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高中数学竞赛讲义(九)


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高中数学竞赛讲义(九) ──不等式

一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b a-b>0; (2)a>b, b>c a>c; (3)a>b a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ac>bc; (5)a>b, c<0 ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+ an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ;

(9)a>0, |x|<a -a<x<a, |x|>a x>a 或 x<-a; (10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2 a2+b2≥2ab; , x+y+z

前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。 (6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6),可得 性质(7);再证性质(8),用反证法,若 即 a≤b, 与 a>b 矛盾, 所以假设不成立, 所以 ,由性质(7)得 ,

; 由绝对值的意义知 (9) 成立; -|a|≤a≤|a|,

-|b|≤b≤|b| , 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| , 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ; 下 面 再 证 ( 10 ) 的 左 边 , 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立;(11)显然成立;下证(12),因 为 x+y-2 不等式,令 ≥0,所以 x+y≥ ,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一

, 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0, 所以 a3+b3+c3≥3abc, 即 x+y+z≥ 时成立。 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 , 等号当且仅当 x=y=z

(1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 1 比较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, c ∈ R+ , 试 证 : 对 任 意 实 数

(A,B>0)与 x, y, z, 有

x2+y2+z2

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2

所以左边≥右边,不等式成立。 例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|.

【 解 】

因 为

1-x

1 , 所 以

loga(1-x)

0,

=|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x)

>log(1-x)(1-x)=1(因为 0<1-x2<1,所以

>1-x>0,

0<1-x<1). 所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|. (2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止, 叙述方式为:要证??,只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 【证明】 要证 a+b+c 因为 ≥a+b ≥a+b 只需证 , ,所以原不等式成立。

例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤

,求证:

【证明】 因为 0<a≤b≤c≤

,由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c),

所以



所以



所以只需证明



也就是证



只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成立。 (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. 【证明】 1)当 n=3 时,因为 34=81>64=43,所以命题成立。

2) 设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k, 当 n=k+1 时, 只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1, 即

>1. 因



,所以只需证

,即证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 ,只需证

(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。 例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0,且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0,求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数, 不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一个 出现的正数,则 a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0,依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。 所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。

例 7 已知 x, y, z∈R+,求证: 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z.

ⅰ)x≥y≥z,则

,x2≥y2≥z2,由排序原理可得

,原不等式成立。

ⅱ)x≥z≥y,则

,x2≥z2≥y2,由排序原理可得

,原不等式成立。 (6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+).

例 8 求证:

【证明】

,得证。

例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证:

【证明】

(因为 a+b>c),得证。 (7)引入参变量法。

例 10 已知 x, y∈R+, l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)=

的最小值。

【解】 设

,则

,f(x,y)=

(a3+b3+3a2b+3ab2)=

,等号当且仅当

时成立。所以 f(x, y)min=

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.

【证明】

设 x1=k(x2+x3+x4) , 依 题 设 有

≤k≤1, x3x4≥4 , 原 不 等 式 等 价 于

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即

(x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+



上递减,

所以

(x2+x3+x4)=

(x2+x3+x4)



·3x2=4x2≤x2x3x4.

所以原不等式成立。 (8)局部不等式。

例 12 已知 x, y, z∈R+,且 x2+y2+z2=1,求证:

【证明】 先证

因为 x(1-x2)=

,

所以

同理





所以

例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证:

≤2。

【证明】 先证 即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1,所以①式成立。



同理 三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。

例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1, 求 f(a, b, c)= 值。

的最小

【解】 当 a, b, c 中有一个为 0, 另两个为 1 时, f(a, b, c)=

, 以下证明 f(a, b, c) ≥

. 不

妨设 a≥b≥c,则 0≤c≤

, f(a, b, c)=

因为 1=(a+b)c+ab≤

+(a+b)c, -c).

解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2(

考虑函数 g(t)=

, g(t)在[

)上单调递增。

又因为 0≤c≤

,所以 3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以 2



所以 f(a, b, c)=



=

=



下证

0 ①

c2+6c+9≥9c2+9

≥0

因为

,所以①式成立。

所以 f(a, b, c) ≥

,所以 f(a, b, c)min=

2.几个常用的不等式。

(1)柯西不等式:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则

等号当且仅当存在 λ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。

变式 2:设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n),则 等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn.

