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2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理(含解析)


2016 年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题 27 二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题 理(含解析)新人教 A 版
【高频考点解读】 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组; 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 【热点题型】 题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

x-y≥0, ? ?2x+y≤2, 【例 1】 (1)若不等式组? 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是 y≥0, ? ?x+y≤a
( )

?4 ? A.? ,+∞? ?3 ? ? 4? C.?1, ? ? 3?

B.(0,1]

?4 ? D.(0,1]∪? ,+∞? ?3 ?

x≥0, ? ? 4 (2)若不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3 ? ?3x+y≤4
则 k 的值是( A. C. 7 3 B. 3 7 4 3 D. 3 4 )

【答案】 (1)D (2)A 【解析】

-1-

【提分秘籍】 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点定域,注意不等式中 不等号有无等号,无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可以选一个,也 可以选多个,若直线不过原点,则测试点常选取原点. 【举一反三】

x+y-3≤0, ? ? (1)若函数 y=2 图象上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0,则实数 m 的最大值为 ? ?x≥m,
x

(

)

-2-

A. C.

1 B.1 2 3 D.2 2

x+y-1≥0, ? ? (2)在平面直角坐标系中, 若不等式组?x-1≤0, (a 为常数)所表示的平面区域的面积 ? ?ax-y+1≥0
等于 2,则 a 的值为( A.-5 B.1 C.2 D.3 【答案】 (1)B (2)D 【解析】 )

-3-

题型二

简单线性目标函数的最值问题

x+y-7≤0, ? ? 【例 2】 (1)设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值为( ? ?3x-y-5≥0,
A.10 B.8 C.3 D.2

)

x+y-2≥0, ? ? (2)若 x,y 满足?kx-y+2≥0,且 z=y-x 的最小值为-4,则 k 的值为( ? ?y≥0,
1 A.2 B.-2 C. 2 1 D.- 2

)

【答案】 (1)B (2)D 【解析】

-4-

【提分秘籍】 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得,也可能在边界处取得.(2) 已知目标函数的最值或其他限制条件,求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的 问题.解决这类问题时,首先要注意对参数取值的讨论,将各种情况下的可行域画出来,以 确定是否符合题意,然后在符合题意的可行域里,寻求最优解,从而确定参数的值. 【举一反三】

x+y-2≤0, ? ? (1)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数 ? ?2x-y+2≥0. a 的值为(
1 A. 或-1 2 ) 1 B.2 或 2 C.2 或 1 D.2 或-1

x-y+1≤0, ? ? (2)若变量 x,y 满足约束条件?x+2y-8≤0,则 z=3x+y 的最小值为________. ? ?x≥0,
【答案】 (1)D (2)1 【解析】

-5-

当目标函数 z=3x+y 经过点 A(0,1)时,z=3x+y 取得最小值 zmin=3×0+1=1. 题型三 实际生活中的线性规划问题

【例 3】 某旅行社租用 A,B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行,A,B 两种车辆的载 客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元?辆,旅行社要求租车总数不 超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( )

A.31 200 元 B.36 000 元 C.36 800 元 D.38 400 元 【答案】 C 【解析】

【提分秘籍】 线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成 表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题,再按求最 优解的步骤解决. 【举一反三】 某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩,投入资金不超过 54 万元,假设种

-6-

植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 年产量/亩 黄瓜 韭菜 4吨 6吨 年种植成本/亩 1.2 万元 0.9 万元 每吨售价 0.55 万元 0.3 万元

为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种 植面积(单位:亩)分别为( A.50,0 B.30,20 【答案】 B 【解析】 ) C.20,30 D.0,50

【高考风向标】

?x ? y ≤ 0 , ? 1.【2015 高考北京,理 2】若 x , y 满足 ? x ? y ≤ 1 , 则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ≥ 0 , ?
A.0 【答案】D B.1 C.
3 2



D.2

-7-

【解析】如图,先画出可行域,由于 z ? x ? 2y ,则 y ? ?

1 1 x ? z ,令 Z ? 0 , 2 2

作直线 y ? ? 最小值 2.

1 x ,在可行域中作平行线,得最优解(0,1),此时直线的截距最大, Z 取得 2

?4 x ? 5 y ? 8 ? 2. 【2015 高考广东,理 6】若变量 x , y 满足约束条件 ?1 ? x ? 3 则 z ? 3x ? 2 y 的最 ?0 ? y ? 2 ?
小值为( A. ) B. 6 C.

31 5

23 5

D. 4

【答案】C

-8-

?x ? 2 ? 0 ? 3. 【 2015 高考天津,理 2 】设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则目标函数 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?
z ? x ? 6 y 的最大值为(
(A)3 【答案】C 【解析】 ) (C)18 (D)40

(B)4

4.【2015 高考陕西,理 10】某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料.已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别 为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( )

-9-

A.12 万元 万元 甲 乙

B.16 万元

C.17 万元

D.18

原料限额

? (吨)

3
1

2 2

12

? (吨)

8

【答案】D 【解析】

? x ? 2 y ? 0, ? 5.【2015 高考福建,理 5】若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最小 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
值等于 ( A. ? )

5 2

B. ?2

C. ?

3 2

D.2

【答案】A

- 10 -

y A B O x

【解析】

?x ? y ? 0 ? 6.【2015 高考山东,理 6】已知 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 z ? ax ?y 的最大值为 4, ?y ? 0 ?
则a ? ( (A)3 【答案】B ) (B)2 (C)-2 (D)-3

?x ? y ? 0 ? 【解析】不等式组 ? x ? y ? 2 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所 ?y ? 0 ?
示,

- 11 -

若 z ? ax ? y 的最大值为 4 ,则最优解可能为 x ? 1, y ? 1 或 x ? 2, y ? 0 ,经检验,

x ? 2, y ? 0 是最优解,此时 a ? 2 ; x ? 1, y ? 1 不是最优解.故选 B.

