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第一章 集合的概念及运算


第一章
§1.1 集合的概念

集合的概念及运算

自从 19 世纪末德国数学家康托为集合论做奠基工作以来,集合论在一百年的时间里,已 经称为数学中不可缺少的基本的描述工具。 集合作为数学中最基本的概念,是不能被严格定义的,只能加以描述。简单说来,一个 集合就是一些不同对象构成的整体。

A , B , C , 表示集合,用小写英文字母 a , b , c , 表示集合中的元素。用 a ∈ A 表示 a 为 A 的元素,读作 a 属于 A ;用 a ? A 表示 a 不是 A 的元素,读作 a 不属于 A 。
一般地,人们用大写英文字母 可以用两种方法来表示集合。 a. 列举法:列出集合中的全体元素,元素之间用逗号分开,然后用花括号括起来。设 是以 a , b , c , d 为元素的集合。则

A

A = {a, b, c, d } 。

b. 描述法:即集合的成员可以用其具备的独特性质来描述。例如,

A = {x ∈ R : x ≥ 2} 。
注 1:对于集合的表示法应该注意以下几点: (1) 集合中的元素是各不相同的; (2) 集合中的元素不规定顺序; (3) 集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 注 2:随意地用描述法来确定(定义)集合,可能导出不可预料的困难。设 B 是含 10 个 以上元素的集合构成的集合,则有 B ∈ B 。设 C 是由集合构成的集合,使得

C = {x : x是集合且x ? x}
那么 C ∈ C 还是 C ? C 呢,无论哪一个情况都会导出矛盾?这是一个悖论。是英国数理学 家罗素(Russell)提出的,称为罗素悖论。 除罗素悖论外,还有一些其他的悖论,说明不加限制地使用集合一词会出毛病。对集合概 念的运用必须制定一些规则,这就导致了公里化集合论。而把由康托开始建立的未进行公 理化的集合论称为朴素集合论。 我们将学习朴素集合论的基本内容,但借鉴公理化集合论的思想,以避免出现悖论。 定义 1.1 设 A , B 为二集合,若 B 中的元素都属于 含 B 或 B 含于

A ,则称 B 是 A 的子集,也称 A 包

A ,记作 B ? A 。

1

A 包含 B 且 B 包含 A ,则称 A 与 B 相等,记作 A = B 。 定义 1.3 设 A , B 为二集合,若 A 为 B 的子集,且 A ≠ B ,则称 A 为 B 的真子集,记 作A? B。
定义 1.2 设 A , B 为二集合,若 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集,记作 ? 。 注 1:空集是任何集合的子集;空集是唯一的。 定义 1.5 如果限定所讨论的集合都是某一集合的子集,则称该集合为全集,常记为 E 。

定义 1.6 设 A 为一个集合,称由

A 的所有子集组成的集合为 A 的幂集,记作 ρ ( A) 。

注 1:以 |

A | 表示 A 中的元素个数,当 | A | 为有限数时,称 A 为有限集。元素个数为 n

( n 为自然数)的集合称为 n 元集。

除了 ρ ( A) 这样由集合构成的集合外,我们还会遇到许多形式的由集合构成的集合,统称这样 的集合为集族。幂集是特殊的集族。

定义 1.7 设 A 为一集族, S 为一个集合,若 S 中的元素 α 可一一对应到 A 中的元素 Aα , 则称 A 是以 S 为指标的集族,记为 A

= { Aα : α ∈ S } 或 A = { Aα }α ∈S 。

注:如果将空集 ? 看作集族,则称 ? 为空集族。 我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的,而在实际中,某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如,在一个班里学生的名字,可能有两个 或多个学生有相同的名字,并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如,某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合

A = {电机工程师,机械工程师,数学家,制图员,程序员}
表示,但从集合

A 中看不出所需要人员的数量。再如方程

x( x ? 1)3 = 0
的解集应以 {0,1,1,1} 表示。于是引出多重集合的概念。

定义 1.8 设全集为 E , E 中元素可以不止一次在其中出现的集合 元素 e 在

A ,称为多重集合。若 E 中

A 中出现 k ( k ≥ 0 )次,则称 e 在 A 中的重复度为 k 。

例 1.1 设全集 E

= {a, b, c, d , e} , A = {a, a, b, b, c} 为多重集合,其中 a , b 的重复度为 2 ,
2

c 的重复度为 1 ,而 d , e 的重复度为 0 。
其实,集合可看成是各元素重复度均小于等于 1 的多重集合。在图论部分,我们将会用到多重 集合的概念。

§1.2 集合的运算
给定两个集合

A , B ,除了他们的交,并运算外,我们还要介绍差和对称差两种运算。

定义 2.1 设 A , B 为两个集合,由属于

A 而不属于 B 的元素组成的集合称为 B 对 A 的相对 补集,记作 A ? B ,称“ ? ”为相对补运算符, A ? B 可表示为 A ? B = {x : x ∈ A且x ? B} ,
也可称为