(2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈R+,记 Hn=

, Gn=

,

An=

,则 Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平

均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an. 【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ ≥ 2kGk+1, =Gk+1.

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立。 (3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 排列 ,有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ ≤a1b1+a2b2+?+anbn.

【证明】 引理:记 A0=0 , Ak=

,则

=

(阿贝尔求和法)。 证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 ≥b1+b2+?+bk.

记 sk=

-( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。





-(a1b1+a2b2+

?

+anbn)=

+snan≤0. 最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二:(调整法)考察 若 因为 ≥0, 所 调整后,和是不减的,接下来若 ,则继续同样的调整。至多经 n-1 次调 (j≤n-1),则将 与 互换。 ,若 ,则存在。

整就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理 可得左边不等式。

例 15 已知 a1, a2,?,an∈R+,求证;

a1+a2+?+an.

【证明】 证法一: 因为 ≥2an.

, ?,

上述不等式相加即得

≥a1+a2+?+an.

证法二:由柯西不等式

(a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2,

因为 a1+a2+?+an >0,所以 证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为

≥a1+a2+?+an. ,则 ,

,由排序原理可得

=a1+a2+?+an≥

,得证。

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 三、基础训练题

1.已知 0<x<1,a, b∈R+,则

的最小值是____________.

2.已知 x∈R+,则

的最小值是____________.

3 .已知 a, b, c ∈ R ,且 a2+b2+c2=1, ab+bc+ca 的最大值为 M ,最小值为 N ,则 MN=___________.

4. 若不等式 5.若不等式

对所有实数 x 成立, 则 a 的取值范围是____________. x+a 的解是 x>m,则 m 的最小值是____________.

6.“a+b=4”是“不等式|x-a|+|x-b|<8 的解集是{x|-2<x<6}”的____________条件.

7.若 a, b∈R+,则 a+b=1,以下结论成立是__________.① a4+b4≥

;②

≤a3+b3<1;



;④

;⑤

;⑥

8.已知 0< <

,若

,则 =____________.

9.已知 +(xn-a)2, 若

,p=(x1-

)2+(x2-

)2+?+(xn-

)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+?

,则比较大小:p___________q. b, m=aabb, n=abba, 则比较大小:m_________n.

10.已知 a>0, b>0 且 a

11.已知 n∈N+,求证:

12.已知 0<a<1,x2+y=0,求证:loga(ax+ay) ≤loga2+

.

13.已知 x∈R,

,求证:

四、高考水平训练题 1 .已知 A=asin2x+bcos2x, B=acos2x+bsin2x(a, b, x ∈ R) ,设 m=AB, n=ab, P=A2+B2, q=a2+b2,则下列结论成立的有]__________.(1)m≥n, p≥q;(2)m≤n, p≤q;(3)m+p≥n+q; (4)m+q≥n+p. 2.已知 a, b, c, d∈R,M=4(a-b)(c-d), N=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d),则比 较大小:M________N.

3 .若 ________.

R+ ,且



,将

从小到大排列为

4.已知△ABC 的三边长 a, b, c 满足 b+c≤2a, a+c≤2b,则

的取值范围是________.

5.若实数 x, y 满足|x|+|y|≤1,则 z=x2-xy+y2 的最大值与最小值的和为________. 6.设函数 f(x)= (x∈[-4,2]),则 f(x)的值域是________.

7 . 对 x1>x2>0, 1>a>0 , 记 x1x2________y1y2.

,比较大小:

8.已知函数

的值域是

,则实数 a 的值为________.

9.设 a≤b<c 是直角△ABC 的三边长,若不等式 最大值为________.

恒成立,则 M

10. 实系数方程 x2+ax+2b=0 的一个根大于 0 且小于 1, 另一个根大于 1 且小于 2, 则 的取值范围是________. 11 .已知 a, b, c∈ R+且满足 a+b+c≥abc,求证:下列三个式子中至少有两个成立:

12.已知 a, b∈R+且

,求证:对一切 n∈N+,(a+b)n-an-bn≥22n-2n+1.

