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2018-2019学年最新高中数学苏教版必修4教案:第二章 平面向量 第8课时 2.4向量的数量积(1)


第 8 课时 §2.4 向量的数量积(1) 【教学目标】 一、知识与技能 (1)掌握向量的数量积及其几何意义; (2)掌握向量数量积的重要性质及运算律; (3)了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; (4)掌握向量垂直的条件. 二、过程与方法 从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积 三、情感、态度与价值观 通过师生互动,自主探究,交流与学习培养学生探求新知识以及合作交流 【教学重点难点】平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 【教学过程】 一、创设情景: 向量的运算有向量的加法、减法、数乘,那么向量与向量能否“相乘”呢? F 二、新课讲解 ? s 引入: 物理学中,物体所做的功的计算方法: W ? | F || s | c o s ? (其中 ? 是 F 与 s 的夹角) . (图 1) 1.向量的夹角: 已知两个向量 a 和 b (如图 2) ,作 O A ? a , O B ? b ,则 ? A O B ? ? ( 0 ? ? ? 1 8 0 )叫做向量 a 与 b 的夹角。 O b B ? a (图 2) A 当 ? ? 0 时, a 与 b 同向; 当 ? ? 1 8 0 时, a 与 b 反向; 当 ? ? 9 0 时, a 与 b 的夹角是 9 0 ,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ? b . 2.向量数量积的定义: 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为 ? ,则数量 | a | ? | b | ? c o s ? 叫做 a 与 b 的数 量积(或内积) ,记作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? c o s ? . 说明:①两个向量的数量积是一个数量,这个数量的大小与两个向量的长度及其夹 角 有关; ②实数与向量的积与向量数量积的本质区别:两个向量的数量积是一个数量;实 数与向量的积是一个向量; ③规定,零向量与任一向量的数量积是 0 . 3、数量积的性质: 设 a 、 b 都是非零向量, ? 是 a 与 b 的夹角,则 ① cos ? ? a ?b | a || b | ? ; ②当 a 与 b 同向时, a ? b ? | a || b | ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? | a || b | ; 2 特别地: a ? a ? | a | 或 | a | ? a ?a ; ③ | a ? b |? | a || b | ; ④a ? b ? a ?b ? 0 ; 若 e 是与 b 方向相同的单位向量,则 ⑤ e ? a ? a ? e ?| a | cos? . 4.数量积的几何意义: (1)投影的概念: 如图, O A ? a , ,过点 B 作 B B 1 垂直于直线 O A ,垂足为 B 1 ,则 O B 1 ? | b | c o s ? . B b B b B b ? O a B1 ? A B1 a ? A O ( B1 ) O A | b | c o s ? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影, 当 ? 为锐角时,它是正值; 当 ? 为钝角时,它是一负值; 当 ? ? 9 0 时,它是 0 ; 当 ? ? 0 时,它是 | b | ; 当 ? ? 1 8 0 时,它是 ? | b | . (2)a ? b 的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b | c o s ? 的乘积。 三、例题分析: 例 1

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