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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.2.3直线与椭圆的位置关系]

第二章

2.2

第 3 课时

一、选择题 x2 y2 1.已知 m、n、m+n 成等差数列,m、n、mn 成等比数列,则椭圆 + =1 的离心率 m n 为( ) 1 A. 2 C. 2 2 B. D. 3 3 3 2

[答案] C
? ?2n=m+m+n, [解析] 由已知得? 2 2 ?n =m n. ? ?m=2, ? 解得? ∴e= ?n=4. ?

n-m 2 = ,故选 C. n 2

x2 y2 2.AB 为过椭圆 2+ 2=1 中心的弦,F(c,0)为椭圆的左焦点,则△AFB 的面积最大值是 a b ( ) A.b2 C.ab [答案] B 1 [解析] S△ABF=S△AOF+S△BOF= |OF|· |yA-yB|, 2 当 A、B 为短轴两个端点时,|yA-yB|最大,最大值为 2b. ∴△ABF 面积的最大值为 bc. x2 y2 3.(2013· 河北省衡水中学月考)若点 P(a,1)在椭圆 + =1 的外部,则 a 的取值范围为 2 3 ( ) 2 3 2 3 A.(- , ) 3 3 4 C.( ,+∞) 3 [答案] B -2 3 x2 y2 a2 12 2 3 [解析] 因为点 P 在椭圆 + =1 的外部,所以 + >1,解得 a> 或 a< ,故 2 3 2 3 3 3 选 B. -2 3 2 3 B.( ,+∞)∪(-∞, ) 3 3 4 D.(-∞,- ) 3 B.bc D.ac

x2 y2 4.点 P 为椭圆 + =1 上一点,以点 P 及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积为 1, 5 4 则 P 点的坐标为( A.(± C.( 15 ,1) 2 ) B.( 15 ,± 1) 2 15 ,± 1) 2

15 ,1) 2

D.(±

[答案] D [解析] 设 P(x0,y0),∵a2=5,b2=4,∴c=1, 1 ∴S△PF1F2= |F1F2|· |y0|=|y0|=1,∴y0=± 1, 2
2 x0 y2 0 ∵ + =1, 5 4

∴x0=±

15 .故选 D. 2

x2 y2 5.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 a b ∠F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( A. 2 2 ) B. 3 3

1 C. 2 [答案] B

1 D. 3

b2 [解析] 把 x=-c 代入椭圆方程可得 yc=± , a b2 2b2 ∴|PF1|= ,∴|PF2|= , a a 故|PF1|+|PF2|= 3b2 =2a,即 3b2=2a2. a

又∵a2=b2+c2, ∴3(a2-c2)=2a2, c 1 3 ∴( )2= ,即 e= . a 3 3 x2 y2 6. 如图 F1、 F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心, 以|OF1| a b 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB 是等边三角形,则椭圆的离心率为( )

A.

3 2 2 2

1 B. 2 D. 3-1

C.

[答案] D [解析] 连接 AF1,由圆的性质知,∠F1AF2=90° , 又∵△F2AB 是等边三角形, ∴∠AF2F1=30° , ∴AF1=c,AF2= 3c, c 2c 2c ∴e= = = = 3-1.故选 D. a 2a c+ 3c 二、填空题 7 .若 过椭 圆 x2 y2 + = 1 内 一点 (2,1) 的 弦被 该点平 分, 则该 弦所在 直线 的方程 是 16 4

________________________. [答案] x+2y-4=0 x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 [解析] 设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1,两式相减并把 x1 16 4 16 4 y1-y2 1 +x2=4,y1+y2=2 代入得, =- , 2 x1-x2 1 ∴所求直线方程为 y-1=- (x-2), 2 即 x+2y-4=0. x2 y2 8. 设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两个焦点, 若椭圆 C 上的点 A(1, a b 3 )到 F1、F2 两点的距离之和为 4,则椭圆 C 的方程是________,焦点坐标是________. 2 [答案] x2 y2 + =1 (± 1,0) 4 3

