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海南省文昌中学2014-2015学年高一数学下学期期中段考试题 理


2014—2015 学年度第二学期高一年级数学(理科)段考试题
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) 1. 某校有行政人员、 教学人员和教辅人员共 200 人, 其中教学人员与教辅人员人数的比为 10∶ 1,行政人员有 24 人,现采取分层抽样的方法抽取容量为 50 的样本,那么教学人员应抽取的 人数为( ) A.30 B.40 C.20 D.36 2.-885°化成 2kπ+α(0≤α≤2π,k∈Z)的形式是( ) 11 A.-4π-12π 13 B.-6π+12π 13π C.-4π+ 12 11 D.-6π+12π

3.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺,要从编号依次为 1 到 50 的袋装奶粉中 抽取 5 袋进行检验,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 袋奶粉的 编号可能是( ) A.5,10,15,20,25 B.2,4,8,16,32 C.1,2,3,4,5 D.7,17,27,37,47 4.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为( ) A. 6 5 6 B.5 C. 2 D.2

5.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数 分别是( ) A.91.5 和 91.5 B.91.5 和 92 C.91 和 91.5 D.92 和 92 6.200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图 所示,则时速超过 60km/h 的汽车数量为 ( ) A.65 辆 B.76 辆 C.88 辆 D.95 辆 ^ 7.对于下列表格所示的五个散点,已知求得 的线性回归直线方程为 y=0.8x-155.则实数 m 的值为( ) x 196 197 A.8 B.8.2 y 1 3 C.8.4 D.8.5 8.如框图,当 x1=6,x2=9,p=8.5 时,x3 等于( A.7 B.8 C.10 D.11 200 6 ) 203 7 204 m

-1-

9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1C 与对角面 DD1B1B 所成角的 大小是( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 10.在一球内有一边长为 1 的内接正方体,一动点在球内运动,则此点落在正方体内部的概 率为( ) 6 A. π 3 B. 2π 3 C. π 2 3 D. 3π

2π 11.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 顺时针方向运动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为 ( ) B.?- 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2?

? ?

3 1? ? 2 ,-2?

3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2

D.?- )

? ?

3 1? ? 2 ,2?

12.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是(

A.2

B.3

C.4

D.5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.如果下边程序执行后输出的结果是 132,那么程序中 UNTIL 后面的“条件”应为 . 14.一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别 为 1,2,3,4.先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球 放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 n, 则 n<m+2 的概率为__________. 15.设函数 f(x)=x2 ,x∈[-1,1],可以用随机模拟方法近似计算由 曲线 y=f(x)及直线 x=-1、 x=1、 y=0 所围成的封闭图形的面积 S 。 先产生两组(每组 n 个)各自区间内的均匀随机数 此得到 n 个点

x1 、 x2 、…、 xn 和 y1 、 y2 、…、 yn ,由

( xi , yi )(i ? 1,2, …,n) ,再数出其中满足 yi ? f ( xi )(i ? 1, 2,…,n) 的点数 m, 那么
. .

由随机模拟方法可得 S 的近似值为

nπ 16.已知函数 f(x)=sin 3 (n∈N*),则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014) =

-2-

三、解答题(本大题 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) (1) 已知 ? 是第三象限角, 的值 ; 4sinθ-2cosθ (2)已知 sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z. 求: . 5cosθ+3sinθ

f (? ) ?

sin(? ? ? ) cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) 17? f( ) tan(?? )sin(?? ? ? ) 3 , 化简并求

18. (本小题满分 12 分) 某电视台为宣传海南, 随机对海南 15~65 岁的人群抽取了 n 人, 回答问题“东环铁路沿线有哪 几个城市?”统计结果如图表所示:

(1)分别求出 a,b,x,y 的值; (2)从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,求第 2,3,4 组每组各抽取多少 人? (3)在(2)抽取的 6 人中随机抽取 2 人,求所抽取的人中恰好没有第 3 组人的概率.

19. (本小题满分 12 分) 某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:

x y

6 2

8 3

10 5

12 6

(1)请在图中画出上表数据的散点图; ^x+^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程^ y =b a; ; (3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测记忆力为 9 的同学的判断力 .
-3-

n ? ? ∑ xiyi-n x · y ^ i=1 ^ ^ ?相关公式:b = n ,a= y -b x .? ? ? ∑ 1x2 i -n x 2 i= ? ?

20. (本小题满分 12 分) 设点(p,q) ,在|p|≤3,|q|≤3 中按均匀分布出现. (1)点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定,第一次确定横坐标,第二次确定纵坐 标,则点 M(x,y)落在上述区域的概率? (2)试求方程 x2+2px-q2+4=0 有两个实数根的概率.

21. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F 分别为 A1C1、BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积. 22. (本小题满分 12 分) 为调查我校学生的用电情况,学校后勤部门组织抽取了 100 间学生宿 舍某月用电量调查,发现每间宿舍用电量都在 50 度到 350 度之间, 其频率分布直方图如下图所示。 (1)为降低能源损耗,节约用电,学校规 定:每间宿舍每月用电量不超过 200 度时, 按每度 0.5 元收取费用;超过 200 度,超过 部分按每度 1 元收取费用。以 t 表示某宿舍 的用电量(单位:度) ,以 y 表示该宿舍的 用电费用(单位:元) ,求 y 与 t 的函数关 系式? (2)求图中月用电量在 (200,250]度的宿舍 有多少间? (3)在直方图中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,宿舍用电量落入该区间的频率作 为宿舍用电量取该区间中点值的频率(例如:若 t∈[150,200) ,则取 t=175,且 t=175 发生的 频率等于落入[150,200)的频率),试估计我校学生宿舍的月均用电费用。

