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【走向高考】(全国通用)2016高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题25 审题技能训练(含解析)


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【走向高考】 (全国通用)2016 高考数学二轮复习 第一部分 微专题 强化练 专题 25 审题技能训练(含解析)
一、选择题 1.已知向量 a、b 的夹角为 60°,且|a|=2,|b|=1,则向量 a 与向量 a+2b 的夹角 等于( ) B.90° D.30° A.150° C.60° [答案] D [审题要点] 弄清问题、熟悉问题和转化问题 要求向量的夹角,可由 cosθ =

a??a+2b? 求解,这是求向量夹角的常用方法, |a||a+2b|
2 2

→由已知可求解 a?(a+2b)=a +2a?b 的值. →由已知可求|a+2b| =a +4a?b+4b 的值, 进而可求|a+2b|的值. →由上述步骤可求得 cosθ =
2 2 2

a??a+2b? 的值. |a||a+2b|

[解析] |a+2b| =4+4+4a?b=8+8cos60°=12, ∴|a+2b|=2 3, 记向量 a 与向量 a+2b 的夹角为 θ , 则 a?(a+2b)=|a|?|a+2b|?cosθ =2?2 3cosθ =4 3cosθ , 又 a?(a+2b)=a +2a?b=4+4cos60°=6, ∴4 3cosθ =6,cosθ = 3 , 2
2

π 又 θ ∈[0,π ],∴θ = ,故选 D. 6 2.(文)对于函数 f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的一组 值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 C.2 和 4 [答案] D [审题要点] 仔细观察会发现 f(x)的表达式中“asinx+bx”有其特殊性,即 g(x)= B.3 和 1 D.1 和 2 )

asinx+bx 为奇函数,这是本题审题第一关键要素,其实从 f(1)与 f(-1)的提示,也应考
虑是否具有奇偶性可用,由此可知 f(1)+f(-1)=2c;再注意观察细节可以发现 c∈Z,从 而 2c 为偶数. [解析] 令 g(x)=asinx+bx,则 g(x)为奇函数, ∴g(-1)=-g(1),∴f(x)=g(x)+c.
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∴f(1)+f(-1)=g(1)+c+g(-1)+c=2c, ∵c∈Z,∴2c 为偶数, ∵1+2=3 不是偶数, ∴1 和 2 一定不是 f(1)与 f(-1)的一组值,故选 D. (理)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 1 满足 f(log2a)+f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 A.[1,2] 1 C.[ ,2] 2 [答案] C [审题要点] 求 a 的取值范围, 需解给出的不等式, 条件中的单调递增为解不等式时脱 去函数符号“f”所备,f(x)为偶函数,为化不等式为 f(x1)≤f(x2)型而准备.解题思路步 骤为: 1 由log a=-log2a 2 偶函数 ― ― → 1 B.(0, ] 2 D.(0,2] )

f?log2a?≤f?1?

单调递增 ― ― →

|log2a|≤1

隐含a>0 ― ― →

a的范围
1 [解析] 因为 log a=-log2a 且 f(-x)=f(x), 2 1 则 f(log2a)+f(log a)≤2f(1)? f(log2a)+f(-log2a)≤2f(1)? f(log2a)≤f(1). 2 又 f(log2a) = f(|log2a|) 且 f(x) 在 [0 , + ∞) 上 单 调 递 增 , ∴ |log2a|≤1 ? - 1 1≤log2a≤1,解得 ≤a≤2,选 C. 2 [方法点拨] 注意发掘隐含条件 有的题目条件不甚明显,而寓于概念、存于性质或含于图中,审题时,注意深入挖掘这 些隐含条件和信息,就可避免因忽视隐含条件而出现的错误. 3.(文)(2014?浙江理,3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面 积是( )

A.90cm

2 2

B.129cm D.138cm

2 2

C.132cm

[答案] D

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[ 审 题 要 点 ]