[解析] 由|AF1|+|AF2|=2a=4 得 a=2. x2 y2 ∴原方程化为: + 2=1, 4 b 3 将 A(1, )代入方程得 b2=3. 2

x2 y2 ∴椭圆方程为: + =1,焦点坐标为(± 1,0). 4 3 x2 y2 9.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点 a b a c P使 = 成立,则该椭圆的离心率的取值范围为__________________. sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 [答案] ( 2-1,1) a c [解析] 由正弦定理及 = ,得 sin∠PF1F2 sin∠PF2F1 c sin∠PF2F1 |PF1| = = . a sin∠PF1F2 |PF2| 在△PF1F2 中,设|PF2|=x,则|PF1|=2a-x. c 2a-x 2a2 则上式为 = ,即 cx+ax=2a2,x= . a x a+c 2a2 又 a-c<x<a+c,所以 a-c< <a+c. a+c 由 a-c< 由 2a 2 ,得 a2>-c2,显然恒成立. a+c

2a2 <a+c,得 a2<2ac+c2, a+c

c2+2ac-a2>0,即 e2+2e-1>0, 解得 e>-1+ 2或 e<-1- 2(舍). 又 0<e<1, 所以 e 的取值范围为( 2-1,1). 三、解答题 x2 y2 3 10.(2014· 韶关市曲江一中月考)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求椭圆 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 [解析] (1)将点(0,4)代入椭圆 C 的方程,得 2 =1,∴b=4, b a2-b2 9 c 3 16 9 又 e= = ,则 2 = ,∴1- 2 = ,∴a=5, a 5 a 25 a 25 x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 4 设直线与椭圆 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程 y= (x-3)代入椭圆方程得 5

x2 ?x-3? + =1,即 x2-3x-8=0,由韦达定理得 x1+x2=3,所以线段 AB 中点的横坐标为 25 25 x1+x2 3 43 6 3 6 = ,纵坐标为 ( -3)=- ,即所截线段的中点坐标为( ,- ). 2 2 52 5 2 5

2

一、选择题 7 11.(2014· 抚顺二中期中)在△ABC 中,AB=BC,cosB=- .若以 A,B 为焦点的椭圆 18 经过点 C,则该椭圆的离心率 e=( 3 A. 4 3 C. 8 [答案] C [解析] 设|AB|=x>0,则|BC|=x, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB 7 25 5 =x2+x2-2x2· (- )= x2,∴|AC|= x, 18 9 3 由条件知,|CA|+|CB|=2a,AB=2c, 5 c 2c x 3 ∴ x+x=2a,x=2c,∴c= = = = . 3 a 2a 8 8 x 3 → → 12.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足MF1· MF2=0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆 离心率的取值范围是( A.(0,1) C.(0, 2 ) 2 ) 1 B.(0, ] 2 D.[ 2 ,1) 2 ) 3 B. 7 3 D. 18

[答案] C [解析] 依题意得,c<b,即 c2<b2, c 2 ∴c2<a2-c2,2c2<a2,故离心率 e= < , a 2 又 0<e<1,∴0<e< 2 ,故选 C. 2

x2 y2 13.(2013· 天津耀华中学模拟)若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 4 3 → → P 为椭圆上的任意一点,则OP· FP的最大值为( A.2 ) B.3

C.6 [答案] C

D.8

→ → [解析] 由题意可知 O(0,0),F(-1,0),设点 P 为(x,y),则OP=(x,y),FP=(x+1, y), → → ∴OP· FP=x(x+1)+y2=x2+x+y2 3 =x2+x+3- x2 4 1 1 = x2+x+3= (x+2)2+2. 4 4 → → ∵x∈[-2,2],∴当 x=2 时,OP· FP取最大值. 1 → → (OP· FP)max= (2+2)2+2=6,故选 C. 4 x2 y2 1 14.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 a b 2 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)( A.必在圆 x2+y2=2 上 C.必在圆 x2+y2=2 内 [答案] C 1 c 1 a [解析] e= ? = ?c= , 2 a 2 2 a2-b2 1 b2 3 = ? 2= a2 4 a 4 b 3 3 ? = ?b= a. a 2 2 ∴ax2+bx-c=0?ax2+ ?x2+ 3 a ax- =0 2 2 ) B.必在圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能