A 减 B 的差。
A ? E ,称 E ? A 为 A 的补集,记作 A 。

注:设 E 为全集,

定义 2.2 设 A , B 为两个集合,由属于 合称为

A 而不属于 B 或属于 A 而不属于 B 的元素组成的集 A 与 B 的对称差,记作 A ⊕ B ,称“ ⊕ ”为对称差运算符, A ⊕ B 可描述为 A ⊕ B = {x : x ∈ A但x ? B, 或x ∈ B但x ? A}

注 1:容易看出
2:

A ⊕ B = ( A ? B) ∪ ( B ? A) = ( A ∪ B) ? ( A ∩ B)

A⊕? = A , A⊕ A = ? 。

我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交,并,差运算。

P 和 Q 的并,记为 P ∪ Q ,它也是一个多重集,使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数,等于该
元素在 P 和 Q 中重数的最大者; P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示,使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数,等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者; P 和 Q 的差用 P ? Q 来表示,使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数,那么该元素在 P ? Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数,否则它在 P ? Q 中的重数为 0 。类似地,对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。

3

还可以将交,并运算推广到集族上。

定义 2.3 设 A 为一个集族,称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集,记作 称 ∪ 为广义并运算符,

∪A ,

∪ A 可描述为

∪ A = {x : 存在A ∈ A, 使得x ∈ A} 。
例 2.1 设 A

= {{a, b},{c, d },{d , e, f }} ,则 ∪ A = {a, b, c, d , e, f } 。

当 A 是以 S 为指标集的集族时,

∪ A = ∪{ Aα : α ∈ S} = α∪ Aα 。
∈S

定义 2.4 设 A 为非空集族,称由 A 中全体集合的公共元素组成的集合为 A 的广义交集,记作

∩ A ,称 ∩ 为广义交运算符。 ∩ A 可描述为 ∩ A = {x : 对任意A ∈ A, 都有x ∈ A} 。
例 2.2 设 A

= {{1, 2,3},{1, a, b},{1, 6, 7}} ,则 ∩ A = {1} 。

当 A 是以 S 为指标集的集族时,

∩ A = ∩{ Aα : α ∈ S} = α∩ Aα 。
∈S

有限集元素的计数: (1) |

A ∪ B |=| A | + | B | ? | A ∩ B | ; (2) | A ⊕ B |=| A | + | B | ?2 | A ∩ B |

定理 2.1 设 A1 ,
n n

A2 ,



An 为 n 个有限集合,则

| ∪ Ai |= ∑ | Ai | ? ∑ | Ai1 ∩ Ai2 | +
i =1 i =1 i1 <i2

i1 < i2 < i3



| Ai1 ∩ Ai2 ∩ Ai3 | +
+ (?1) n | A1 ∩ A2 ∩ ∩ An | 。

+ (?1) k ?1

i1 <i2 < <ik



| Ai1 ∩ Ai2 ∩

∩ Aik | +

此定理称为包含排斥原理,简称容斥原理。 证明:采用数学归纳法易证。 例 2.3 求出在 1 和 250 之间,能被 2, 解:设

3, 5, 7 中任意一个数整除的整数的个数。

A1 , A2 , A3 , A4 分别是 1 和 250 之间能被 2, 3, 5, 7 整除的整数集合。因为

4

? 250 ? ? 250 ? ? 250 ? ? 250 ? | A1 |= ? = 125 , | A2 |= ? = 83 , | A3 |= ? = 50 , | A4 |= ? = 35 , ? ? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 7 ? ? ? 250 ? ? 250 ? ? 250 ? | A1 ∩ A2 |= ? = 41 , | A1 ∩ A3 |= ? = 25 , | A1 ∩ A4 |= ? = 17 , ? ? ? 2 × 3? ?2× 5? ?2× 7? ? ? 250 ? ? 250 ? ? 250 ? | A2 ∩ A3 |= ? = 16 , | A2 ∩ A4 |= ? = 11 , | A3 ∩ A4 |= ? =7, ? ? ?3× 5? ?3× 7 ? ?5× 7 ? ? ? 250 ? ? 250 ? | A1 ∩ A2 ∩ A3 |= ? = 8 , | A1 ∩ A2 ∩ A4 |= ? = 5, ? ? 2 × 3× 5? ? 2 × 3× 7 ? ? ? 250 ? ? 250 ? | A1 ∩ A3 ∩ A4 |= ? = 3 , | A2 ∩ A3 ∩ A4 |= ? = 2, ? ?2× 5× 7 ? ?3× 5× 7 ? ? ? 250 ? | A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 |= ? =1, ? 2 × 3× 5 × 7 ? ?
所以,我们有