分析三视图 ― ― →

组合体

形状特征 ― ― →

长方体和 直三棱柱

数据特征 ― ― →

长方体的长、宽、高为4、6、3; 选择表面积 直棱柱底面直角三角形两直 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 表面积 公式或计算方法注意公共部分 角边长4、3,棱柱高为3 [解析] 由三视图知该几何体是一个直三棱柱与长方体的组合体,长方体长、宽、高分 别为 4cm,6cm,3cm,直棱柱高为 3cm,底面为直角三角形,两直角边长为 3cm、4cm,∴几何 1 2 体的表面积为 S=2?4?6+2?3?4+3?6+3?3+3?4+3?5+2? ?3?4=138cm ,选 2 D. (理)若函数 f(x)=

d (a、 b、 c、 d∈R)的图象如图所示, 则 a?b?c?d=( ax2+bx+c

)

A. C.

1?6?5? (-8) 1?(-6)?5?8

B. D.

1?(-6)?5? (-8) 1?6?5?8

[答案] B [解析] ∵f(x)的图象以 x=1 和 x=5 为渐近线, ∴1 和 5 是方程 ax +bx+c=0 的两根,
2

b ? ?-a=6, ∴? c ? ?a=5.

∴c=5a,b=-6a;

∵图象过点(3,2),∴ =2,∴d=-8a, 9a+3b+c ∴a?b?c?d=a?(-6a)?(5a)?(-8a)=1?(-6)?5?(-8). [方法点拨] 注重挖掘图形信息: 在一些高考数学试题中, 问题的条件往往是以图形的 形式给出,或将条件隐含在图形之中,因此在审题时,要善于观察图形,洞悉图形所隐含的 特殊的关系、数值的特点、变化的趋势,抓住图形的特征,利用图形所提供的信息来解决问 题.题目中未给出图形的,可画出图形,借助图形分析探寻解题途径. 4.(文)(2014?福州市质检)函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是 ( )

d

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A.f(x)=x+sinx C.f(x)=xcosx [答案] C

cosx B.f(x)=

x

π 3π D.f(x)=x(x- )(x- ) 2 2

[解析] 注意到题中所给曲线关于原点对称, 因此相应的函数是奇函数, 选项 D 不正确; 对于 A,f ′(x)=1+cosx≥0,因此函数 f(x)=x+sinx 是增函数,选项 A 不正确;对于 B, 由于 f(x)的图象过原点,因此选项 B 不正确.综上所述知选 C. (理)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于 ( ) 2 A. 3 C. 2 3 B. 3 3

1 D. 3

[答案] A [解析] 解法 1:如图,连接 C1O,过 C 作 CM⊥C1O.

∵BD⊥平面 C1CO,∴BD⊥CM,∴CM⊥平面 BC1D ∴∠CDM 即为 CD 与平面 BDC1 所成的角 令 AB=1,∴AA1=2,CO= 2 , 2 9 3 2 = , 2 2

C1O=

2 +?

2

2 2 ?= 2

CM?C1O=CC1?CO,
即 3 2 2 2 CM=2? ,∴CM= , 2 2 3

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CM 2 ∴sin∠CDM= = . CD 3
解法 2:以 D 为原点 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系

→ → 设 AA1=2AB=2,则 D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),则DC=(0,1,0),DB= → (1,1,0),DC1=(0,1,2). 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n?DB=0,n?DC1=0, ∴?
? ?x+y=0, ?y+2z=0, ?

令 y=-2,则 x=2,z=1,

∴n=(2,-2,1), 设 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ , → |n?DC| 2 → 则 sinθ =|cos〈n,DC〉|= = . → 3 |n|?|DC| 5.(2015?郑州市质检)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平 均数也相同,则图中的 m、n 的比值 =(

m n

)

A.1 2 C. 9 [答案] D

1 B. 3 3 D. 8

32+34 1 [解析] 由茎叶图知乙的中位数为 =33,故 m=3,∴甲的平均数为 (27+33+ 2 3 1 m 3 39)=33,∴ (n+2+4+8+20+30?3)=33,解得 n=8,∴ = . 4 n 8 [方法点拨] 注意读图识表, 挖掘图表数据: 在数据题目的图表数据中包含着问题的基 本信息,也往往暗示着解决问题的目标和方向.审题时认真观察分析图表、数据的特征和规
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律,可为问题解决提供有效的途径. 6 . 已 知 函 数 y = f(x) 的 定 义 域 为 D , 若 对 于 任 意 的 x1 、 x2 ∈ D(x1≠x2) , 都 有

x1+x2 f?x1?+f?x2? f( )< ,则称 y=f(x)为 D 上的凹函数.由此可得下列函数中的凹函数
2 2 为( ) A.y=log2x C.y=x
2

