?α=kπ+2,k∈Z ?,假命题. ? ? ? ? ?

③在同一坐标系中,函数 y=sin x 的图象和函数 y=x 的图象,只有一个公共 点,假命题. π? π ? ? π? π? ? ④把函数 y=3sin?2x+3?的图象向右平移 个单位得到 y=3sin?2?x-6?+3?= 6 ? ? ? ? ? ? 3sin 2x 的图象,真命题. ? π? ⑤函数 y=sin?x-2?在(0,π)上是增函数,假命题. ? ? 答案 ①④

三、解答题 π? ? 15.(2013· 辽宁卷)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈?0,2?. ? ? (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1,

及|a|=|b|,得 4sin2x=1. π? 1 ? 又 x∈?0,2?,从而 sin x=2, ? ? π 所以 x=6.

(2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x 3 1 1 = 2 sin 2x-2cos 2x+2 π? 1 ? =sin?2x-6?+2, ? ? π? π? π ? ? 当 x=3∈?0,2?时,sin?2x-6?取最大值 1. ? ? ? ? 3 所以 f(x)的最大值为2. 16.(2014· 衡水模拟)已知函数 f(x)=1+sin xcos x. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (2)若 tan x=2,求 f(x)的值. 解 1 (1)已知函数可化为 f(x)=1+2sin 2x,

2π 所以 T= 2 =π, π 3π 令2+2kπ≤2x≤ 2 +2kπ(k∈Z), π 3π 则 +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z), 4 4 3π ?π ? 即函数 f(x)的单调递减区间是?4+kπ, 4 +kπ?(k∈Z). ? ? sin2 x+sin xcos x+cos2x (2)由已知 f(x)= sin2 x+cos2x tan2 x+tan x+1 = , tan2 x+1 22+2+1 7 ∴当 tan x=2 时,f(x)= 2 =5. 2 +1 17.(2013· 合肥第二次质检)已知函数 f(x)=msin x+ 2m-1cos x. (1)若 m=2,f(α)= 3,求 cos α; π? ? (2)若 f(x)的最小值为- 2,求 f(x)在?-π,6?上的值域. ? ? 解 (1)由 m=2,∴f(α)=2sin α+ 3cos α= 3,

1 又 sin2α+cos2α=1,∴cos α=-7或 cos α=1.

(2)f(x)=msin x+ 2m-1cos x= m2+2m-1sin(x+φ) ≤ m2+2m-1, ∴ m2+2m-1= 2, ∴m=1 或 m=-3(舍), ? π? ∴f(x)=sin x+cos x= 2sin?x+4?. ? ? π? ? 由 x∈?-π,6?, ? ? π ? 3π 5π? ∴x+ ∈?- 4 ,12?, 4 ? ? 2+ 6? ? π? ? ?, ∴sin?x+4?∈?-1, ? ? ? 4 ? ? 1+ 3? ?. 所以 f(x)的值域为?- 2, 2 ? ? 18.(2014· 江苏省七校联考)已知 m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中 a, ?π? b,x∈R.若 f(x)=m· n 满足 f?6?=2,且 f(x)的导函数 f′(x)的图象关于直线 x ? ? π =12对称. (1)求 a,b 的值; π? ? (2)若关于 x 的方程 f(x)+log2k=0 在区间?0,2?上总有实数解,求实数 k 的取 ? ? 值范围. 解 (1)f(x)=m· n=asin2x+bsin xcos x.

?π? 由 f?6?=2,得 a+ 3b=8.① ? ? π ∵f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且 f′(x)的图象关于直线 x=12对称, ?π? ∴f′(0)=f′?6?, ? ? 3 1 ∴b= 2 a+2b,即 b= 3a.② 由①②得,a=2,b=2 3. (2)由(1)得 f(x)=1-cos 2x+ 3sin 2x

π? ? =2sin?2x-6?+1. ? ? π? ? ∵x∈?0,2?, ? ? π π 5π ∴-6≤2x-6≤ 6 , π? 1 ? ∴-2≤sin ?2x-6?≤1, ? ? π? ? ∴0≤2sin?2x-6?+1≤3,即 f(x)∈[0,3]. ? ? π? ? 又 f(x)+log2k=0 在?0,2?上有解, ? ? π? ? 即 f(x)=-log2k 在?0,2?上有解, ? ? 1 ?1 ? ∴-3≤log2k≤0,解得8≤k≤1,即 k∈?8,1?. ? ?


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