3 1 3 1 x- =0,x1+x2=- ,x1x2=- , 2 2 2 2

3 7 2 2 ∴x1 +x2 2=(x1+x2) -2x1x2= +1= <2. 4 4 ∴在圆 x2+y2=2 内,故选 C. 二、填空题 15.如图,在椭圆中,若 AB⊥BF,其中 F 为焦点,A、B 分别为长轴与短轴的一个端 点,则椭圆的离心率 e=________.

[答案]

5-1 2

x2 y2 [解析] 设椭圆方程为 2+ 2=1, 则有 A(-a,0), B(0, b), F(c,0), 由 AB⊥BF, 得 kAB· kBF a b b b b b? a c - =-1,利用 b2=a2-c2 消去 b2,得 - =1, =-1,而 kAB= ,kBF=- 代入上式得 ? a c a? c ? c a -1± 5 1 即 -e=1,解得 e= , e 2 ∵e>0,∴e= 三、解答题 x2 y2 16.(2013· 武汉外国语学校月考)已知过点 A(-1,1)的直线 l 与椭圆 + =1 交于点 B, 8 4 C,当直线 l 绕点 A(-1,1)旋转时,求弦 BC 中点 M 的轨迹方程. [解析] 设直线 l 与椭圆的交点 B(x1,y1),C(x2,y2),弦 BC 的中点 M(x,y), 5-1 . 2



? ?x y ? 8 + 4 =1,
2 2 2 2

2 x1 y2 1 + =1, ① 8 4



2 2 x1 x2 y2 2 1 y2 ①-②,得( - )+( - )=0, 8 8 4 4

∴(x1+x2)(x1-x2)+2(y1+y2)(y1-y2)=0.③ y2-y1 当 x1≠x2 时,③式可化为(x1+x2)+2(y1+y2)· =0. x2-x1 ∵ x1+x2 y1+y2 y2-y1 y-1 =x, =y, = , 2 2 x2-x1 x+1

y-1 ∴2x+2· 2y· =0,化简得 x2+2y2+x-2y=0. x+1 当 x1=x2 时,∵点 M(x,y)是线段 BC 中点, ∴x=-1,y=0,显然适合上式. 综上所述,所求弦中点 M 的轨迹方程是 x2+2y2+x-2y=0. y2 x2 3 3 17. (2014· 鱼台一中高二期中)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P( , 1), 离心率 e= , a b 2 2 直线 l 与椭圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,向量 m=(ax1,by1),n=(ax2,by2),且 m⊥n.

(1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距)时,求直线 l 的斜率 k.

[解析]

? 3 (1)由条件知? 1 + =1, a 4b ?a =b +c ,
c 3 = , a 2
2 2 2 2 2

?a=2, ? 解之得? ?b=1. ?

y2 ∴椭圆的方程为 +x2=1. 4 (2)依题意,设 l 的方程为 y=kx+ 3,

? ?y=kx+ 3, 由?y2 2 消去 y 得(k2+4)x2+2 3kx-1=0, ? ? 4 +x =1,
显然 Δ>0, -2 3k -1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 ,由已知 m· n=0 得, k +4 k +4 a2x1x2 + b2y1y2 = 4x1x2 + (kx1 + 3)(kx2 + 3) = (4 + k2)x1x2 + 3 k(x1 + x2) + 3 = (k2 + 4)( - -2 3k 1 )+ 3k· 2 +3=0,解得 k=± 2. k2+4 k +4


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