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2014高考数学“拿分题”训练:数形结合思想在解题中的应用


2014 高考数学“拿分题”训练:数形结合思想在解题中的应 用
一、知识整合 1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,使用数形结合的方法,很多问题能迎刃而解, 且解法简捷。所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解 决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形” ,使复杂问题简 单化,抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质,它是数学 的规律性与灵活性的有机结合。 2.实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象 的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念, 如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4
3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可 起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数” 。 4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值 域,最值问题中,在求复数和三角函数问题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途 径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其 优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图,见数想图,以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例 1. 若关于x的方程x ? 2kx ? 3k ? 0的两根都在 ? 1和3之间,求k的取值范围。
2

分析: 令f ( x) ? x ? 2kx ? 3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方程f ( x) ? 0
2

的解,由y ? f ( x)的图象可知,要使二根都在 ? 1, 3之间,只需f (?1) ? 0,f (3) ? 0 ,
f (? b 0) ) ? f (? k ) ? 0 同时成立,解得 ? 1 ? k ? 0,故k ? (?1, 2a

例 2. 解不等式 x ? 2 ? x

解:法一、常规解法:

?x ? 0 ? 原不等式等价于 ( I ) ? x ? 2 ? 0 ?x ? 2 ? x 2 ?

?x ? 0 或 ( II ) ? ?x ? 2 ? 0

解 ( I ) ,得 0 ? x ? 2 ;解 ( II ) ,得 ? 2 ? x ? 0 综上可知,原不等式的解集为{x|?2 ? x ? 0或 0 ? x ? 2} ? {x|?2 ? x ? 2}
法二、数形结合解法:

令y1 ?

x ? 2 ,y 2 ? x,则不等式 x ? 2 ? x的解,就是使y1 ?

x ? 2 的图象

在y 2 ? x的上方的那段对应的横坐标, 如下图,不等式的解集为{x| x A ? x ? x B }

而x B 可由 x ? 2 ? x,解得,x B ? 2 ,x A ? ?2 ,

故不等式的解集为{x|?2 ? x ? 2}。
例 3. 已知 0 ? a ? 1,则方程a A. 1 个 B. 2 个
|x |

?|log a x| 的实根个数为 (
D. 1 个或 2 个或 3 个
|x |

)

C. 3 个

分析: 判断方程的根的个数就是判断图象y ? a 与y ?|log a x| 的交点个数,画 出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有 2 个实根,选(B) 。

例 4. 如果实数x、y满足 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3,则

y 的最大值为 ( x

)

A.

1 2

B.

3 3
2 2

C.

3 2

D. 3

分析: 等式 ( x ? 2) ? y ? 3有明显的几何意义,它表坐标平面上的一个圆,

圆心为 (2 , 0) ,半径r ? 3, ( 如图 ) ,而

y y?0 ? 则表示圆上的点 ( x,y ) 与坐 x x?0

标原点 (0, 0) 的连线的斜率。如此以来,该问题可转化为如下几何问题:动点A
在以 (2 , 0) 为圆心,以 3为半径的圆上移动,求直线OA的斜率的最大值,由图

可见,当∠A在第一象限,且与圆相切时,OA的斜率最大,经简单计算,得最
大值为tg60° ? 3

x2 y2 例 5. 已知x,y满足 ? ? 1,求y ? 3x的最大值与最小值 16 25
分析: 对于二元函数y ? 3x在限定条件 构造直线的截距的方法来求之。

x2 y2 ? ? 1下求最值问题,常采用 16 25

令y ? 3x ? b,则y ? 3x ? b,
x2 y2 原问题转化为:在椭圆 ? ? 1上求一点,使过该点的直线斜率为 3, 16 25

且在y轴上的截距最大或最小,
由图形知,当直线y ? 3x ? b与椭圆
截距。

x2 y2 ? ? 1相切时,有最大截距与最小 16 25

? y ? 3x ? b ? 2 ? 169 x 2 ? 96bx ? 16b 2 ? 400 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? ? 16 25

由? ? 0,得b ? ±13,故y ? 3x的最大值为13,最小值为 ? 13。

例 6. 若集合M ? ?( x,y ) ?

? ? ? ?

? ? x ? 3 cos? ? (0 ? ? ? ? ) ?,集合N ? {( x,y )| y ? x ? b} ? ? y ? 3 sin ? ?


