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数列通项公式的求法简单总结


艳阳教育高中数学辅导 数列通项公式的求法
类型 1 递推公式为 a n +1 = a n + f ( n) 解法:把原递推公式转化为 a n +1 ? a n = f ( n) ,利用累加法 逐差相加法 累加法(逐差相加法 累加法 逐差相加法)求解。 例 1. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 解:由条件知: a n +1 ? a n =

1 1 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n 。 2 n +n
2

1 1 1 1 = = ? n + n n(n + 1) n n + 1

分 别 令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??, ( n ? 1) , 代 入 上 式 得 ( n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a 2 ? a1 ) + (a3 ? a 2 ) + (a 4 ? a3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n ? a n?1 ) 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ? ? ? ? ? ? + ( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 = 1 ? n 1 1 1 3 1 Q a1 = ,∴ a n = + 1 ? = ? 2 2 n 2 n
类型 2 (1)递推公式为 a n +1 = f ( n) a n 解法:把原递推公式转化为

a n+1 = f (n) ,利用累乘法 逐商相乘法 累乘法(逐商相乘法 累乘法 逐商相乘法)求解。 an 2 n , a n +1 = a n ,求 a n 。 3 n +1

例 2. 已知数列 {a n } 满足 a1 = 解:由条件知 之,即

a n+1 n = ,分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??, ( n ? 1) ,代入上式得 ( n ? 1) 个等式累乘 an n +1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n = × × × ??????× ? n = a1 a 2 a3 a n?1 2 3 4 n a1 n
又Q a1 =

2 2 ,∴ a n = 3 3n

(2) .由 a n +1 = f ( n) a n 和 a1 确定的递推数列 {a n } 的通项可如下求得: 由已知递推式有 a n = f ( n ? 1) a n ?1 , a n ?1 = f ( n ? 2) a n ? 2 , ? ? ? , a 2 = f (1) a1 依次向前代 入,得

a n = f (n ? 1) f (n ? 2) ? ? ? f (1)a1 ,

1

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简记为 a n = ( Π f ( k ))a1
k =1 n ?1

(n ≥ 1, Π f (k ) = 1) ,这就是叠(迭)代法 代法的基本模式。 叠
k =1

0

(3)递推式: a n +1 = pa n + f (n ) 解法:只需构造数列 {bn } ,消去 f (n ) 带来的差异. 构造数列 例 3.设数列 {a n } : a1 = 4, a n = 3a n ?1 + 2n ? 1, ( n ≥ 2) ,求 a n . 解:设 bn = a n + An + B, 则a n = bn ? An ? B ,将 a n , a n ?1 代入递推式,得

bn ? An ? B = 3[bn?1 ? A(n ? 1) ? B ] + 2n ? 1 = 3bn ?1 ? (3 A ? 2)n ? (3B ? 3 A + 1) ? A = 3A ? 2 ? ∴? ? ? B = 3B ? 3 A + 1 ? ?A = 1 ? ?B = 1

∴ 取bn = a n + n + 1 …(1)则 bn = 3bn ?1 ,又 b1 = 6 ,故 bn = 6 × 3 n ?1 = 2 × 3 n
代入(1)得 a n = 2 × 3 ? n ? 1
n

说明: 若 f (n) 为 n 的二次式, (1) 则可设 bn = a n + An + Bn + C ;(2)
2

本题也可由 a n = 3a n ?1 + 2n ? 1 , a n ?1 = 3a n ? 2 + 2( n ? 1) ? 1( n ≥ 3 ) 两 式相减得 a n ? a n ?1 = 3( a n ?1 ? a n ? 2 ) + 2 转 化为 bn = pbn ?1 + q 求 之. 。 类型 3 递推公式为 a n +1 = pa n + q (其中 p,q 均为常数, ( pq ( p ? 1) ≠ 0) ) 解法:把原递推公式转化为: a n +1 ? t = p ( a n ? t ) ,其中 t = 比数列求解。 例 4. 已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a n +1 = 2a n + 3 ,求 a n . 解:设递推公式 a n +1 = 2a n + 3 可以转化为 a n +1 ? t = 2( a n ? t ) 即 a n +1 = 2a n ? t ? t = ?3 .

q ,再利用换元法 换元法转化为等 换元法 1? p

2

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故递推公式为 a n +1 + 3 = 2( a n + 3) ,令 bn = a n + 3 , b1 = a1 + 3 = 4 ,且 则

bn +1 a n+1 + 3 = = 2. bn an + 3
n ?1

所 以 {bn } 是 以 b1 = 4 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 则 bn = 4 × 2

= 2 n+1 , 所 以

a n = 2 n+1 ? 3 .
q ( 。 类型 4 递推公式为 a n +1 = pa n + q (其中 p, 均为常数, pq ( p ? 1)( q ? 1) ≠ 0) )
n

(或

an +1 = pan + rq n ,其中 p,q, r 均为常数)
解法:该类型较类型 3 要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n +1 ,得:

a n+1 p a n 1 = ? + q n+1 q q n q
引入辅助数列 {bn } (其中 bn = 例 5. 已知数列 {a n } 中, a1 =

an p 1 ) ,得: bn +1 = bn + 再应用类型 3 的方法解决。 n q q q

5 1 1 n+1 , a n +1 = a n + ( ) ,求 a n 。 6 3 2 1 1 n+1 2 n n +1 解:在 a n +1 = a n + ( ) 两边乘以 2 n +1 得: 2 ? a n +1 = ( 2 ? a n ) + 1 3 2 3 2 2 n n 令 bn = 2 ? a n ,则 bn +1 = bn + 1 ,应用例 7 解法得: bn = 3 ? 2( ) 3 3 b 1 n 1 n 所以 a n = n = 3( ) ? 2( ) n 2 3 2
。 类型 5 递推公式为 a n + 2 = pa n +1 + qa n (其中 p,q 均为常数) 解法:先把原递推公式转化为 a n + 2 ? sa n +1 = t ( a n +1 ? sa n ) 其中 s,t 满足 ?

