tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 政史地 >>

必修4第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)


必修 4 第 2 章(第 4 课时)平面向量的线性运算(3)

王新敞



题:

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

教学目的: 1.掌握实数与向量积的定义,理解实数与向量积的几何意义; 2.掌握实数与向量的积的运算律; 3.理解两个向量共线的充要条件,能够运用共线条件判定两向量是否平行. 教学重点:掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件 教学难点:对向量共线的充要条件的理解 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

一、复习引入: 差向量的意义: OA = a ,

??? ?

?

??? ? ? ??? ? ? ? OB = b , 则 BA = a ? b
?
?
王新敞
奎屯 新疆

即 a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量 二、讲解新课: 1.示例:已知非零向量 a ,作出 a + a + a 和(? a )+(? a )+(? a )

?

?

?

? ? ?

?

?

?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? OC = OA ? AB ? BC = a + a + a =3 a

??? ? ??? ? ???? ? ???? ? ? ? ? ? PN = PQ ? QM ? MN =(? a )+(? a )+(? a )=?3 a ? ? ? ? ? ? ? ? (1)3 a 与 a 方向相同且|3 a |=3| a |; (2)?3 a 与 a 方向相反且|?3 a |=3| a | ? ? 2.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ? ? (1)|λ a |=|λ || a |
(2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 3.运算定律 结合律:λ (μ a )=(λ μ) a

?

?

?

?

?

?

?

① ② ③

? ? ? 第一分配律:(λ +μ) a =λ a +μ a ? ? ? ? 第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b
结合律证明:如果λ =0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则①式成立 如果λ ?0,μ?0, a ? 0 有:|λ (μ a )|=|λ ||μ a |=|λ ||μ|| a | |(λ μ) a |=|λ μ|| a |=|λ ||μ|| a | ∴|λ (μ a )|=|(λ μ) a | 如果λ 、μ 同号,则①式两端向量的方向都与 a 同向; 如果λ 、μ 异号,则①式两端向量的方向都与 a 反向

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

奎屯市第一高级中学

第 1 页(共 4 页)

必修 4 第 2 章(第 4 课时)平面向量的线性运算(3)

王新敞

从而λ (μ a )=(λ μ) a

?

? ?

第一分配律证明:如果λ =0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则②式显然成立 如果λ ?0,μ?0, a ? 0 当λ 、μ 同号时,则λ a 和 μ a 同向, ∴|(λ +μ) a |=|λ +μ|| a |=(|λ |+|μ|)| a | |λ a +μ a |=|λ a |+|μ a |=|λ || a |+|μ|| a |=(|λ |+|μ|)| a | ∵λ 、μ 同号 ∴②两边向量方向都与 a 同向 即 |(λ +μ) a |=|λ a +μ a |

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

当λ 、μ 异号,当λ >μ 时 ②两边向量的方向都与λ a 同向;当λ <μ 时 ②两边向量的 方向都与 μ a 同向,且|(λ +μ) a |=|λ a +μ a | ∴②式成立 第二分配律证明: 如果 a = 0 ,b = 0 中至少有一个成立, 或λ =0, λ =1 则③式显然成立. 当 a ? 0 , b ? 0 且λ ?0,λ ?1 时 (1)当λ >0 且λ ?1 时在平面内任取一点 O, 作 OA ? a

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

??? ?

? ? ?

??? ? ? AB ? b

??? ? ? OA1 ? λ a

? ???? ? A1B1 ? λ b

则 OB ? a + b

??? ?

? ???? ? OB1 ? λ a +λ b

由作法知 , AB ∥ A1B1 有?OAB=?OA1B1

??? ?

???? ?

| AB |=λ | A1B1 |

??? ?

???? ?

???? ???? ? | OA1 | | A1B1 | ? ? ??? ? ?λ ∴ ??? ∴△OAB∽△OA1B1 | OA | | AB | ???? | OB1 | ? ? λ ?AOB=? A1OB1 ∴ ??? | OB |
因此,O,B,B1 在同一直线上,| OB1 |=|λ OB | ∴λ ( a + b )=λ a +λ b

????

??? ?

??? ? ???? OB1 与λ OB 方向也相同

? ?

?

?
?

当λ <0 时 可类似证明:λ ( a + b )=λ a +λ b ∴ ③式成立 4.向量共线的充要条件

?

?

?

若有向量 a ( a ? 0 )、 b ,实数λ ,使 b =λ a ,则 a 与 b 为共线向量
奎屯市第一高级中学

? ?

?

?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

第 2 页(共 4 页)

必修 4 第 2 章(第 4 课时)平面向量的线性运算(3)

王新敞

若 a 与 b 共 线 ( a ? 0 ) 且 | b | : | a |=μ , 则 当 a 与 b 同 向 时 b =μ a ; 当 a 与 b 反向时 b =?μ a 从而得
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个实数λ ,使 b =λ a 三、讲解范例: 例 1 若 3 m +2 n = a , m -3 n = b ,其中 a , b 是已知向量,求 m , n . 分析:此题可把已知条件看作向量 m 、 n 的方程,通过方程组的求解获得 m 、 n . 解:记 3 m +2 n = a ①

?

?

?

?
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? m -3 n = b ②

3×②得3 m -9 n =3 b ③

?

?

?

1 ? 3 ? a- b ④ 11 11 ? ? 3 ? 2 ? ? a+ b 将④代入②有: m = b +3 n = 11 11 ??? ? 1 ??? ? ???? 例 2 凸四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点分别为 E、F,求证 EF = ( AB + DC ). 2
①-③得 11 n = a -3 b .

?

?

?

∴n =

?