且M ? N≠?,则b的取值范围为
2 2

分析: M ? {( x,y )| x ? y ? 9 , 0 ? y ? 1},显然,M表示以 (0, 0) 为圆心, 以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分, (如图) ,而 N 则表示一条直线,其斜率 k=1,纵截

距为b,由图形易知,欲使M ? N≠?,即是使直线y ? x ? b与半圆有公共点, 显然b的最小逼近值为 ? 3,最大值为 3 2 ,即 ? 3 ? b ? 3 2

例 7. 点M是椭圆

x2 y2 ? ? 1上一点,它到其中一个焦点F1 的距离为 2 ,N为 25 16


MF1 的中点,O 表示原点,则|ON|=(

A.

3 2

B. 2

C. 4

D. 8

分析:①设椭圆另一焦点为 F2, (如图) 则| MF1 |?| MF2 | ? 2a,而a ? 5 ,

| MF1 | ? 2 ,∴| MF2 | ? 8
∴ON 是△MF1F2 的中位线,

又注意到 N、O 各为 MF1、F1F2 的中点,

∴| ON | ?

1 1 | MF2 | ? ×8 ? 4 2 2

②若联想到第二定义,可以确定点 M 的坐标,进而求 MF1 中点的坐标,最后利用两点间 的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量,方法较之①显得有些复杂。 例 8. 已知复数z满足| z ? 2 ? 2i| ?

2 ,求z的模的最大值、最小值的范围。

分析: 由于| z ? 2 ? 2i| ?| z ? (2 ? 2i )| ,有明显的几何意义,它表示复数z对应的

点到复数 2 + 2i对应的点之间的距离,因此满足| z ? (2 ? 2i )| ? 2 的复数z对应点 Z,在以 (2 , 2) 为圆心,半径为 2 的圆上, ( 如下图 ) ,而| z| 表示复数z对应的 点Z到原点O的距离,显然,当点Z、圆心C、点O三点共线时,| z| 取得最值,

| z|min ? 2 ,| z|max ? 3 2 ,

∴| z| 的取值范围为[ 2 , 3 2 ]
例 9. 求函数y ?

sin x ? 2 的值域。 cos x ? 2 sin x ? 2 解法一(代数法) 则y ? : 得y cos x ? 2 y ? sin x ? 2 , cos x ? 2
sin x ? y cos x ? ?2 y ? 2 , y 2 ? 1 sin( x ? ? ) ? ?2 y ? 2

∴ sin( x ? ? ) ?

?2 y ? 2 y2 ? 1

,而|sin( x ? ? )| ? 1

∴|

?2 y ? 2 y ?1
2

| ? 1,解不等式得

?4 ? 7 ?4 ? 7 ?y? 3 3

∴函数的值域为[

?4 ? 7 ?4 ? 7 , ] 3 3
y ? y1 sin x ? 2 的形式类似于斜率公式y ? 2 cos x ? 2 x 2 ? x1

解法二(几何法) y ? :

y?

sin x ? 2 表示过两点P0 (2 , ? 2) ,P(cos x, sin x ) 的直线斜率 cos x ? 2

由于点P在单位圆x 2 ? y 2 ? 1上,如图, 显然,k P0 A ? y ? k P0 B

设过P0 的圆的切线方程为y ? 2 ? k ( x ? 2)
则有 |2 k ? 2| k ?1
2

? 1,解得k ?

?4 ± 7 3
∴函数值域为[

即k P0 A ?

?4 ? 7 ?4 ? 7 ,k P0 B ? 3 3



?4 ? 7 ?4 ? 7 ?y? 3 3

?4 ? 7 ?4 ? 7 , ] 3 3

例 10. 求函数u ?

2t ? 4 ? 6 ? t 的最值。

分析: 由于等号右端根号内t同为t的一次式,故作简单换元 2t ? 4 ? m,无法 转化出一元二次函数求最值;倘若对式子平方处理,将会把问题复杂化,因此该题用常规解 法显得比较困难,考虑到式中有两个根号,故可采用两步换元。 解: 设x ?

2t ? 4 ,y ? 6 ? t ,则u ? x ? y

且x 2 ? 2 y 2 ? 16(0 ? x ? 4 , 0 ? y ? 2 2 )

所给函数化为以u为参数的直线方程y ? ? x ? u,它与椭圆x 2 ? 2 y 2 ? 16在
第一象限的部分(包括端点)有公共点, (如图)

u min ? 2 2
相切于第一象限时,u 取最大值

?y ? ?x ? u ? 3x 2 ? 4ux ? 2u 2 ? 16 ? 0 ? 2 2 ? x ? 2 y ? 16
解? ? ? ,得u ? ± 2 6,取u ? 2 6 ∴u max ? 2 6

三、总结提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧,特别是在解决选择、填空题是 发挥着奇特功效,复习中要以熟练技能、方法为目标,加强这方面的训练,以提高解题能力 和速度。

四、强化训练 见优化设计。 【模拟试题】 一、选择题:

1. 方程 lg x ? sin x 的实根的个数为( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个

) D. 4 个 )

2. 函数 y ? a| x|与y ? x ? a 的图象恰有两个公共点,则实数 a 的取值范围是( A. (1, ? ?) C. ( ??, ? 1] ?[1, ? ?) B. ( ?1,1) D. ( ??, ? 1) ?(1, ? ?) )

3. 设命题甲: 0 ? x ? 3 ,命题乙: | x ? 1| ? 4 ,则甲是乙成立的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 4. 适合 | z ? 1| ? 1 且 arg z ? A. 0 个 5. 若不等式 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ) B. 1 个 B. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件

?
4

的复数 z 的个数为( C. 2 个

) D. 4 个

x ? a ? x (a ? 0) 的解集为 {x| m ? x ? n},且| m ? n| ? 2a, 则 a 的值为

6. 已知复数 z1 ? 3 ? i,| z 2 | ? 2 ,则| z1 ? z 2 | 的最大值为( A.

10 ? 2

B. 5

C. 2 ? 10
2

D. 2 ? 2 2 )

7. 若 x ?(1, 2) 时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 恒成立,则 a 的取值范围为( A. (0,1) B. (1,2) C. (1,2] D. [1,2]

8. 定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 在 ( ??,2) 上为增函数,且函数 y ? f ( x ? 2) 的图象的对 称轴为 x ? 0 ,则( A. f ( ?1) ? f (3) C. f ( ?1) ? f ( ?3) ) B. f (0) ? f (3) D. f (2) ? f (3)

二、填空题: 9. 若复数 z 满足 | z| ? 2 ,则 | z ? 1 ? i| 的最大值为___________。 10. 若 f ( x ) ? x ? bx ? c 对任意实数 t, 都有 f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) , f (1) 、f ( ?3) 、f (4) 则
2

由小到大依次为___________。

11. 若关于 x 的方程 x ? 4| x|?5 ? m 有四个不相等的实根,则实数 m 的取值范围为
2

___________。 12. 函数 y ?

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 6 x ? 13 的最小值为___________。

13. 若直线 y ? x ? m 与曲线 y ? 1 ? x 2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ___________。

三、解答题: 14. 若方程 lg( ? x ? 3x ? m) ? lg(3 ? x ) 在[0, 3] 上有唯一解,
2

求 m 的取值范围。 15. 若不等式 4 x ? x ? (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? {x|0 ? x ? 2} ,求 a 的取值范围。
2

16. 设 a ? 0且a≠1 ,试求下述方程有解时 k 的取值范围。

log a ( x ? ak ) ? log a 2 ( x 2 ? a 2 )

【试题答案】 一、选择题 1. C 提示:画出 y ? sin x,y ? lg x 在同一坐标系中的图象,即可。

2. D 提示:画出 y ? a| x|与y ? x ? a 的图象

情形 1: ?

?a ? 0 ?a ?1 ?a ? 1

情形 2: ? 3. A 4. C

?a ? 0 ? a ? ?1 ?a ? ?1

提示:|Z-1|=1 表示以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆,显然点 Z 对应的复数满足条

件 arg z ?

?
4

,另外,点 O 对应的复数 O,因其辐角是多值,它也满足 arg z ?

?
4

,故满足条

件的 z 有两个。

5. B 提示:画出 y?

x?a

y ? x 的 图 象 , 依 题 意 , m ? ? a,n ? a, 从 而

a ? a ? a ? a ? 0或 2 。

6. C 提示:由 | z 2 | ? 2 可知,z2 对应的点在以(0,0)为圆心,以 2 为半径的圆上,

而 | z1 ? z 2 | ?| z 2 ? ( ? z1 )| ?| z 2 ? ( ?3 ? i )| 表示复数 z 2 与 ? 3 ? i 对应的点的距离, 结合图形,易知,此距离的最大值为:

| PO|? r ? ( ?3 ? 0) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 2 ? 10 ? 2
7. C 提示:令 y1 ? ( x ? 1) ,y 2 ? log a x ,
2

若 a>1,两函数图象如下图所示,显然当 x ?(1, 2) 时,

要使 y1 ? y 2 ,只需使 log a 2 ? (2 ? 1) ,即a ? 2 ,综上可知
2

当 1 ? a ? 2 时,不等式 ( x ? 1) ? log a x 对 x ?(1, 2) 恒成立。
2

若 0 ? a ? 1, 两函数图象如下图所示, 显然当 x ?(1, 2) 时, 不等式 ( x ? 1) ? log a x 恒
2

不成立。

可见应选 C 8. A 提示:f(x+2)的图象是由 f(x)的图象向左平移 2 个单位而得到的,又知 f(x+2)的图象关于直 线 x=0(即 y 轴)对称,故可推知,f(x)的图象关于直线 x=2 对称,由 f(x)在( ??,2 )上为 增函数,可知,f(x)在 (2, ? ?) 上为减函数,依此易比较函数值的大小。

二、填空题:

9. 2 ?