?s + t = p ,再应用前面类型 3 的方法求解。 ?st = ? q
2 1 a n+1 + a n ,求 a n 。 3 3

例 6. 已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a 2 = 2 , a n + 2 = 解:由 a n + 2 =

2 1 a n+1 + a n 可转化为 a n+ 2 ? sa n+1 = t (a n+1 ? sa n ) 3 3

即 an+2

2 ? 1 s+t = ?s = 1 ? ? ? ? ?s = ? 3 = ( s + t )a n+1 ? sta n ? ? ?? 3 1 或? 1 t=? ?st = ? ? 3 ?t = 1 ? ? ? 3 ?

3

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?s = 1 ? 这里不妨选用 ? 1 (当然也可选用 ?t = ? 3 ? 1 ? ?s = ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 ? ?t = 1 ?

1 1 a n+ 2 ? a n+1 = ? (a n+1 ? a n ) ? {a n+1 ? a n }是以首项为 a2 ? a1 = 1 , 公比为 ? 的等比数列, 3 3 1 n?1 所以 a n +1 ? a n = ( ? ) ,应用类型 1 的方法,分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??, ( n ? 1) ,代入上式得 3 1 1 ? (? ) n?1 1 0 1 1 1 n?2 3 (n ? 1) 个等式累加之,即 a n ? a1 = (? ) + (? ) + ? ? ? ? ? ? + (? ) = 1 3 3 3 1+ 3 7 3 1 n ?1 又Q a1 = 1 ,所以 a n = ? ( ? ) 。 4 4 3 类型 6 递推公式为 S n 与 a n 的关系式。(或 S n = f ( an ) )
解法:利用 a n = ?

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n = 1) 进行求解。 ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ≥ 2)
1 2 n?2
.

例 7. 已知数列 {a n } 前 n 项和 S n = 4 ? a n ?

(1)求 a n +1 与 a n 的关系; (2)求通项公式 a n . 解: (1)由 S n = 4 ? a n ?

1 2
n?2

得: S n +1 = 4 ? a n +1 ?

1 2 n?1

于是 S n +1 ? S n = ( a n ? a n +1 ) + ( 所以 a n +1 = a n ? a n +1 +

1 2
n?2

1 2 n?1

? a n +1

) 2 n ?1 1 1 = an + n . 2 2
n +1

?

1

(2)应用类型 4 的方法,上式两边同乘以 2 n +1 得: 2 由 a1 = S1 = 4 ? a1 ?
n

a n+1 = 2 n a n + 2

1 2
1? 2

? a1 = 1 .于是数列 2 n a n 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,
n 2 n ?1

{

}

所以 2 a n = 2 + 2( n ? 1) = 2n ? a n =

1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a n +k}的形式求解。一般地,形如 a n +1 =p a n +q(p 、通过分解常数 ≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数 q 分解法:设 a n +1 +k=p(a n +k)与原 式比较系数可得 pk-k=q,即 k=

q ,从而得等比数列{a n +k}。 p ?1 1 a n ?1 +1(n≥2) ,求数列{a n }的通项公式。 2

例 8、数列{a n }满足 a 1 =1,a n =

4

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1 1 a n ?1 +1(n≥2)得 a n -2= (a n ?1 -2) ,而 a 1 -2=1-2=-1, 2 2 1 ∴数列{ a n -2}是以 为公比,-1 为首项的等比数列 2 1 1 ∴a n -2=-( ) n ?1 ∴a n =2-( ) n ?1 2 2
解:由 a n = 说明: 说明:这个题目通过对常数 1 的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a n -2},从而达到解 决问题的目的。 2 、 通 过 分 解 系 数 , 可 转 化 为 特 殊 数 列 {a n ? a n ?1 } 的 形 式 求 解 。 这 种 方 法 适 用 于

a n+ 2 = pa n +1 + qa n 型的递推式,通过对系数 p 的分解,可得等比数列 {a n ? a n ?1 } :设 a n+ 2 ? ka n +1 = h(a n +1 ? ka n ) ,比较系数得 h + k = p,? hk = q ,可解得 h, k 。
例 9、数列 {a n } 满足 a1 = 2, a 2 = 5, a n + 2 ? 3a n +1 + 2 a n =0,求数列{a n }的通项公式。 分析:递推式 a n + 2 ? 3a n +1 + 2a n = 0 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中 间一项 a n +1 的系数分解成 1 和 2,适当组合,可发现一个等比数列 {a n ? a n ?1 } 。 解:由 a n + 2 ? 3a n +1 + 2a n = 0 得 a n + 2 ? a n +1 ? 2( a n +1 ? a n ) = 0 即 a n + 2 ? a n +1 = 2( a n +1 ? a n) ,且 a 2 ? a1 = 5 ? 2 = 3 ∴ {a n +1 ? a n } 是以 2 为公比,3 为首项的等比数列 ∴ a n +1 ? a n = 3 ? 2
n ?1

利用逐差法可得 a n +1 = ( a n +1 ? a n ) + ( a n ? a n ?1 ) + L + ( a 2 ? a1 ) + a1 =3? 2
n ?1

+ 3 ? 2 n?2 + L + 3 ? 2 0 + 2

= 3 ? ( 2 n ?1 + 2 n ? 2 + L + 2 + 1) + 2 =3?

1 ? 2n +2 1? 2
n

=3? 2 ?1 ∴ an = 3 × 2
n ?1

?1

5


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