-4-

2014—2015 学年度第二学期 高一年级数学(理科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 D 5 A 6 B 7 A 8 B 9 B 10 D 11 C 12 B

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

2m
13 13.i<11(或 i≤10) 14.16 15. n 17.(1) f (? )= cos ? 3 16. 2

三、解答题(17 题 10 分,18-22 题各 12 分,共 70 分) …………………………………………………3 分

17? 17? ? 1 f( ) 3 =cos 3 = cos 3 = 2
(2)由已知得 cos(θ+kπ)≠0, ∴tan(θ+kπ)=-2,k∈Z,即 tanθ=-2. 4sinθ-2cosθ 4tanθ-2 = =10. 5cosθ+3sinθ 5+3tanθ

…………………………………5 分 …………………………7 分 ……………………………10 分

9 18.解: (1)由频率表中第 4 组数据可知,第 4 组总人数为0.36=25, 25 结合频率分布直方图可知 n=0.025×10=100, ∴a=100×0.01×10×0.5=5, b=100×0.03×10×0.9=27, 第二组人数为 0.020×100×10=20,第 5 组人数为:0.015×10×100=15 18 3 ∴ x=20=0.9,y=15=0.2. …………………………4 分

(2)第 2,3,4 组回答正确的共有 54 人. ∴利用分层抽样在 54 人中抽取 6 人,每组分别抽取的人数为: 6 6 6 第 2 组:54×18=2(人),第 3 组:54×27=3(人),第 4 组:54×9=1(人). ………………………………………………………………………………8 分 (3)设所抽取的人中第 2 组的 2 人为 A1,A2;第 3 组的 3 人为 B1,B2,B3;第 4 组的 1 人 为 C1. 则从 6 人中抽 2 人所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1, C1), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(B1,B2), (B1,B3),(B1,C1),(B2,B3),(B2,C1),(B3,C1),共 15 个基本事件,其中恰好没有第 3 3 组 人 共 3 个 基 本 事 件 , ∴ 所 抽 取 的 人 中 恰 好 没 有 第 3 组 人 的 概 率 为 15 =

-5-

1 5.

……………………………………………………………………12 分 …………3 分

19.解: (1)如图所示.

n (2)i= ∑ 1xiyi=6×2+8×3+10×5+12×6=158, 6+8+10+12 2+3+5+6 x= =9, y = =4,…5 分 4 4 n ∑ 1x2 i =62+82+102+122=344, i= ^ 158-4×9×4 14 ^ ^ b= = =0.7,a= y -b x =4-0.7×9=-2.3, 344-4×92 20 ^ 故线性回归方程为y=0.7x-2.3. …………………………9 分

^ (3)由回归直线方程,当 x=9 时,y=6.3-2.3=4, 所以预测记忆力为 9 的同学的判断力约为 4. …………………………12 分 20.解: (1)根据题意:点(p,q)构成的区域为以原点 y 为中心边长为 6 的正方形,如图所示。点 M(x,y)横、纵坐标分别由掷骰子确定, 即 x、y 都是整数的点有 6×6=36 个,…2 分 而落在上述区域的为(1,1) , (1,2) , (1,3) , -3 (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3)共 9 个点, ………………4 分 所 以 点 M ( x , y ) 落 在 上 述 区 域 的 概 率

3

3 x -3

9 1 = P1= 6 ? 6 4

……………………6 分

(2)|p|≤3,|q|≤3 表示如图的正方形区域,易得其面积为 36; 若方程 x2+2px—q2+4=0 有两个实数根, 则有△=(2p)2 —4(—q2+4)≥0, (没等号扣 1 分) 可得 p2+q2≥4,为如图所示正方形中以原点为圆心,以 2 为半径的圆以外的区域,其面积为 36—4π, ……………………………………………10 分

36 ? 4? 9 ? ? ∴方程 x2+2px—q2+4=0 有两个实数根的概率为 P2= 36 = 9 ……12 分
21. (1)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以 AB⊥平面 B1BCC1, 又 AB?面 ABE,所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. …4 分 (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG=2AC.

-6-

因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1,所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 所以四边形 FGEC1 为平行四边形.所以 C1F∥EG. ……………………7 分 又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. ……………………………………………………9 分 法二:取 AC 中点 M,证面 FMC1∥面 ABE(略) (3)解:因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= AC2-BC2= 3. 又 AA1 为 E-ABC 的高 1 1 1 3 所以三棱锥 E-ABC 的体积 V=3S△ABC· AA1=3×2× 3×1×2= 3 .……12 分 22.解: (1)当 0≤t≤200 时, y = 0.5x 当 t>200 时, y = 200×0.5 + (t —200)×1 = t —100
? 0 . 5 t? t ? y ? ?y y =— t 1> 00 t 0 2 00 2 00

综上:

………………………… 3 分

(2)x = 1—(0.0060+0.0036+0.0024+0.0024+0.0012)×50 = 1—0.0156×50 = 0.22 0.22×100 = 22 即图中月用电量在(200,250]度的宿舍有 22 间 …………………………6 分 (3)各组区间中点值分别为:75、125、175、225、275、325, 即各宿舍用电量有以上 6 种情形 ………………………… 7 分 各组区间中点值发生的频率分别为:0.12、0.18、0.3、0.22、0.12、0.06 频数分别为 12、18、30、22、12、6 ………………………… 9 分 故 100 间宿舍月均用电费用为:

1 y = 100 [75×0.5×12+125×0.5×18+175×0.5×30+(225-100)×22
+(275-100)×12+(325-100)×6]=104(元) ……… 11 分 ∴可估计我校学生宿舍的月均用电费用为 104 元。 ……………………12 分

-7-


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