B.y= x D.y=x
3

[答案] C [解析] 观察图象可知选 C.C 的正确性证明如下: 欲证 f( 即证(

x1+x2 f?x1?+f?x2?
2 2 )< 2 2
2 2 x2 1+x2



x1+x2

)<
2 2

2


2

即证(x1+x2) <2x1+2x2, 即证(x1-x2) >0. 此式显然成立.故原不等式得证. [方法点拨] 注意对新定义的理解与转化: 遇到新定义问题,要先弄清楚新定义的含义,将其用学过的熟知的数学知识加以转化, 然后在新背景下用相应的数学知识方法解决. 7.(文)设 P、Q 分别为圆 x +(y-6) =2 和椭圆 +y =1 上的点,则 P、Q 两点间的最 10 大距离是( A.5 2 C.7+ 2 [答案] D [解析] 由圆的性质可知 P、Q 两点间的最大距离为圆心 A(0,6)到椭圆上的点的最大距 离与圆的半径之和,设 Q(x,y),则 AQ =x +(y-6) =10-10y +y -12y+36=46-9y - 2 2 2 12y=-9(y+ ) +50,当 y= 时,|AQ|max=5 2, 3 3 ∴|PQ|max=5 2+ 2=6 2. ( 理 )(2014? 福 建 文 , 11) 已 知 圆 C : (x - a) + (y - b) = 1 , 平 面 区 域 Ω :
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

) B. 46+ 2 D.6 2

x+y-7≤0, ? ? ?x-y+3≥0, ? ?y≥0.
A.5 C.37 [答案] C

若圆心 C∈Ω ,且圆 C 与 x 轴相切,则 a +b 的最大值为(

2

2

)

B.29 D.49

[解析] 可行域如图:

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圆心 C(a,b),则|b|=1,由图知 b=1,而当 y=1 时,由 y=7-x 知 x=6,所以 a +b 最大值为 6 +1 =37.
2 2 2

2

8. (文)如果一条直线与一个平面垂直, 那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”, 在一个正方体中, 由两个顶点确定的直线与含有 4 个顶点的平面构成的“正交线面对”的个 数是( A.24 C.48 [答案] B [解析] 正方体的一条棱对应着 2 个“正交线面对”, 12 条棱对应着 24 个“正交线面 对”;正方体的一条面对角线对应着一个“正交线面对”,12 条面对角线对应着 12 个“正 交线面对”,一条体对角线无满足要求的平面∴共有 36 个. (理)定义“等和数列”: 在一个数列中, 如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 定义“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的积都为同一常数,那么 这个数列叫做“等积数列”,这个常数叫做该数列的公积. 如果数列{an}既是“等和数列”,又是“等积数列”,且公和与公积是同一个非零常数 ) B.36 D.12

m,则(

)

A.数列{an}不存在 B.数列{an}有且仅有一个 C.数列{an}有无数个,m 可取任意常数 D.当 m∈(-∞,0]∪[4,+∞)时,这样的数列{an}存在 [答案] D [解析] 由题设 an+an+1=m,an?an+1=m,对任意正整数 n 都成立,则 an 与 an+1 是一元 二次方程 x -mx+m=0 的两实数根, ∴Δ =m -4m≥0, ∴m≥4 或 m≤0, 故这样的数列{an}, 当 m≥4 或 m≤0 时存在,但当 0<m<4 时不存在. 二、填空题 9.(文)(2014?乌鲁木齐诊断)已知数列{an}、{bn}都是等差数列,Sn、Tn 分别是它们的 前 n 项和,且 = [答案] [解析] 31 5
2 2