2

提示:|Z|=2 表示以原点为原心,以 2 为半径的圆,即满足|Z|=2 的复数 Z 对应的点在圆 O 上运动, (如下图) ,而|z+1-i|=|z-(-1+i)|表示复数 Z 与-1+i 对应的两点的距离。

由图形,易知,该距离的最大值为 2 ? 2 。 10. f (1) ? f (4) ? f ( ?3) 提示: f (2 ? t ) ? f (2 ? t ) 知, 由 f(x)的图象关于直线 x=2 对称, f ( x ) ? x ? bx ? c 为 又
2

二次函数,其图象是开口向上的抛物线,由 f(x)的图象,易知 f (1) 、f ( ?3) 、f (4) 的大小。

11. m ?(1,5) 提示: y1 ? x ? 4| x|?5 设
2 2 画出两函数图象示意图, 要使方程 x ? 4| x|?5 ? m y2 ? m ,

有四个不相等实根,只需使 1 ? m ? 5

12. 最小值为 13 提示: 对 x2 ? 2x ? 2 ? 联想到两点的距离公式, ( x ? 1) ? ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ,

它表示点(x,1)到(1,0)的距离, x 2 ? 6 x ? 13 ? 到点(3,3)的距离,于是 y ?

( x ? 3) 2 ? (1 ? 3) 2 表示点(x,1)

x 2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 6 x ? 13 表示动点(x,1)到两个定点
13 。

(1,0)(3,3)的距离之和,结合图形,易得 y min ? 、 13. m ? ( ? 2 , ? 1]

提示: y=x-m 表示倾角为 45°, 纵截距为-m 的直线方程, y ? 1 ? x 则表示以 而 (0,
2

0)为圆心,以 1 为半径的圆在 x 轴上方的部分(包括圆与 x 轴的交点) ,如下图所示,显然, 欲使直线与半圆有两个不同交点,只需直线的纵截距 ? m ?[1, 2 ) ,即 m ? ( ? 2 , ? 1] 。

三、解答题:

?? x 2 ? 3 x ? m ? 0 ?? x 2 ? 3 x ? m ? 0 ? ? ?3 ? x ? 0 14. 解:原方程等价于 ? ? ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?? x 2 ? 4 x ? 3 ? m ? ?? x 2 ? 3 x ? m ? 3 ? x ?
令 y1 ? ? x ? 4 x ? 3,y 2 ? m ,在同一坐标系内,画出它们的图象,
2

其中注意 0 ? x ? 3 ,当且仅当两函数的图象在[0,3)上有唯一公共点时,原方程有唯一 解,由下图可见,当 m=1,或 ?3 ? m ? 0 时,原方程有唯一解,因此 m 的取值范围为[-3, 0] ? {1}。

注:一般地,研究方程时,需先将其作等价变形,使之简化,再利用函数图象的直观性 研究方程的解的情况。

15. 解:令 y1 ?

4 x ? x 2 ,y 2 ? (a ? 1) x,其中y1 ? 4 x ? x 2 表示以(2,0)为圆心,

以 2 为半径的圆在 x 轴的上方的部分(包括圆与 x 轴的交点) ,如下图所示, y2 ? (a ? 1) x 表 示过原点的直线系,不等式 4 x ? x ? (a ? 1) x 的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部
2

分所对应的 x 值。

由于不等式解集 A ? {x|0 ? x ? 2} 因此,只需要 a ? 1 ? 1,∴a ? 2 ∴a 的取值范围为(2,+ ? ) 。 16. 解:将原方程化为: log a ( x ? ak ) ? log a ∴ x ? ak ?

x2 ? a2 ,

x 2 ? a 2 ,且x ? ak ? 0,x 2 ? a 2 ? 0

令 y1 ? x ? ak ,它表示倾角为 45°的直线系, y1 ? 0 令 y2 ? (a,0)的等轴双曲线在 x x 2 ? a 2 ,它表示焦点在 x 轴上,顶点为(-a,0)

轴上方的部分, y 2 ? 0 ∵原方程有解, ∴两个函数的图象有交点,由下图,知

? ak ? a或 ? a ? ? ak ? 0
∴ k ? ?1或 0 ? k ? 1 ∴k 的取值范围为 ( ??, ? 1) ?(0,1)


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