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高二下学期理科数学期末复习卷三


高二下学期理科数学期末复习卷三
一、选择题: 1.若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1·z2=( ) A.4+2i B.2+i C.2+2i 答案:A z1·z2=(1+i)(3-i)=3-i2+2i=4+2i. 2.下列命题正确的是( C )
2 A. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 3 ? 0

D.3+i

B. ?x ? N , x3 ? x2
2 2 D.若 a ? b ,则 a ? b

C. x ? 1 是 x ? 1 的充分不必要条件
2

3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.3

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的相邻两个零点之间的距离为 12 ,则 ? 的值为 C 6?
C.12 D.24 C )

B.6

4.在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 所对边,若 a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形

5.将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中,若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种

【解析】B:本题考查了排列组合的知识 ∵先从 3 个信封中选一个放 1, 有 3 种不同的选法, 2 再从剩下的 4 个数中选两个放一个信封有 余下放入最后一个信封,∴共有
x

2 C4 ? 6 ,

2 3C4 ? 18

6.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A.

? ??,2?

B. (0,3)

C. (1,4)

D.

? 2,???

【解析】

f ?( x) ? ( x ? 3)?e x ? ( x ? 3) ? e x ?? ? ( x ? 2)e x

? ,令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 2 ,故选 D

7.将正三棱柱截去三个角(如图 1 所示 A,B,C 分别是 △GHI 三边的中点)得到几何体如图 2,则该 几何体按图 2 所示方向的侧视图(或称左视图)为( A ) H B A I C G 侧视 B A C B B B B

E F 图1

D

E F 图2

D

E A.

E B.

E C.

E D.

【解析】解题时在图 2 的右边放扇墙(心中有墙),可得答案 A. 8.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中任取 3 个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的

坐标

? x, y, z ? ,若 x ? y ? z 是 3 的倍数,则满足条件的点的个数为 A
B.216
8

A.252 二、填空题 9.

C.72

D.42

?

2? x

? 展开式中含 x 项的系数为 ___1___.
4

10.若向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),满足条件(c-a)·(2b)=-2,则 x=__________. 答案:2 解析:由(c-a)·(2b)=-2,即 2b·c-2a·b=-2,即 b·c-a·b=-1,所以 1+2+1-(1+2+x) =-1,得 x=2 11.在某项测量中,测量结果 X 服从正态分布 N(1,σ 2)(σ >0),若 X 在(0,1)内取值的概率为 0.4,则 X 在(0,2)内取值的概率为_____. 12.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 ,DX ? 1 , 则 a ? _____ , b ? _____ .

a?b?c ?
【解析】 由题知

5 1 11 1 1 a? b? ? a ? c ? ? 0 12 ? a ? 12 ? c ? 2 2 ? ?1 12 , 4. 12 , 6 12 , , 解得

13.已知圆心在 x 轴上,半径为 2 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的方程是 ______.答案: (x+2)2+y2=2

a
解析:设圆 O 的方程为(x-a)2+y2=2(a<0),圆心 O 到直线 x+y=0 的距离 d=

2

? 2


∴a=-2.∴圆 O 的方程为(x+2)2+y2=2. 14.(几何证明选讲选做题)如图所示,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相

2a 交于 AB 的中点 P,PD= 3 ,∠OAP=30°,则 CP=__________. 9 14 题(理)答案:8 a
=BP,

3 解析: Rt△OPA 中, 在 ∠OAP=30°, OA=a, 易求 AP= 2 a

2 9 3 3 由 AP·BP=CP·PD,∴ 2 a· 2 a= 3 a·CP.∴CP= 8 a.
15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ ,θ )(0≤θ <2π )中,曲线 ρ =2sinθ 与 ρ cosθ =-1 的交点的极坐标为__________.

3π 答案: ( 2 , 4 )解析:由 ρ =2sinθ ,ρ cosθ =-1,得 2sinθ cosθ =-1,即 sin2θ =-1,2θ = 3π 3π 3π 2 ,θ = 4 ,ρ = 2 ,所以交点极坐标为( 2 , 4 ).

三、解答题

16.(本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin ? , ?2)与b ? (1,cos? ) 互相垂直,其中 (1)求 sin ? 和 cos ? 的值;

? ? ? (0, )

2 .

sin(? ? ? ) ?
(2)若

10 ? ,0 ? ? ? 10 2 ,求 cos ? 的值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2 2 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入 sin ? ? cos ? ? 1 得

sin ? ? ?

? 2 5 5 2 5 5 ? ? (0, ) , cos? ? ? sin ? ? , cos? ? 2 ,∴ 5 5 ,又 5 5 .
?
2, 0 ?? ?

0?? ?
(2)∵

?
2 ,∴

?

?
2

? ? ?? ?

?
2 ,则

cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? 2 2 .

3 10 10 ,∴

cos ?

? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

17. (12 分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽 取该流水线上 40 件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区 间为(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图, 如图所示. (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量; (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, Y 为重量超过 505 克的产品数 设 量,求 Y 的分布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概 率. 答案:解:(1)重量超过 505 克的产品数量为: 40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12 件. (2)Y 的分布列为 Y P 0
2 C28 2 C40

1
1 1 C28C12 2 C40

2
2 C12 2 C40

(3)利用样本估计总体:该流水线上产品重量超过 505 克的概率为 0.3.令 ξ 为任取的 5 件产品中重量 超过 505 克的产品数量, ξ ~B(5,0.3), 则 故所求概率为 P(ξ =2)=C2(0.3)2(0.7)3 5 =0.308 7. 18. (本小题满分14分)

如图6,已知正方体 棱

ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为2,点E是正方形 BCC1B1 的中心,点F、G分别是

C1D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点E,G在平面 DCC1D1 内的正投影. DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体积;

(1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 (2)证明:直线 (3)求异面直线

FG1 ? 平面FEE1 ; E1G1与EA 所成角的正切值

解: (1)依题作点 E 、 G 在平面

DCC1D1 内的正投影 E1 、 G1 ,则 E1 、 G1 分别为 CC1 、 DD1 的中点,连

结 EE1 、 EG1 、 ED 、 DE1 ,则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积,其底面 DE1 FG1 面积为

1 1 S DE1FG1 ? S Rt?E1FG1 ? S Rt?DG1E1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ,
又 EE1 ? 面 DE1 FG1 , EE1 ? 1 ,∴

V E ? DE1FG1 ?

1 2 S DE1FG1 ? EE1 ? 3 3.

(2)以 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别作 x 轴, y 轴, z 轴,得 E1 (0,2,1) 、 G1 (0,0,1) , 又 G (2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) ,则 FG1 ? (0,?1,?1) , FE ? (1,1,?1) , FE1 ? (0,1,?1) , ∴ FG1 ? FE ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , FG1 ? FE1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 ,即 FG1 ? FE , FG1 ? FE1 , 又 FE1 ? FE ? F ,∴ FG1 ? 平面 FEE1 .

cs ? E1G1 , EA ?? o
(3)E1G1 ? (0,?2,0) ,EA ? (1,?2,?1) , 则

E1G1 ? EA E1G1 EA

?

2 6
, 设异面直线

E1G1与EA

所成角为 ? ,则

sin ? ? 1 ?

2 3 ? 3 3 .

19. (本题满分 14 分)某商品每件成本 9 元,售价为 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格,销售量 可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x (单位:元, 0 ? x ? 30 )的平方成正比, 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (Ⅱ) 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 解: (1)设商品降价 x 元,则多卖的商品数为 kx ,若记商品在一个星期的获利为 f ( x) ,则依题意有
2

· f ( x) ? (30 ? x ? 9)(432 ? kx2 ) ? (21 ? x)(432 ? kx2 ) , 又由已知条件, 24 ? k 22 ,于是有 k ? 6 , 3 2 所以 f ( x) ? ?6x ? 126x ? 432x ? 9072 x ?[0 30] . , ,
(2)根据(1) ,我们有

f ?( x) ? ?18x2 ? 252x ? 432 ? ?18( x ? 2)( x ? 12) .

x
f ?( x )

2 ?0,?
?

2 0

(2, 12)

12 0

30 ?12, ?
?

?

f ( x) 减 极小 增 极大 减 故 x ? 12 时, f ( x) 达到极大值.因为 f (0) ? 9072 , f (12) ? 11264 , 所以定价为 30 ? 12 ? 18 元能使一个星期的商品销售利润最大.

x2 20. (14 分)已知双曲线 2 -y2=1 的左、右顶点分别为 A1、A2,点 P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双
曲线上不同的两个动点. (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程; (2)若过点 H(0,h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1⊥l2,求 h 的值. 答案:解:(1)由 A1A2 为双曲线的左、右顶点知,A1(- 2 ,0)、A2( 2 ,0).

y1-0 -y1-0 ( x ? 2) x - 2 (x- 2 ),两式相乘得 x ? 2 A1P:y= 1 ,A2Q:y= 1

-y12 x12 y2 1 1 -y12 ? 1,即 2 1 ? 2 x -2 (x2-2),而点 P(x1,y1)在双曲线上,所以 2 x1 -2 2 ,故 y2=- 2 (x2 y2= 1
x2 -2),即 2 +y2=1. x2 (2)设过点 H(0,h)的直线为 y=kx+h(h>1),联立 2 +y2=1 得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.
令 Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0 得 h2-1-2k2=0,解得 k1=

h2- 1 h2- 1 ,k2=- . 2 2

h2-1 由于 l1⊥l2,则 k1k2=- =-1,故 h= 3 . 2
过点 A1,A2 分别引直线 l1,l2 通过 y 轴上的点 H(0,h),且使 l1⊥l2,因此 A1H⊥A2H,由

h 2

× (-

h 2


)=-1,得 h=

2 .此时,l1,l2 的方程分别为 y=x+ 2 与 y=-x+ 2 ,它们与轨迹 E 分别仅有一个交点(-
2 2 3

2 3

2 2 3

)与(

2 3



).

所以,符合条件的 h 的值为

3或 2.


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