?x ?1 ? 0 y ? 7.【2015 高考新课标 1,理 15】若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 的最大值 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?
为 【答案】3 【解析】 .

8.【2015 高考浙江,理 14】若实数 x, y 满足 x ? y ? 1 ,则 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y 的最小
2 2

值是



【答案】 3 . 【解析】 x ? y ? 1 表示圆 x ? y ? 1 及其内部,易得直线 6 ? x ? 3 y 与圆相离,故
2 2 2 2

| 6 ? x ? 3 y |? 6 ? x ? 3 y ,当 2 x ? y ? 2 ? 0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y =x ? 2 y ? 4,如下
- 12 -

图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数 z ? x ? 2 y ? 4 ,则可知当

x?

3 4 y? 5, 5 时,

z mi n ? 3 ,当 2 x ? y ? 2 ? 0 时, 2x ? y ? 2 ? 6 ? x ? 3 y =8 ? 3x ? 4 y ,可行域为大的弓形内
部 , 目 标 函 数 z ? 8 ? 3x ? 4 y , 同 理 可 知 当

x?

3 4 y? 5, 5 时 , zm i n ? 3 , 综 上 所 述 ,

| 2x ? y ? 2 | ? | 6 ? x ? 3 y | .

? x ? y ? 1 ? 0, ? 9. 【2015 高考新课标 2,理 14】若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0, ,则 z ? x ? y 的 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
最大值为____________. 【答案】 【解析】

3 2

【考点定位】线性规划.

- 13 -

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

y

B D
1 2 3 4

O
–1 –2 –3 –4

x

C

? x ? y ? ?1 ? 10.【2015 高考湖南,理 4】若变量 x , y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3x ? y 的最 ? y ?1 ?
小值为( A.-7 【答案】A. 【解析】 ) B.-1 C.1 D.2

【高考押题】

y≤-x+2, ? ? 1.不等式组?y≤x-1, 所表示的平面区域的面积为 ? ?y≥0

(

)

- 14 -

A.1 【答案】 D

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 4

【解析】 作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知 xB=1,xC=2.由? 1 2 1 2 1 1 2 4

?y=-x+2, ? ?y=x-1, ?



yD= ,所以 S△BCD= ×(xC-xB)× = .

y≤x, ? ? 2.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n, ? ?y≥-1,
则 m-n= A.5 【答案】 B 【解析】 ( ) B.6 C.7 D.8

3.若点(x,y)位于曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值为 ( )

- 15 -

A.-6 C.0 【答案】 A

B.-2 D.2

【解析】 如图,曲线 y=|x|与 y=2 所围成的封闭区域如图中阴影部分,令 z=2x-y, 则 y=2x-z,作直线 y=2x,在封闭区域内平行移动直线 y=2x,当经过点(-2,2)时,z 取 得最小值,此时 z=2×(-2)-2=-6.

y≤1, ? ? 4.在平面直角坐标系 xOy 中,P 为不等式组?x+y-2≥0,所表示的平面区域上一动点, ? ?x-y-1≤0
则直线 OP 斜率的最大值为 A.2 C. 1 2 B.1 D. 1 3 ( )

【答案】 B 【解析】

x-y≥1, ? ? 5.已知变量 x,y 满足约束条件?x+y≥1,目标函数 z=x+2y 的最大值为 10,则实数 a ? ?1<x≤a,
- 16 -

的值为 ( A.2 C.4

) B. 8 3

D.8

【答案】 C 【解析】 结合图形求解.作出不等式组对应的平面区域,当目标函数经过点(a,a-1) 时取得最大值 10,所以 a+2(a-1)=10,解得 a=4,故选 C.

x≤0, ? ? 6.若 A 为不等式组?y≥0, 表示的平面区域,则当 a 从-2 连续变化到 1 时,动直线 x ? ?y-x≤2
+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为________.

【答案】 【解析】

7 4

2x+3y-6≤0, ? ? 7.在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+y-2≥0, 所表示的区域上一动点,则 ? ?y≥0 |OM|的最小值是________. 【答案】 2

【解析】 如图所示阴影部分为可行域,数形结合可知,原点 O 到直线 x+y-2=0 的垂 线段长是|OM|的最小值,

- 17 -

∴|OM|min=

|-2| 1 +1
2 2

= 2.

y≤x+1, ? ? 8.(2015·盐城调研)设 x,y 满足约束条件?y≥2x-1, 若目标函数 z=abx+y(a>0, ? ?x≥0,y≥0, b>0)的最大值为 35,则 a+b 的最小值为________.

【答案】 8 【解析】

三、解答题

x-y+5≥0, ? ? 9.(2015·合肥模拟)画出不等式组?x+y≥0, 表示的平面区域,并回答下列问题: ? ?x≤3

- 18 -

(1)指出 x,y 的取值范围; (2)平面区域内有多少个整点? 解 (1)不等式组

x-y+5≥0, ? ? ?x+y≥0, 表示的平面区域如图所示. ? ?x≤3
结合图中可行域得

? ? x∈?- ,3?,y∈[-3,8]. 2
5

?

?

10.制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投 资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100%和 50%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%.若投资人计划投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的 资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利

- 19 -

最大? 解 设投资人分别用 x 万元,y 万元投资甲、乙两个项目,由题意知

x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0,

- 20 -


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