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柱锥台的表面积与体积刘奇2012-4-23


广水市第一高级中学

刘奇 2012-4-23

复习回顾
? ?

(1)矩形面积公式:

S ? ab __________

1 S ? ah 2 (2)三角形面积公式:_________

?

S ? ?r 2 (3)圆面积公式:_________

?

(4)圆周长公式: (5)扇形面积公式: (6)梯形面积公式:

C ? 2? r _________
1 S ? rl 2 __________
1 S ? ( a ? b) h 2 __________

?

?

(一)柱体、锥体、台体的表面积
面积是相对于平面图形而言的,体积 是相对于空间几何体而言的. 面积:平面图形所占平面的大小 体积:几何体所占空间的大小 表面积:几何体表面面积的大小

怎样理解棱柱、棱锥、棱台的表面积?

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

表面积=侧面积+底面积

在初中已经学过了正方体的表面积,你知道正方 体的展开图与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

棱柱、棱锥、棱台也是由多个 平面图形围成的多面体,它们的 展开图是什么?如何计算它们的 表面积?

几何体的侧面展开图

侧面展开图的构成 一组平行四边形

一组三角形

一组梯形

例1.已知棱长为 a,各面均为等边三角形的 四面体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成.

解:过点S作SD ? BC , 交BC于点D.
∵ BC ? a , S A

a 2 SD ? SB ? BD ? a ? ( ) ? 3 a 2 2 1 ? S?SBC ? BC ? SD ? 1 a ? 3 a ? 3 a 2 2 2 2 4
2 2 2

因此,四面体S-ABC的表面积为
C

B

D

3 2 S ? 4? a ? 3a 2 4

如何根据圆柱,圆锥的几何结 构特征,求它们的表面积?

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S =S底 +S侧=2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )
2

1 = S侧 ? 2? rl ? ? rl 2

S =S底 +S侧=? r ? ? rl
2

2?r

? ? r (r ? l )

l

r

圆锥的侧面展开图是扇形
O

圆台的侧面展开图是扇环
1 1 S侧? ? 2? r ? l ? l ? ? ? ? 2? r?l ? 2 2 ?) ? ? r 'l ? ? ? (rl ? rl ? ? r 'l ?) ? ? r (l ? l

r 'O’
l

l?

2?r '

2?r

r l? ? ? r l? ? l
'

r

O

S ? ? (r l ? rl ) 侧 ? S ? S底 ? S ? ? ( r ' ? r 2 ? r 'l ? rl ) 侧
'
2

rl ? ? r l ? ? r l
' '

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底 直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长 15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方 米用100毫升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆 (取 ? ? 3.14,结果精确到1毫升,可用计算器)?

解:花盆外壁的表面积:
? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 )

S ? ? ( r ? r 2 ? r 'l ? rl )
'2
20cm

15 2 15 20 1.5 2 S ? ? ? [( ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( ) 2 2 2 2

涂100个花盆需油漆: 0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升)

15 cm
15 cm

答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升油漆.

练习: 1.五棱台的上、下底面均是正五边形,边长分别 为8cm和18cm,侧面是全等的等腰梯形,侧 棱长是13cm,则它的侧面积=( 780cm ) 2.已知圆锥的表面积为am2 ,且它的侧面展开图是 一个半圆,则这个圆锥的底面直径= ( 2 3? a )
3?

小结: 柱体、锥体、台体的表面积
圆柱S ? 2? r(r ? l ) ? ? (2r 2 ? 2rl ) r? ? r ?? 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )
r? ? 0
圆锥 S ? ? (r 2 ? rl )

圆柱、圆锥、 圆台

棱柱、棱锥、 棱台

展开图

各面面积之和

所用的数学思想: 空间问题“平面”化

?

作业:P28习题1.3A组2,5


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