Sn 7n+1 a2+a5+a17+a22 ,则 的值为________. Tn n+3 b8+b10+b12+b16

a2+a5+a17+a22 2?a11+a12? a11+a12 = = b8+b10+b12+b16 2?b11+b12? b11+b12

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22?a1+a22? 2 S22 7?22+1 31 = = = = . 22?b1+b22? T22 22+3 5 2 (理)(2014?郑州市质检)我们把各位数字之和为 7 的四位数称为“北斗数”(如 2014 是“北斗数”),则“北斗数”中千位为 2 的共有________个 . [答案] 21 [分析] 由北斗数的定义分类,个数、十位、百位数字之和为 5,则 0+0+5=0+1+4 =0+2+3=1+1+3=2+2+1,共 5 类. [解析] 个、十、百位上的数字为 0、0、5,共 3 个,个、十、百位上数字为 0、1、4, 共 A =6 个;个、十、百位上数字 0、2、3,共 A3=6 个;个、十、百位上数字为 1、1、3, 共 3 个;个、十、百位上数字为 2、2、1,共 3 个,故共有 21 个. 10.已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+, 则 f2014(x) 1+x 的表达式为________. [答案]
3 3 3

x

x
1+2014x

[解析] 考查归纳推理.

x f1(x)=f(x)=
, f2(x)=f(f1(x))= 1+x

x x
= 1 , f3(x)=f(f2(x))= 1+2x 1+2x 1+ 1+2x

x

1+x

1+ 1+ x

x



,?, 1+3x

x

f2014(x)=

. 1+2014x
2

x

三、解答题 11.已知函数 f(x)=x +xsinx+cosx. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. [ 审 题 要 点 ] (1) 直线y=b与曲线y=f?x?在点 ?a,f?a??处相切 导数的几何意义 ― ― →

f ′?a?=0,f?a?=b

解方程组 ― ― → 求得a,b

(2) 直线y=b与曲线y=f?x?有两个不同的交点 从y=f?x?的 判断曲线y=f?x? 利用导数判断y=f?x? 结合图象 ― ― → ― ― → 图象先减后增 ― ― → 图象考虑 的单调性、极值 的形状

b只需大于y=f?x?的最小值
2

导数知识 ― ― → 求y=f?x?的最小值

[解析] 由 f(x)=x +xsinx+cosx,得 f ′(x)=x(2+cosx). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,
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所以 f ′(a)=a(2+cosa)=0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f ′(x)=0,得 x=0. 当 x 变化时,f(x)与 f ′(x)的变化情况如下:

x f′(x) f(x)
是 f(x)的最小值.

(-∞,0) - ?

0 0 1

(0,+∞) + ?

所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点; 当 b>1 时,f(-2b)=f(2b)≥4b -2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b, 所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时曲线 y=f(x)与直 线 y=b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1, +∞). [方法点拨] 审视条件 了解和转换解题信息 审题时, 一是对题目条件信息的挖掘整合; 二是明确解题的目标要求, 解题思路的确定, 解题方法的选择,解题步骤的设计;三是弄清题目中是否有图表可用,是否需要画图帮助思 考,列表整合数据?较复杂的问题如何进行转化. 12.(文)(2014?北京文,17)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥
2

BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F 分别为 A1C1、BC 的中点.

(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积. [审题要点] (1)要证平面 ABE⊥平面 B1BCC1, 需在一个平面内找一条直线与另一个平面 垂直;已知三棱柱侧棱垂直于底面,AB⊥BC,可知 AB⊥平面 B1BCC1. (2)要证 C1F∥平面 ABE,需在平面 ABE 内找一条与 C1F 平行的直线,为此过 C1F 作平面 与平面 ABE 相交,考虑到 C1E 与平面 ABE 相交,则平面 C1EF 与平面 ABE 的交线 EG 为所求(G 为 AB 与平面 C1EF 的交点). 1 考虑条件 E、 F 分别为棱的中点, 猜想 G 应为 AB 的中点, 由中位线 GF 綊 AC 綊 C1E 获证. 2
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(3)要求 VE-ABC,高 AA1 已知,关键求 S△ABC,由 AC=2,BC=1,AB⊥BC 易得. [解析] (1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB, 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1.