13.已知 a, b, c ∈R+,求证:

14.设 x, y, z 是 3 个不全为零的实数,求 五、联赛一试水平训练题

的最大值。

1.已知 a1, a2, b1, b2, c1, c∈R,a1c1-

=a2c2

>0, P=(a1-a2)(c1-c2), Q=(b1-b2)2,比较大

小:P_______Q. 2.已知 x2+y2-xy=1,则|x+y-3|+|x+y+2|=__________. 3.二次函数 f(x)=x2+ax+b,记 M=max{|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|},则 M 的最小值为__________. 4.设实数 a, b, c, d 满足 a≤b≤c≤d 或者 a≥b≥c≥d,比较大小: 4(a+c+d)(a+b+d)__________(2a+3d+c)(2a+2b+c+d).

5.已知 xi∈R+, i=1, 2, ?,n 且

,则 x1x2?xn 的最小值为__________(这

里 n>1). 6.已知 x, y∈R, f(x, y)=x2+6y2-2xy-14x-6y+72 的最小值为__________.

7.已知 0≤ak≤1(k=1, 2, ?,2n),记 a2n+1=a1, a2n+2=a2,则 __________.

的最大值为

8.已知 0≤x≤1, 0≤y≤1, 0≤z≤1,则

的最大值为__________.

9.已知

≤x≤5,求证:

10.对于不全相等的正整数 a, b, c,求证:

11. 已知 ai>0(i=1, 2, ?, n),且

=1。又 0<λ1≤λ2≤?≤λn,求证:

≤ 六、联赛二试水平训练题

1.设正实数 x, y, z 满足 x+y+z=1,求证: 2.设整数 x1, x2, ?,xn 与 y1, y2, ?, yn 满足 1<x1<x2<?<xn<y1<y2<?<ym, x1+x2+? +xn>y1+y2+?+ym,求证:x1x2xn>y1y2?ym. 3.设 f(x)=x2+a,记 f(x), fn(x)=f(fn-1(x))(n=2, 3, ?),M={a∈R|对所有正整数 n,

|fn(0)| ≤2},求证:



4. 给定正数 λ 和正整数 n(n≥2), 求最小的正数 M (λ) , 使得对于所有非负数 x1, x2,?,xn ,

有 M(λ)