解法一:构造三角形,使 EF 作为三角形中位线,借助于三角 形中位线定理解决.过点 C 在平面内作 CG = AB ,则四边形

??? ?

??? ?

ABGC 是平行四边形,故 F 为 AG 中点.

??? ? 1 ???? 1 DG , ∴ EF = DG . 2 2 ???? ???? ??? ? ???? ??? ? 而 DG = DC + CG = DC + AB ,
∴EF 是△ADG 的中位线,∴EF = ∴ EF =

??? ?

? ???? 1 ??? ( AB + DC ). 2

解法二:创造相同起点,以建立向量间关系 如图,连 EB,EC,则有 EB = EA + AB ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ???? EC = ED + DC ,
又∵E 是 AD 之中点,∴有 EA + ED = 0 . 即有 EB + EC = AB + DC ; 以 EB 与 EC 为邻边作平行四边形 EBGC,则由 F 是 BC 之中点,可得 F 也是 EG 之中点. ∴ EF =

??? ?

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? ? ? ??? ? ???? 1 ??? 1 ??? EG = ( EB + EC )= ( AB + DC ) 2 2 2

奎屯市第一高级中学

第 3 页(共 4 页)

必修 4 第 2 章(第 4 课时)平面向量的线性运算(3)

王新敞

例 3 如图,已知任意两个非零向量 a,b,试作 OA ? a + b,OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b 你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么? 解:∵ AB ? OB ? OA ? a ? 2b ? ? a ? b ? ? b

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? AC ? OC ? OA ? a ? 3b ? ? a ? b ? ? 2b
∴ AC ? 2 AB 所以,A、B、C 三点共线. 四、课堂练习: 五、小结:通过本节学习,要求大家掌握实数与向量的积的定义,掌握实数与向量的积的运 算律,理解两个向量共线的充要条件,并能在解题中加以运用. 六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:

??? ?

??? ?

奎屯市第一高级中学

第 4 页(共 4 页)


推荐相关:

必修4第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3).doc

必修4第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3) - 必修 4 第 2 章(第 4 课时)平面向量的线性运算(3) 王新敞 课 题: 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 ...

...必修四 第2章(第4课时)《平面向量的线性运算》(3)教....doc

2014人教A版高中数学必修四 第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)教案 - 课 题: 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 教学目的: 1.掌握实数与向量积的...

...必修四 第2章(第4课时)《平面向量的线性运算》(3)教....doc

数学知识点人教A版高中数学必修四 第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)教案-总结 - 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 课 题:...

必修4第2章(第3课时)平面向量的线性运算(2).doc

必修4第2章(第3课时)平面向量的线性运算(2) - 课 题: 2.2.2 向量

...数学教案:第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)(人....doc

2012年高二数学教案:第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)(人教A版必修4) - 课 题: 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 教学目的: 1.掌握实数与向量积的...

高二数学 第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)教案 新....doc

高二数学 第2章(第4课时)平面向量的线性运算(3)教案 新人教A版必修4 -

必修4第2章(第2课时)平面向量的线性运算(1).doc

必修4第2章(第2课时)平面向量的线性运算(1) - 课 题: 2.2.1 向量

...A版必修4-第二章-2.2-平面向量的线性运算-第3课时-....pdf

高中数学人教A版必修4-第二章-2.2-平面向量的线性运算-第3课时-学案 - 0 3 9 3 向量数乘运算 及其几何意义 根据教材例 6, 你能总结出证明点共线的...

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算(第3课时....doc

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算(第3课时)自我小测新人教A版必修4-含答案 - 2.2 平面向量的线性运算 3 自我小测 1.下列计算正确的有( ①(-...

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算(第3课时....doc

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算(第3课时)自我小测新人教A版必修4 - 2.2 平面向量的线性运算 3 自我小测 1.下列计算正确的有( ①(-7)×6a...

...A版必修4-第二章-2.2-平面向量的线性运算-第2课时-....pdf

高中数学人教A版必修4-第二章-2.2-平面向量的线性运算-第2课时-学案 -

高中数学第二章平面向量2_2平面向量的线性运算第3课时....doc

高中数学第二章平面向量2_2平面向量的线性运算第3课时自我小测新人教A版必修4 - 2.2 平面向量的线性运算 3 自我小测 1.下列计算正确的有( ①(-7)×6a=-...

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算第3课时自....doc

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算第3课时自我小测新人教A版必修4 - 高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算第3课时自我小测新人教A版必修4,高中...

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算第3课时课....doc

高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算第3课时课堂探究学案新人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算第3课时课堂...

高二数学 第2章(第2课时)平面向量的线性运算(1)教案 新....doc

高二数学 第2章(第2课时)平面向量的线性运算(1)教案 新人教A版必修4 -

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算(第1课时....doc

高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算(第1课时)自我小测新人教A版必修4-含答案 - 2.2 平面向量的线性运算 1 自我小测 1.已知 a,b,c 是非零...

...平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第3课时)课堂探究....doc

高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第3课时)课堂探究学案 新人教A版必修4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.2 平面向量的线性运算(第 3 ...

...平面向量 第二节 平面向量的线性运算(第三课时)示范....doc

高中数学 第二章 平面向量 第二节 平面向量的线性运算(第三课时)示范教案 新人教A版必修4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二章第二节 平面向量的线性运算...

...第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第1课时)....doc

高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第1课时)预习导航学案 新人教A版必修4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2.2 平面向量的线性运算(第 1 ...

高二数学 第2章(第3课时)平面向量的线性运算(2)教案 新....doc

高二数学 第2章(第3课时)平面向量的线性运算(2)教案 新人教A版必修4 -

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com