(2)取 AB 中点 G,连接 EG、FG. 因为 E、F 分别是 A1C1、BC 的中点. 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC. 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC -BC = 3, 所以三棱锥 E-ABC 的体积
2 2

V= S△ABC?AA1= ? ? 3?1?2=

1 3

1 3

1 2

3 . 3

[方法点拨] 审题是解题的基础和关键,一切解题的思路、方法、技巧都来源于认真审 题.审题就是对题目提供信息的发现、辨认和转译,并对信息进行提炼,明确题目的条件、 问题和相互间的关系.能否迅速准确地理解题意,是高考中能否取得最佳成绩的关键.审题 时弄清已知什么?隐含什么?数、式结构有何特点?图表有何特征?然后进行恰当的转换, 归结为熟知的问题进行解答. 要注意架构条件与结论之间的桥梁, 要注意细节和特殊情况的 审视,要注意答题的条理和语言的规范. (理)如图 1,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,M 为侧棱 PD 上一点.该四棱锥的侧视图和俯(左)视图如图 2 所示.

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(1)证明:BC⊥平面 PBD; (2)证明:AM∥平面 PBC; (3)线段 CD 上是否存在点 N, 使得 AM 与 BN 所成角的余弦值为 合要求的点 N,并求 CN 的长;若不存在,请说明理由. [解析] 解法一:(1)证明:由俯视图可得 BD +BC =CD ,所以 BC⊥BD. 又因为 PD⊥平面 ABCD, 所以 BC⊥PD,所以 BC⊥平面 PBD. (2)证明:取 PC 上一点 Q,使 PQ?PC=1?4,连接 MQ、BQ.由俯视图知 PM?PD=1?4, 1 所以 MQ∥CD,MQ= CD. 4 在△BCD 中,易得∠CDB=60°,所以∠ADB=30°. 又 BD=2,所以 AB=1,AD= 3.
2 2 2

3 ?若存在, 找到所有符 4

1 又因为 AB∥CD,AB= CD,所以 AB∥MQ,AB=MQ, 4 所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM∥BQ. 因为 AM?平面 PBC,BQ? 平面 PBC, 所以直线 AM∥平面 PBC.

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(3)线段 CD 上存在点 N,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 证明如下: 因为 PD⊥平面 ABCD,DA⊥DC, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.

3 . 4

所以 D(0,0,0),A( 3,0,0),B( 3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3). 设 N(0,t,0),其中 0≤t≤4, → → 所以AM=(- 3,0,3),BN=(- 3,t-1,0). 要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 → → |AM?BN| 3 则有 = , → → 4 |AM||BN| |3| 3 所以 = , 2 4 2 3? 3+?t-1? 解得 t=0 或 2,均适合 0≤t≤4. 故点 N 位于 D 点处,此时 CN=4;或点 N 位于 CD 的中点处,此时 CN=2,有 AM 与 BN 所成角的余弦值为 3 . 4 3 , 4

解法二:(1)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,DA⊥DC, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.

在△BCD 中,易得∠CDB=60°,所以∠ADB=30°. 因为 BD=2,所以 AB=1,AD= 3. 由俯视图和侧视图可得 D(0,0,0),A( 3,0,0),B( 3,1,0),C(0,4,0),M(0,0,3),

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P(0,0,4),
→ → 因为BC=(- 3,3,0),DB=( 3,1,0). → → 因为BC?DB=- 3? 3+3?1+0?0=0,所以 BC⊥BD. 又因为 PD⊥平面 ABCD,所以 BC⊥PD, 所以 BC⊥平面 PBD. → ? ?n?PC=0, (2)证明:设平面 PBC 的法向量为 n=(x,y,z),则有? → ? ?n?BC=0. → → 因为BC=(- 3,3,0),PC=(0,4,-4),

?4y-4z=0, 所以? ?- 3x+3y=0.
→ 因为AM=(- 3,0,3),

取 y=1,得 n=( 3,1,1).

