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复变函数与积分变换试卷2

班级______________姓名_________________ 学号_______________ O…………O…………O…………O 装…………O 订…………O 线…………O…………O…………O……

绍兴文理学院二○○

学年第

学期

年级 试卷(A2)
六 总 分 评卷人

专业

《复变函数与积分变换》期
题 号 (型) 得 分
一、填空(10 个空格,每空 2 分,共 10 ? 2=20 分)











核分人

1: lim

1 ? z ?? 1 ? z 2



2:函数 f (z) ? u(x, y) ? iv (x, y) 在区域 D 内解析的充分必要条件是: u(x, y) 和 v(x, y) 在 D 内任一点
z ? x ? iy 可微,而且满足柯西—黎曼方程即



3:如果函数 f (z ) 在单连通域 D 内处处解析,那么 f (z ) 沿 D 内的任意一条封闭曲线 C 的积分

? f (z)dz ?
C



4:若 f (z ) 在区域 D 内处处解析,C 为 D 内的任意一条封闭曲线,它的内部完全含于 D, z 0 为 C 内 任一点,则有柯西积分公式 f (z 0 ) ? 则称 ? (x, y) 为区域 D 内的调和函数。 6:任何解析函数的泰勒展开式是 。 。 。 , 5:实二元函数 ? (x, y) 在区域 D 内有二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程

7:孤立奇点可以分为三类,分别是可去奇点,极点和

8:若函数 f (z ) 在区域 D 内除有限个孤立奇点 z1 , z 2 ,?, z n 外处处解析,C 是 D 内包围诸奇点的一条 正向简单闭曲线,则

? f (z) ?
C

。 。 。

9:函数 f (t ) 的傅里叶变换的定义为 F(? ) =
二、选择(5 小题,每小题 4 分,共 5 ? 4=20 分)

10: 1 (s), F2 (s) 分别为函数 f1 (t ), f 2 (t ) 的拉普拉斯变换, f1 ( t ) ? f 2 ( t ) 的拉普拉斯变换为 则 F 1:Ln(1+ i ) =( ) A: ln 2 ? i( ? 2k? ), k ? Z ;
4

?

B: ln 2 ? i( D: ln 2 ? i )
?

3? ? 2k? ), k ? Z ; 4

C: ln2 ? i( ? 2k? ), k ? Z ;
4 z ? 在 z ? 的留数为( cosz 2

?

?
4



2:函数

A:

? ; 2

B: ? ;

C: ? ;
2

D: ? ? 。

3: f1 ( t ) ? f 2 ( t ) =( ) A: ??? f1 (t ? ? )f 2 (? )d? ;
??

B: ??? f1 (t )f 2 (t - ? )d? ;
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??

班级______________姓名_________________ 学号_______________ O…………O…………O…………O 装…………O 订…………O 线…………O…………O…………O…… C: ??? f1 (? )f 2 (? )d? ; 4:函数 f ( t) ? 1 的拉氏变换为( ) A:
1 ; s ?1
??

D: ??? f1 (t - ? )f 2 (t - ? )d? 。

??

B:

1 ; s2

C:

1 ; s ?1

D: 。

1 s

5: f (z) ? e z 在 z ? 0 处的泰勒展开式为( ) A: ?
zn ; n ?0 n!
??

B: ? z n ;
n ?0

??

C: ? (-1) n z 2n ;
n ?0

??

D: ? (-1) n
n ?0

??

z 2n 。 ( 2n )!

三、计算(5 小题,每小题 6 分,共 5 ? 6=30 分)

1: ? z dz , C 为从 ? i 到 i 的右半圆周 z ? 1 。
C

2:

1 dz 。 z(z - 2)(z ? 5) z ?6

?

3:

e -z ? 2 dz ; z ?1 z

4: 求 f ( t ) ? t n e at 的拉氏变换; 5:求函数 f1 ( t ) ? t 与 f 2 ( t ) ? sint 的卷积。
四、证明(1 小题,共 10 分)

证明一对调和函数的乘积仍为调和函数。

五、解答(2 小题,每小题 10 分,共 2 ? 10=20 分)

1:解微分方程 y ''' ? 3y '' ? 3y '? y ? 1 , y(0) ? y' (0) ? y '' (0) ? 0 ; 2:求函数 f ( t ) ? ?
? 1? t2 ?0 t ?1 t ?1

的傅氏变换及傅氏积分。

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