| A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 |= (125 + 83 + 50 + 35) ? (41 + 25 + 17 + 16 + 11 + 7) + (8 + 5 + 3 + 2) ? 1
= 193
§1.3 基本的集合恒等式
交,并,补的综合运算规律。 设 E 为全集,
(1) 等幂律 (2) 交换律 (3) 结合律 (4) 分配律

A , B , C 为 E 的子集,则下面列出的运算规律成立。 A∪ A = A , A∩ A = A A∪ B = B ∪ A, A∩ B = B ∩ A

( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) , ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )
A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) , A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )
A∪ B = A∩ B , A∩ B = A∪ B

(5) 德·摩根律

A ? ( B ∪ C ) = ( A ? B) ∩ ( A ? C ) , A ? ( B ∩ C ) = ( A ? B) ∪ ( A ? C )
(6) 吸收律 (7) 零律 (8)

A ∪ ( A ∩ B) = A , A ∩ ( A ∪ B) = A

A∪ E = E , A∩? = ? 同一律 A ∪ ? = A , A ∩ E = A
A∪ A = E

(9) 排中律

5

(10) 矛盾律 (11) 全补律

A∩ A = ?

?=E, E =?
A= A A? B = A∩ B

(12) 双重否定律 (13) 补交转换律

特别要指出的是,有些运算规律,如结合律,分配律,德·摩根律,吸收律等可以推广到集族 的情况,设 { Aα }α ∈S 为集族, B 为一集合,则分配律的形式为

B ∪ ( ∩ Aα ) = ∩ ( B ∪ Aα ) , B ∩ ( ∪ Aα ) = ∪ ( B ∩ Aα ) 。
α ∈S α ∈S α ∈S α ∈S

结合律的形式为

( ∪ Aα ) ∪ ( ∪ Aα ) =
α ∈S1 α ∈S2

α ∈S1 ∪ S2





,其中 S1 和 S 2 是 S 的子集。

德·摩根律的形式为

α ∈S

∪ Aα = α∩ Aα , α∩ Aα = α∪ Aα
∈S ∈S ∈S

B ? ∪ Aα = ∩ ( B ? Aα ) , B ? ∩ Aα = ∪ ( B ? Aα )
α ∈S α ∈S α ∈S α ∈S

以上运算规律并不独立,可用其中的某些规律导出其他规律。这一点留待讲述布尔代数时再作 详细讨论。

作业
1.设 P , Q , R 是多重集,下列等式成立吗?

( P ⊕ Q) ⊕ R = P ⊕ (Q ⊕ R)
设 2.

A ,B ,C 为全集 E 的任意三个子集,已知: A ∩ B = A ∩ C , A ∩ B = A ∩ C ,证明; B = C .

3. 化简下列各式

(1) ( A ∩ B ) ∪ ( A ? B ) ; (2)

A ∪ ( B ? A) ? B ; A) 。

(3) (( A ∪ B ∪ C ) ∩ ( A ∪ B )) ? (( A ∪ ( B ? C )) ∩

A , B , C 为全集 E 的任意三个子集,证明 A ? C , B ? C 当且仅当 A ∪ B ? C ; (2) C ? A , C ? B 当且仅当 C ? A ∩ B 。
4.设

(1)

5.75 名儿童到游乐场去玩,他们可以骑旋转木马,坐滑行铁道,乘宇宙飞船。已知其中 20 人这三种东西

都玩过,其中 55 人至少乘坐过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是 5 元,游乐场总共收入 700 元,试确 定有多少儿童没有乘坐其中任何一种。