→ 所以AM?n= 3?(- 3)+1?0+1?3=0. 因为 AM?平面 PBC, 所以直线 AM∥平面 PBC. (3)同解法一. [方法点拨] 注重建立条件之间、条件与结论之间的联系: 审题过程中要注意由已知可知什么?条件之间有何关联,怎样体现这种关联?由待求 (证)结论需知什么?条件和结论之间的衔接点是什么?解题的切入点是什么? 13.(文)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的 交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种 作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示:

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

Y
频数

51

48 4

45

42

(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48kg 的概率. [审题要点] (1)读懂图表:首先理解两株作物“相近“的含义,其次明确 X 与 Y 的对
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应关系(表),通过读图找出与其相近作物株数为 1,2,3,4 的作物分别有几株. (2)解题思路: 读数表 图形 公式

Y=51 ― ― → “相近”作物株数 X 为 1― ― →频数― ― →年平均收获量.
读数表 由?1?知 由事件互斥 年收获量至少为 48kg ― ― → Y=51 或 48 ― ― → 可求相应概率 ― ― → 得出结果. [解析] (1)所种作物的总株数为 1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为 1 的 作物有 2 株,“相近”作物株数为 2 的作物有 4 株,“相近”作物株数为 3 的作物有 6 株, “相近”作物株数为 4 的作物有 3 株,列表如下:

Y
频数 所种作物的平均年收获量为 51?2+48?4+45?6+42?3 15 = 102+192+270+126 =46. 15

51 2

48 4

45 6

42 3

2 4 (2)由(1)知,P(Y=51)= ,P(Y=48)= . 15 15 故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为 48 kg 的概率为 2 15 4 2 15 5

P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)= + = .
(理)(2014?北京理, 16)李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛互 相独立): 场次 主场 1 主场 2 主场 3 主场 4 主场 5 投篮次数 22 15 12 23 24 命中次数 12 12 8 8 20 场次 客场 1 客场 2 客场 3 客场 4 客场 5 投篮次数 18 13 21 18 25 命中次数 8 12 7 15 12

(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率; (2)从上述比赛中选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场 不超过 0.6 的概率; - (3)记 x 为表中 10 个命中次数的平均数. 从上述比赛中随机选择一场, 记 X 为李明在这 - 场比赛中的命中次数,比较 E(X)与 x 的大小.(只需写出结论) [解析] (1)根据投篮统计数据,在 10 场比赛中,李明投篮命中率超过 0.6 的场次有 5 场,分别是主场 2,主场 3,主场 5,客场 2,客场 4. 所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5. (2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的 一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不超过 0.6”.
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- - 则 C=(A B )∪( A B),A,B 独立. 3 2 根据投篮统计数据,P(A)= ,P(B)= , 5 5

P(C)=P(A B )+P( A B)
3 3 2 2 = ? + ? 5 5 5 5 = 13 . 25





所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过 0.6,一场不 13 超过 0.6 的概率为 . 25 - (3)E(X)= x . 14.(文)已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,A、B 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的不同两点,抛物线 C 在点 A,B 处的切线分别为 l1,l2,且 l1⊥l2,l1 与 l2 相交于点 D. (1)求点 D 的纵坐标; (2)证明:直线 AB 过定点. [审题要点] (1)求点 D 纵坐标
2

l1与l2交点为D
― ― →

C在A、B点的切 l1、l2 的方程 线互相垂直 ― ― → 设 A、B,由导

数得斜率,由 A、B 在 C 上得坐标关系. 审视图形 转化 (2)AB 过定点适当猜想 ― ― → 定点可能为焦点 F― ― →证 A、B、F 三点共线― →用向量或斜率证 [解析] (1)如图,设点 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

∵l1、l2 分别是抛物线 C 在点 A,B 处的切线, ∴直线 l1 的斜率 k1=y′|x=x1= , 直线 l2 的斜率 k2=y′|x=x2= . ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,得 x1x2=-p .① ∵A、B 是抛物线 C 上的点, ∴y1= ,y2= . 2p 2p
2

x1 p

x2 p

x2 1

x2 2

x2 x1 1 ∴直线 l1 的方程为 y- = (x-x1), 2p p x2 x2 2 直线 l2 的方程为 y- = (x-x2). 2p p

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x x y- = ?x-x ?, ? ? 2p p 由? x x y- = ?x-x ?, ? ? 2p p
1 1 2 2 2 2