5.已知 x, y, z∈R+,求证:(xy+yz+zx) 6.已知非负实数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证:2≤(1-a2)2+(1-b2)2+(1-c2)2≤(1+a)(1+b)(1+c), 并求出等号成立的条件。
肈芁薄袃 芄膇薄羆肇蒅 薃蚅衿莁蚂 螈肅芇蚁袀 袈膃蚀薀肃 腿虿螂羆蒈虿 袄膁莄蚈羇 羄芀蚇蚆膀 膆蚆蝿羃蒄螅 袁膈莀螄羃 羁芆螃蚃膆 节莀袅聿膈 荿羇芅蒇莈蚇 肇莃莇蝿芃 艿莆袂肆膅 蒆羄衿蒄蒅 蚄肄莀蒄螆袇 莆蒃羈膂节 蒂蚈羅膈蒁 螀膁蒆蒀袃羃 莂蒀羅腿芈 蕿蚅羂膄薈 螇膇肀薇罿 羀葿薆虿芆莅 薅螁肈芁薄 袃芄膇薄羆 肇蒅薃蚅衿莁 蚂螈肅芇蚁 袀袈膃蚀薀 肃腿虿螂羆 蒈虿袄膁莄蚈 羇羄芀蚇蚆 膀膆蚆蝿羃 蒄螅袁膈莀螄 羃羁芆螃蚃 膆节莀袅聿 膈荿羇芅蒇莈 蚇肇莃莇蝿 芃艿莆袂肆 膅蒆羄衿蒄蒅 蚄肄莀蒄螆 袇莆蒃羈膂 节蒂蚈羅膈蒁 螀膁蒆蒀袃 羃莂蒀羅腿 芈蕿蚅羂膄 薈螇膇肀薇罿 羀葿薆虿芆 莅薅螁肈芁 薄袃芄膇薄羆 肇蒅薃蚅衿 莁蚂螈肅芇 蚁袀袈膃蚀薀 肃腿虿螂羆 蒈虿袄膁莄 蚈羇羄芀蚇蚆 膀膆蚆蝿羃 蒄螅袁膈莀 螄羃羁芆螃蚃 膆节莀袅聿 膈荿羇芅蒇 莈蚇肇莃莇蝿 芃艿莆袂肆 膅蒆羄衿蒄 蒅蚄肄莀蒄螆 袇莆蒃羈膂 节蒂蚈羅膈 蒁螀膁蒆蒀袃 羃莂蒀羅腿 芈蕿蚅羂膄 薈螇膇肀薇罿 羀葿薆虿芆 莅薅螁肈芁 薄袃芄膇薄羆 肇蒅薃蚅衿 莁蚂螈肅芇 蚁袀袈膃蚀薀 肃腿虿螂羆 蒈虿袄膁莄 蚈羇羄芀蚇蚆 膀膆蚆蝿羃 蒄螅袁膈莀 螄羃羁芆螃蚃 膆节莀袅聿 膈荿羇芅蒇 莈蚇肇莃莇蝿 芃艿莆袂肆 膅蒆羄衿蒄 蒅蚄肄莀蒄螆 袇莆蒃羈膂 节蒂蚈羅膈 蒁螀膁蒆 蒀袃羃莂蒀羅 腿芈蕿蚅羂 膄薈螇膇肀 薇罿羀葿薆虿 芆莅薅螁肈 芁薄袃芄膇 薄羆肇蒅薃蚅 衿莁蚂螈肅 芇蚁袀袈膃 蚀薀肃腿虿螂 羆蒈虿袄膁 莄蚈羇羄芀 蚇蚆膀膆蚆蝿 羃蒄螅袁膈 莀螄羃羁芆 螃蚃膆节莀袅 聿膈荿羇芅 蒇莈蚇肇莃 莇蝿芃艿莆袂 肆膅蒆羄衿 蒄蒅蚄肄莀 蒄螆袇莆蒃羈 膂节蒂蚈羅 膈蒁螀膁蒆 蒀袃羃莂蒀羅 腿芈蕿蚅羂 膄薈螇膇肀 薇罿羀葿薆虿 芆莅薅螁肈 芁薄袃芄膇 薄羆肇蒅薃蚅 衿莁蚂螈肅 芇蚁袀袈膃 蚀薀肃腿虿螂 羆蒈虿袄膁 莄蚈羇羄芀 蚇蚆膀膆蚆蝿 羃蒄螅袁膈 莀螄羃羁芆 螃蚃膆节莀袅 聿膈荿羇芅 蒇莈蚇肇莃 莇蝿芃艿莆袂 肆膅蒆羄衿 蒄蒅蚄肄莀 蒄螆袇莆 蒃羈膂节蒂蚈 羅膈蒁螀膁 蒆蒀袃羃莂 蒀羅腿芈蕿蚅 羂膄薈螇膇 肀薇罿羀葿 薆虿芆莅薅螁 肈芁薄袃芄 膇薄羆肇蒅 薃蚅衿莁蚂螈 