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原创精品课件1:3.4 对数_图文

第三章 指数函数和对数函数

§3.4 对数
第1课时 对数

学习目标
1.了解对数、常用对数、自然对数的概念. 2.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化. 3.理解和掌握对数的性质,会求简单的对数值.

探究点1

对数的概念

【对数的概念】 一般地,若ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,

记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

探究点2

对数式与指数式的区别与联系

[问题2]:对数与指数有什么区别与联系? [提示] 对数式logaN=x是由指数式 ax=N变化得来的,两式底数相同,对数式 指数 (a>0且a≠1) 幂 底数 底数 真数 对数

中的真数N就是指数式中的幂的值,而对数值x是指数式中的幂指数,对数式 与指数式的关系如图:

[小结]:

对数式 logaN 是一个整体,它可看作一种记号,表示关于 x 的方程 ax =

N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为 a(a>0,且 a≠1), 幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.

探究点3

对数式中底数和真数的要求

[问题3]:对数logaN中,a与N有什么要求,为什么? [提示] 要求:a>0,a≠1,且N >0.这是由于对数式中的底 数a就是指数式中的底数a,所以a的取值范围为a>0,且 a≠1;由于在指数式中ax=N,而ax>0,所以N>0,即负 数和零没有对数.

探究点4

常用对数和自然对数的定义

[问题4]:常用对数、自然对数的定义是什么? [提示]常用对数:通常我们将以10为底数的对数叫做常用 对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lg N. 自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为 底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并且把logeN记 作ln N.

探究点5

对数的性质

[对数的性质]: (1)1的对数为 零 ,即loga1=0; (2)底的对数为 1 ,即logaa=1; (3)零和负数 没有对数 .

典例精讲:题型一:对数式和指数式相互转化
【例1】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

方法总结:指数式和对数式互化的要点 : (1)底数相同; (2)注意字母位置的对应关系,对数式中的真数N就是指数式 中的幂的值,而对数值x是指数式中的幂指数.

典例精讲:题型二:对数式求值

[分析] 求对数式的值,可以设其为x,将之转化为指数式求解. [解析](1)设log464=x,则4x=64 , ,

∴log464=3. ∵64=43,∴x=3, (2) 设 log31 = x ,则 3x = 1 ∵1=30,∴x=0, ∴log31=0.

典例精讲:题型三:解对数方程

(2)x6=8,x>0, 方法总结



课堂练习
1.如果a3=N(a>1且a≠1),则有(
A.log3N=a B.log3a=N

) 答案: D

C.logNa=3

D.logaN=3

2.在M=log(5-a)(a-2)中,求实收a的取值范围. 解析: 要使log(5-a)(a-2)有意义,只须使:

归纳小结
1.对数的定义:若ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数 ,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.对数符号logaN只有在a>0,a≠1且N>0时才有意义. 3.抓住指数式与对数式的关系,指数运算和对数运算互为逆运算.

第2课时
学习目标
1.加深对数的概念.

对数的运算性质和换底公式

2.理解对数运算性质的推导过程,掌握对数的运算性质、换底公式. 3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

引入课题
在前面,我们已经知道对数式logaN=x是由指数式ax=N变化得来的,二者的关系如图:

指数 对数 (a>0且a≠1) 幂
底数

真数

底数

另一方面,我们又学习过指数运算有如下的运算性质:

那么对数运算又有哪些运算性质呢?这就是本节课的学习内容.

探究点1
问题1:
证明:

对数的运算性质

由对数定义得到:logaM=m,logaN=n,loga(M· N)=m+n. ∴loga(M· N)=logaM+logaN 问题2:

探究点1
问题3: 证明:

对数的运算性质

对数的运算性质:

积的对数=对数的和
商的对数=对数的差 正数的n次方的对数 =正数的对数的n倍

探究点2

换底公式

问题1: 结合对数的定义,你能推导出对数的换底公式吗?
(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0) 证明:设, 由对数的定义可得:

两边取以c为底的对数得: ∴
即证得 ∴

探究点2

换底公式

换底公式:

(a>0,且a≠1; c>0,且c≠1; b>0)

即:一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示.

(或logab· logba=1).

换底公式用途和本质: (1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对 数,然后查表求值,以此来解决对数求值的问题. (2)换底公式的本质是化为同底,这是解决对数问题的基本方法.

典例精讲:题型一:对数的运算性质

方法总结:对数运算时公式记忆要准确,特别是要注意: loga(MN)≠logaM· logaN,
loga(M±N)≠logaM±logaN.

典例精讲:题型二:运用对数的运算性质求值
【例2】计算 : (1); (3) (4) (2);

题后反思
方法总结:1.在对数运算中常有以下技巧: ①lg2+lg5=1; ④ b=

②bnlogab;
⑤logab·logba

③logab= ⑥logab·logbc·logca=1

灵活运用对数运算法则进行运算,计算时将底数化为相同,真数尽 量化小,从而便于选择快捷、有效的运算方案进行对数运算.

课堂练习
1. 下列各式的值:
(1)lg+lg (2)log345-log35 =lg=lg

[解析] (1) lg+lg=lg(×) (2) log345-log35 log39=2.

lg10.

2.已知a=log32,那么log38-2log36用a表示为(
A.a-2 C.3a-(1+a)2 B.5a-2 D.3a-a2-1

)答案: A

归纳小结
1.对数的运算法则及换底公式: 则:

(c>0,且c≠1; b>0) 2.对数运算时几个常见恒等式: ①lg2+lg5=1; ⑤logab·logba=1 ⑥logab·logbc·logca=1


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