6

§1.4 集合列的极限
数列的极限定义可以通过适当的方式移植到集合列上来。

定义 4.1 称集族 { Ai }i∈ 为集合列,其中 定义。 我们首先回顾一下数列的极限定义。

Ai ∈ E 。子集合列 { Aik }k∈

的概念,参照子数列的概念可类似

定义 1 对实数列 {an } ,若存在实数 a ,使得对于 ?ε

> 0 ,存在正整数 Nε ,使得当 n > Nε 时,恒有
n →∞

| an ? a |< ε ,则称 {an } 存在极限 a (可证明极限唯一) ,记作 lim an = a 。

定义 2 (1) 若 {an } 是递增数列, 则称 {an } 的上确界为 {an } 的极限; (2) 若 {an } 是递减数列, 则称 {an } 的下确界为 {an } 的极限; (3)对于一般数列 {an } ,定义 bn

= sup{a j } j ≥ n , cn = inf{a j } j ≥ n ,则 {bn }

和 {cn } 分别为递减数列和递增数列。 {bn } 和 {cn } 的极限分别称为 {an } 的上极限,下极限(这是因为 ,记为 liman , lim an 。若 liman = lim an ,则称该值为 {an } 的极限,记作 lim bn ≥ lim cn )
n →∞ n →∞
n →∞ n →∞
n →∞ n →∞

lim an = liman = lim an 。
n →∞ n →∞ n →∞

大家知道,定义 1 和定义 2 是等价的,定义 2 的形式可以很方便地移植到集合列上来。

定义 4.2 设 { An } 为一集合列,若

A0 ? A1 ? A2 ?

? An ? An +1 ?

则称 { An } 为递减集合列;若

A0 ? A1 ? A2 ?

? An ? An +1 ?

则称 { An } 为递增集合列。递减和递增集合列统称为单调集合列。

定义 4.3 (1)若 { An } 为递减集合列,则定义 { An } 的极限为

∩A
n =0



n

; (2)若 { An } 为递增集合列,则定

7

义 { An } 的极限为

(3)对任一集合列 { An } ,定义 Bn = ∪ Ak ∪ An ;
n =0 k =n





,Cn

= ∩ Ak ,则 {Bn } ,{Cn }
k =n



分别为递减集合列,递增集合列。{Bn } ,{Cn } 的极限分别称为 { An } 的上极限(记作 lim (记作 lim

n →∞

An ) ,下极限

n →∞

An ) 。即
∞ ∞

lim An = ∩∪ Ak
n →∞ n =0 k = n



lim An = ∪∩ Ak 。
n →∞ n =0 k =n





若 lim An = lim An ,则称该集合为 { An } 的极限,记作 lim An = lim An = lim An ,此时称 { An } 是
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

收敛的。 注:从定义可立即看出: (1) x ∈ lim
n →∞

An ? x 属于 { An } 中无限个集合,即存在 { An } 的子集合列 { Aik } ,


使得 x ∈ Ai , ?k ∈
k

(2) x ∈ lim

n →∞

An ? x 属于 { An } 中几乎所有集合(即 x 仅可能不属于有限个 An ) ,也就是说,存在正

整数 N x ,使得当 n (3) lim

> N x 时,恒有 x ∈ An 。

n →∞

An ? lim An 。
n →∞

(4) { An } 是收敛的 ? 属于 { An } 中无限个集合的元素必属于 { An } 中几乎所有集合。

关于集合列的极限还有如下等价定义。

定义 4.4 设 { An } 是一集合列,E 为全集, 若对于任意 x ∈ E , 存在正整数 N x , 使得要么 (1) 当n 时,恒有 x ∈ An ;要么(2)当 n 有元素构成) 。 注:若集合列对应的特征函数列点点收敛,则集合列存在极限。

> Nx

> N x 时,恒有 x ? An ,则称 { An } 收敛于 A ( A 是由满足(1)的所

例 4.1 (1) 设 An

= [n, ∞) ,则 { An } 是递减集合列, lim An = ∩ [n, ∞) = ? ;
n →∞ n =0



(2)设

An = (?∞, n] ,则 { An } 是递增集合列, lim An = ∪ (?∞, n] = (?∞, ∞) ;
n →∞ n =0



8

(3)设 S1 , S 2 是两个集合,作集合列如下

?S1 , n is odd , An = ? ?S 2 , n is even
则 lim
n →∞

An = S1 ∪ S2 , lim An = S1 ∩ S2 。
n →∞

(4)如下定义集合列 { An }

1 ? ] A2 n ?1 = [0, 2 ? ? ? 2n ? 1 , n = 1, 2, ? ? A = [0, 1 + 1 ] 2n ? 2n ?
此处集合列的指标集为
+