肅芇蚁袀袈 膃蚀薀肃腿 虿螂羆蒈虿袄 膁莄蚈羇羄 芀蚇蚆膀膆 蚆蝿羃蒄螅袁 膈莀螄羃羁 芆螃 蚃膆 节莀袅聿膈荿 羇芅蒇莈蚇 肇莃莇蝿芃 艿莆袂肆膅蒆 羄衿蒄蒅蚄 肄莀蒄螆袇莆 蒃羈膂节蒂 蚈羅膈蒁螀 膁蒆蒀袃羃莂 蒀羅腿芈蕿 蚅羂膄薈螇膇 肀薇罿羀葿 薆虿芆莅薅 螁肈芁薄袃芄 膇薄羆肇蒅 薃蚅衿莁蚂螈 肅芇蚁袀袈 膃蚀薀肃腿 虿螂羆蒈虿袄 膁莄蚈羇羄 芀蚇蚆膀膆蚆 蝿羃蒄螅袁 膈莀螄羃羁 芆螃蚃膆节莀 袅聿膈荿羇 芅蒇莈蚇肇莃 莇蝿芃艿莆 袂肆膅蒆羄 衿蒄蒅蚄肄莀 蒄螆袇莆蒃 羈膂节蒂蚈 羅膈蒁螀膁蒆 蒀袃羃莂蒀 羅腿芈蕿蚅羂 膄薈螇膇肀 薇罿羀葿薆 虿芆莅薅螁肈 芁薄袃芄膇 薄羆肇蒅薃蚅 衿莁蚂螈肅 芇蚁袀袈膃 蚀薀肃腿虿螂 羆蒈虿袄膁 莄蚈羇羄芀蚇 蚆膀膆蚆蝿羃 蒄螅袁膈莀螄 羃羁芆螃蚃 膆节莀袅聿 膈荿羇芅蒇莈 蚇肇莃莇蝿 芃艿莆袂肆膅 蒆羄衿蒄蒅 蚄肄莀蒄螆 袇莆蒃羈膂节 蒂蚈羅膈蒁 螀膁蒆蒀袃羃 莂蒀羅腿芈 蕿蚅羂膄薈 螇膇肀薇罿羀 葿薆虿芆莅 薅螁肈芁薄袃 芄膇薄羆肇 蒅薃蚅衿莁 蚂螈肅芇蚁袀 袈膃蚀薀肃 腿虿螂羆蒈虿 袄膁莄蚈羇 羄芀蚇蚆膀 膆蚆蝿羃蒄螅 袁膈莀螄羃 羁芆螃蚃膆节 莀袅聿膈荿 羇芅蒇莈蚇 肇莃莇蝿芃艿 莆袂肆膅蒆 羄衿蒄蒅蚄 肄莀蒄螆袇莆 蒃羈膂节蒂 蚈羅膈蒁螀膁 蒆蒀袃羃莂 蒀羅腿芈蕿 蚅羂膄薈螇膇 肀薇罿羀葿 薆虿芆莅薅螁 肈芁薄袃芄 膇薄羆肇蒅 薃蚅衿莁蚂螈 肅芇蚁袀袈 膃蚀薀肃腿虿 螂羆蒈虿袄膁 莄蚈羇羄芀蚇 蚆膀膆蚆蝿 羃蒄螅袁膈 莀螄羃羁芆螃 蚃膆节莀袅 聿膈荿羇芅蒇 莈蚇肇莃莇 蝿芃艿莆袂 肆膅蒆羄衿蒄 蒅蚄肄莀蒄 螆袇莆蒃羈膂 节蒂蚈羅膈 蒁螀膁蒆蒀 袃羃莂蒀羅腿 芈蕿蚅羂膄 薈螇膇肀薇罿 羀葿薆虿芆 莅薅螁肈芁 薄袃芄膇薄羆 肇蒅薃蚅衿 莁蚂螈肅芇蚁 袀袈膃蚀薀 肃腿虿螂羆 蒈虿袄膁莄蚈 羇羄芀蚇蚆 膀膆蚆蝿羃蒄 螅袁膈莀螄 羃羁芆螃蚃 膆节莀袅聿膈 荿羇芅蒇莈 蚇肇莃莇蝿 芃艿莆袂肆膅 蒆羄衿蒄蒅 蚄肄莀蒄螆袇 莆蒃羈膂节 蒂蚈羅膈蒁 螀膁蒆蒀袃羃 莂蒀羅腿芈 蕿蚅羂膄薈螇 膇肀薇罿羀 葿薆虿芆莅 薅螁肈芁薄袃 芄膇薄羆肇 蒅薃蚅衿莁蚂 螈肅芇蚁袀袈 膃蚀薀肃腿虿 螂羆蒈虿袄 膁莄蚈羇羄 芀蚇蚆膀膆蚆 蝿羃蒄螅袁 膈莀螄羃羁芆 螃蚃膆节莀 袅聿膈荿羇芅 蒇莈蚇肇莃 莇蝿芃艿莆袂 肆膅蒆羄衿 蒄蒅蚄肄莀 蒄螆袇莆蒃羈 膂节蒂蚈羅 膈蒁螀膁蒆蒀 袃羃莂蒀羅 腿芈蕿蚅羂膄

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