2 1

x +x x= ? ? 2 , 解得? p y=- . ? ? 2
1 2

∴点 D 的纵坐标为- . 2 (2)证明:∵F 为抛物线 C 的焦点, ∴F(0, ). 2

p

p

p x1 p -x1 → ∴AF=(-x1, - )=(-x1, ), 2 2p 2p


2

2

2

p x2 p2-x2 2 2 BF=(-x2, - )=(-x2, ). 2 2p 2p p2-x2 1 2 2p p2-x2 -x1x2-x1 x1 1 ∵ 2 2= 2 2= = , p -x2 p -x2 -x1x2-x2 x2 2 2p
→ → ∴AF∥BF,即直线 AB 过定点 F. (理)(2014?沈阳市质检)已知函数 f(x)=mx-sinx,g(x)=axcosx-2sinx(a>0). (1)若过曲线 y=f(x)上任意相异两点的直线的斜率都大于 0,求实数 m 的最小值; π (2)若 m=1,且对于任意 x∈[0, ],都有不等式 f(x)≥g(x)成立,求实数 a 的取值 2

范围. [解析] (1)∵过曲线 y=f(x)上任意相异两点的直线的斜率都大于 0 ∴任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,则由

f?x2?-f?x1? >0,得 f(x1)<f(x2) x2-x1

∴函数 f(x)=mx-sinx 在 R 上单调递增 ∴f′(x)=m-cosx≥0 恒成立,即 m≥cosx ∴mmin=1 (2)∵m=1,∴函数 f(x)=x-sinx ∵f(x)≥g(x),∴x+sinx-axcosx≥0 π 对于任意 x∈[0, ]均成立,令 H(x)=x+sinx-axcosx 2 则 H′(x)=1+cosx-a(cosx-xsinx)=1+(1-a)cosx+axsinx ①当 1-a≥0,即 0<a≤1 时,H′(x)=1+(1-a)cosx+axsinx>0 π ∴H(x)在[0, ]上为单调增函数 2 ∴H(x)≥H(0)=0 符合题意,∴0<a≤1 ②当 1-a<0,即 a>1 时,令 h(x)=1+(1-a)cosx+axsinx 于是 h′(x)=(2a-1)sinx+axcosx
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∵a>1,∴2a-1>0,∴h′(x)≥0 π ∴h(x)在[0, ]上为单调增函数 2 π π ∴h(0)≤h(x)≤h( ),即 2-a≤h(x)≤ a+1 2 2 π ∴2-a≤H′(x)≤ a+1 2 (ⅰ)当 2-a≥0,即 1<a≤2 时,H′(x)≥0 π ∴H(x)在[0, ]上为单调增函数,于是 H(x)≥H(0)=0,符合题意,∴1<a≤2 2 π (ⅱ)当 2-a<0,即 a>2 时,存在 x0∈(0, ),使得当 x∈(0,x0)时,有 H′(x)<0 2 此时 H(x)在(0,x0)上为单调减函数 从而 H(x)<H(0)=0,不能使 H(x)>0 恒成立 综上所述,实数 a 的取值范围为 0<a≤2 [方法点拨] 注意对结论的转换: 问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正 确或错误. 因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的. 审视 结论,就是探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律.善于从结论中捕捉解题信息, 善于对结论进行转化,使之逐步靠近条件,从而发现和确定解题方向. 当结论不很明确,语句晦涩,不利于问题的解决时,可以转换角度,翻译为熟悉的数学 模型加以解决. 15.(文)过抛物线 E:x =2py(p>0)的焦点 F 作斜率分别为 k1、k2 的两条不同直线 l1、
2

l2,且 k1+k2=2,l1 与 E 相交于点 A、B,l2 与 E 相交于点 C、D,以 AB、CD 为直径的圆 M、
圆 N(M、N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l. → → 2 若 k1>0,k2>0,证明:FM?FN<2p . [审题要点] 由 已 知 求 出 l1 的 方 程

