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四川高中数学竞赛试题及答案


全国高中数学联合竞赛(四川初赛) 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1、 函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足: f ? x ? 3? ? ? 【 】 1 , 若 f( 则 f (2 0 ) ? 2 , 0 1 3 ) f ? x? ? 1 1 B、 C 、2 D、2013 2 2 2、设等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足: 0 ? a1 ? b1 ? a5 ? b5 ,则下述四个结论: A、 ? ① a3 ? b3 ; ② a3 ? b3 ; ③ a6 ? b6 ; ④ a6 ? b6 中正确的个数是 【 】 A、0 个 B、1 个 C、2 个 D 、3 个 3、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , PA ? ? , PB ? ? , A 、 B 为垂足, PA = 5 , PB = 4 ,设 A 、 B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹为下 列图形中的 【 】 A、 B、 C、 D、 4、从 [0,10] 上任取一个数 x ,从 [0,6] 上任取一个数 y ,则使得 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 的概 率是 【 】 1 1 3 1 A、 B、 C、 D、 5 3 2 4 5、当平面上的点 ( x, y ) 的坐标 x 、 y 都为有理数时,该点称为有理点,设 r 是给定的正 实数,则圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 上的有理点 【 】 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个 ? ? 6、△ABC 中, ?C ? 90 , ?B ? 30 , AC = 2 ,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 翻折, 使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,则三棱锥 A ? BCM 的体积等于 A、 【 】 2 3 B、 2 3 C、 6 3 D、 2 2 3 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 3? x ) ? m, ,记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? ? ? f (1024 1? x 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? n ,则 m ? n ? . 2 4 8 1024 2 3 4 2013 8、已知 i 是虚数单位, z ? 1 ? i ? i ? i ? i ? ? ? i ,把复数 z 的共轭复数记为 z ,则 z?z= . y2 2 ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 9、实数 x , y 满足 x ? . 16 4 2 10、关于曲线 C: x ? y ? 1的下列命题: 7、已知函数 f ( x) ? ① 曲线 C 关于原点对称; ② 曲线 C 关于直线 y = x 对称; ③ 曲线 C 所围成的面积小于 ? ; ④ 曲线 C 所围成的面积大于 ? , 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号) 1 1 11、设 n 是小于 100 的正整数,且满足 (n2 ? 1) ? n 为整数,则符合条件的所有正整数 n 的 3 5 和为 12、已知函数 f ( x) ? . a ? x ,对任意 x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 恒成立,则实数 a 的取 x π 2 值范围是 . 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 2 13 、设实

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