。事实上,就研究集合列的极限性质来说,集合列中有限个集合的改变是没有

影响的。子集合列 { A2 n ?1} 和 { A2 n } 都是单调集合列。 lim 上,下极限的性质知(见注)

n →∞

A2 n ?1 = [0, 2) , lim A2 n = [0,1] 。所以由
n →∞

lim An = [0, 2) ∪ [0,1] = [0, 2) , lim An = [0, 2) ∩ [0,1] = [0,1] 。
n →∞ n →∞

注:事实上,设集合列 { An } 是两个集合列 {Bn } 和 {Cn } 的并,则

lim An = lim Bn ∪ lim Cn , lim An = lim Bn ∩ lim Cn 。
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

集合列的极限与数列的极限有许多平行的结论。

定理 4.1

{ An } 的极限存在 ? { An } 的任意子列有极限,且极限都相等。

以下是关于极限运算性质的两个定理

定理 4.2 设 { An } 为一集合列, B 为一集合,则 (1) B ? lim 特别地,取 B (1) (2) B ? lim An = lim( B ? An ) 。 An = lim( B ? An ) ;
n →∞ n →∞ n →∞

n →∞

= 全集 E ,可相应得到
n n n →∞ n

? (2) ? ? lim A ? = lim A ( lim A ) = lim A ; ? ?
n →∞ n n →∞ n →∞

证明:利用德·摩根律。

9

定理 4.3 设 { An } , {Bn } 为两个集合列,则 (1) lim (2) lim

n →∞

An ∪ lim Bn ? lim( An ∪ Bn ) ? lim An ∪ lim Bn ? lim( An ∪ Bn ) = lim An ∪ lim Bn
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

n →∞

An ∩ lim Bn = lim( An ∩ Bn ) ? lim An ∩ lim Bn ? lim( An ∩ Bn ) ? lim An ∩ lim Bn
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

(3) lim( An
n →∞

? Bn ) ? lim An ? lim Bn , lim( An ? Bn ) = lim An ? lim Bn
n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞

特别地,当 { An } , {Bn } 都收敛时,则相应地有 (1) { An (2) { An (3) { An

∪ Bn } 收敛,且 lim An ∪ Bn = lim An ∪ lim Bn ;
n →∞ n →∞ n →∞

∩ Bn } 收敛,且 lim An ∩ Bn = lim An ∩ lim Bn ;
n →∞ n →∞ n →∞

? Bn } 收敛,且 lim( An ? Bn ) = lim An ? lim Bn 。
n →∞ n →∞ n →∞

作业
1. 设 { An } 为一集合列,其中 2. 证明定理 4.3 的(1) 。

1 An = [0,1 + ] , n = 1, 2, n

,

求 lim

n →∞

An 和 lim An ,{ An } 收敛吗?
n →∞

§1.5 集合的特征函数
定义 5.1 设 E 是全集,

A ? E ,函数 χ A : E → {0,1} 定义为

χ A ( x) = ?
称 χ A 为集合

?1, x ∈ A 。 0, x A ? ?

A 的特征函数。

下面给出特征函数的一些性质 定理 5.1 设 A 和 B 是全集 E 的子集,对于 ?x ∈ E ,下列各式成立 (1) χ A ( x ) (2) χ A ( x)

≡ 0 当且仅当 A = ? ; ≡ 1 当且仅当 A = E ;

(3) χ A ( x) ≤ (4) χ A ( x)

χ B ( x) 当且仅当 A ? B ;

= χ B ( x) 当且仅当 A = B ; = χ A ( x) ? χ B ( x) ;

(5) χ A∩ B ( x )

10

(6) χ A ( x )

= 1 ? χ A ( x) ; = χ A ( x) + χ B ( x) ? χ A ( x) ? χ B ( x) ;
= χ A∩ B ( x ) = χ A ( x ) ? χ A ( x ) ? χ B ( x ) ;

(7) χ AUB ( x ) (8) χ A? B ( x ) (9) χ A⊕ B ( x )

=| χ A ( x) ? χ B ( x) | 。
定义为: χ P ( x ) 是 x 在 P 中的重复度。

定义 5.2 多重集合 P 的特征函数 χ P : E



定理 5.2 设 P 和 Q 是全集 E 的多重集合,则下列各式成立 (1) χ P ∩Q ( x ) (2) χ P ∪Q ( x ) (3) χ P ?Q ( x ) (4) χ P ⊕Q ( x )

= min{χ P ( x), χQ ( x)} ; = max{χ P ( x), χQ ( x)} ; = max{χ P ( x) ? χ Q ( x), 0} ; =| χ P ( x) ? χQ ( x) | 。

作业
1.利用特征函数证明容斥原理。

11


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