l1与E联立方程组
― ― →

关于 x 的一元二次方程

根与系数关系 → 同理 → 计算 → → 2 ― ― → x1+x1=2pk1,y1+y2=2pk2 →FM坐标― ― →FN的坐标― ― →FM?FN=p (k1k2 1+p― → → 再证 k1>0,k2>0 k1+k2=2 2 2 2 只需证 2 2 + k 1 k 2 ) ;要证 FM ? FN <2p ― ― → k1k2 + k 1 k 2 <2 ― ― → - 2<k1k2<1 ― ― → 0<k1k2<1 ― ― →

k1k2<1 成立.
[解析] 由题意知,抛物线 E 的焦点为 F(0, ),直线 l1 的方程为 y=k1x+ . 2 2

p

p

p ? ?y=k1x+ , 2 由? 2 ? ?x =2py,

得 x -2pk1x-p =0.

2

2

设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则 x1、x2 是上述方程的两个实数根,从 而 x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk1+p. 所以点 M 的坐标为(pk1,pk1+ ), 2
2 2

p

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FM=(pk1,pk2 1). p → → → 2 2 2 2 2 同理可得点 N 的坐标为(pk2,pk2+ ),FN=(pk2,pk2),于是FM?FN=p (k1k2+k1k2). 2
因为 k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2, 所以 0<k1k2<(

k1+k2
2

) =1.

2

→ → 2 2 2 故FM?FN<p (1+1 )=2p . [方法点拨] 逆向分析 一些题目从已知到结论不易证明,可采用逆向分析法,即从要证明的结论出发,逐步寻 求使每一步结论成立的充分条件, 直至最后, 把要证明的结论归结为一个明显成立的条件或 已知定理为止.

x2 y2 (理)(2014?新课标Ⅰ理,20)已知点 A(0,-2),椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 a b
3 2 3 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 为坐标原点. 2 3 (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P、Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. [审题要点] (1)欲求 E 的方程,需求 a、b,需由条件建立 a、b 的方程组:审条件可 以发现由离心率和 kAF 可建立方程组获解; 1 (2)l 与 E 相交于 P、Q,则 S△OPQ= |PQ|?d(d 是 O 到 l 的距离),故解题步骤为:设 l 2 的方程→l 与 E 的方程联立消元化为一元二次方程→由判别式确定 k 的取值范围→求 |PQ|(用 k 表示)→求 S△OPQ(用 k 表示)→根据 f(k)=S△OPQ 的表达式结构选取讨论最值方法→ 求 l 的方程. 2 2 3 [解析] (1)设 F(c,0),由条件知, = ,得 c= 3. c 3 又 =

c a

3 2 2 2 ,所以 a=2,b =a -c =1. 2

故 E 的方程为 +y =1. 4 (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2 代入 +y =1 中消去 y 得, 4 (1+4k )x -16kx+12=0. 当 Δ =16(4k -3)>0, 8k±2 4k -3 2 3 即 k > 时,x1,2= 2 4 4k +1 从而|PQ|= k +1|x1-x2| =
2 2 2 2 2

x2

2

x2

2

k2+1?4 k2-3 . 2 4k +1
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又点 O 到直线 PQ 的距离 d=

2

k2+1


2

1 4 4k -3 所以△OPQ 的面积 S△OPQ= d?|PQ|= . 2 2 4k +1 设 4k -3=t,则 t>0,S△OPQ=
2

4t 4 = . t +4 4 t+
2

t

4 7 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2,即 k=± 时等号成立,且满足 Δ >0. t 2 所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为

y=

7 7 x-2 或 y=- x-2. 2 2

[方法点拨] 本题常见错误是:①误以为 O 点到直线 l 的距离最大时,S△OPQ 最大; ②找不到求 f(k)=S△OPQ 的最值的切入点; ③计算失误. 为避免上述错误请注意: ①慢工出细活, 计算时慢一点、 细致一点, 关键步骤及时检查, 莫等完成解答后检查,浪费大量时间;②在直线运动变化过程中,观察△OPQ 面积的变化与 什么相关;观察 f(k)的结构特征与学过的常见函数作对比,进行化归.

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