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2012-2013学年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题24 概率(独立事件)的求法


第 24 讲:独立事件同时发生的概率和独立重复试验的概率
【考纲要求】 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,能理解 n 次独立重复实验的模型及二项分布,并 能解决一些简单的实际问题 【基础知识】 一、相互独立事件的概率

二、独立重复试验 1 独立重复试验的定义:指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 2.独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在
k 好发生 k 次的概率 Pn ( k ) = C n P k (1 ? P ) n ? k .它是)[ (1? P +P

n 次独立重复试验中这个事件恰

]n 展开式的第 k + 1 项

三、温馨提示 1、互斥事件和相互独立事件的区别:两事件互斥是指同一次试验中不能同时发生 事件相互独立是指不同试验下,二者互不影响;两个相互独立事件不一定互斥,即可 能同时发生,而互斥事件不可能同时发生。 2、判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点: ①是否为 n 次独立重复试验 随机变量是否是在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数。 【方法讲评】

, 两

;②

方法一 一般地,如果事件 2, 1 , A, A 使用情景

独立事件同时发生的概率

?

n 相互独立,那么这

n 个事件同时发生的概率 ,

等于每个事件发生的概率的积,即

)(

) 2 ? ) ?( 1A) n ? A A ( ? 1 ? ( P ? PA = P 2 A P ? A

?

n



一般先判断是否是独立事件同时发生的概率 , ) (A), P ( 再计算 (P P, 2 A ), A 解题步骤

1

iii


n



)(

) 2 ? ) ?(最后代入公式 A ( ? 1 ? ( P ? PA = P 2 A A P ? A 1 )n ? A

?

n

2 3 和 .假设两人射击是否击中目标相互 3 4 之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标 ,则中止其射击 .问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概 率是多少? 解:(1)记“甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标 ”为事件 A1.由题意,射击 4 次,相当于 作 4 次独立重复试验. 例1 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 2 4 65 故 P(A1)=1-P( A1 )=1-( ) = , 3 81 65 . 81 (2)记“甲射击 4 次,恰有 2 次击中目标 ”为事件 A2,“乙射击 4 次,恰有 3 次击中目标 ”为 事件 B2,则 所以甲连续射击 4 次至少有一次未击中目标的概率为

A3=D5D4· D3 ·( D2D1 ), 1 且 P(Di)= .由于各事件相互独立,故 4 P(A3)=P(D5)·P(D4)·P( D3 )·P( D2D1 ) 1 1 45 1 1 3 . = × × ×(1- × )= 4 4 4 4 4 1 024
所以乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率为 45 . 1 024

【点评 】 (1)利用独立事件同时发生的概率公式解答,一般先判断是否是独立事件同时发生 算的 计 再 , 率 概

) (A), P ( P, 2 (P A ), A

1

iii

n

式, 公 入 代 后 最

2

( ? ) ?( 1A) n ? A A ( ? 1 ? P ? PA = P 2 A P ? A

?

n

。 (2)对于某些含有 “至少 ”概念的事件的概

率多用对立事件的概率公式解答。 【变式演练 1】2010 年 12 月底,一考生参加某大学的自主招生考试 ,需进行书面测试 ,测试 题中有 4 道题,每一道题能否正确做出是相互独立的,并且每一道题被该考生正确做出的概 3 率都是 . 4 (1)求该考生从前往后做,首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少正确作出 3 道题,才能通过书面测试这一关 ,求这名考生通过书面测试的概 率.

例2 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛 ) (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率 ; . (2)按比赛 规则甲获胜的概率. 解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为

1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2

记事件 A =“甲打完 3 局才能取胜”,记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜”, 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜”. ①甲打完 3 局取胜,相当于进行 3 次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完 3 局取胜的概率为 P ( )( CA =)
3 =

13 1 3 8 2



②甲打完 4 局才能取胜,相当于进行 4 次独立重复试验,且甲第 4 局比赛取胜,前 3 局为 2 胜1负 ∴甲打完 4 局才能取胜的概率为 ×) ( ×2 = ) ( =CP ×B

3 11 1 2 3 162 2 2



③甲打完 5 局才能取胜 ,相当于进行 5 次独立重复试验,且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜2负

=) (+ += )(

31 2 1 1 4 16 2 2 2 (2)事件 D =“按比赛规则甲获胜 ”,则A += CD B+ 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 1 3 31 CBA CP )+ + BD = A ) + PPP(故 P (+ = 28 16 1 答:按比赛规则甲获胜的概率为 . 2
∴甲打完 5 局才能取胜的概率为 2P ( ×2 = )( )(=× C ) ×C

. ,



【点评】 一般先判断是否是独立重复试验的概率 , 再计算在一次试验中某事件发生的概率是 P 在一次试验中某事件发生的概率是

P ,最后代入公式

k Pn (ξ = k ) = C n p k (1 ? p ) n ? k ,

【高考精选传真】 1、 2012 高考真题天津理 16 (2012 16)现有 4 个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可 供参加者选择 .为增加趣味性 ,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游 戏,掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏,掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 . (Ⅰ)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率: (Ⅱ)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: (Ⅲ)用 X , 分别表示这 4 个人中去参加甲 、乙游戏的人数 ,记 ξ =|X ? Y | Y 分布列与数学期望 Eξ . ,求随机变量 ξ 的

P = = P(ξ = X ( 0) = 2) P =P (+= P(ξ = 3) ( X X = 1) 2) = P = P ( = P(ξ = 4) ( = + 4) = X X 0)
随机变量 ξ 的分布列为

8 27 40 81 17 81

ξ

0
8 27

2 40 81

4 17 81

P

14840 8 17 4= × 2+ × 0 + Eξ = × 81 81 27 81
( 2、 2012 高考真题山东理 19 )现有甲、乙两个靶, 19) 现有甲 、 乙两个靶 , 某射手向甲靶射击一次 , 命中的概率为 3 ,

4

命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次 ,每次命中的概率为 2 ,每命中一次得 2 分,

3

没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立 .假设该射手完成以上三次射击 . (Ⅰ)求该射手恰好命中一次的概率; (Ⅱ)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX .

(Ⅱ)根据题意, X 的所以可能取值为 0,1 ,2,3,4,5 . 根据事件的独立性和互斥性得

) ( )= ) ×1 × ?= 0)P( = = 1( 1( ? P( ? ) BCD X ) ( ) ( 1= ?× ?×= 1 )P( == 1 ) P( X BCD

363 123 9 3

3 3 1 3 1 3

3 1 2 4 13 2 4 3 2 34

2 2 2

, , ,

×( 1× ?=( ) P( P P( = = ) ?× ) BCD X + BCD 2) 3) = )?× =( ) P( P P( = = × × + BCD BCD X ) (=)× ?BCDP( = = 1 P( 4) X × = ×BCD X = ) =×P( 5)P( = =

23 2 34

3 1 22 9 33 4 31 22 3 334

1.甲乙两名计算机人员分别独立破译某一网站的登寻密码,他们破译成功的概率分别为 3 ,则该登寻密码被破译的概率为 ( 10 7 A. 10 9 C. 10 ) 37 100 63 D. 100 B.

1 , 10

4 2.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 5 ( ) 16 96 A. B. 625 625 192 256 C. D. 625 625 3.在中山路上的 A,B,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒,35 秒,45 秒,某辆车在中山路上行驶,则在三处都不停车的概率是 ( ) 25 35 A. B. 192 576 25 35 C. D. 576 192



6.设有两台自动化机床,第一台在一小时内不需要工人照看的概率为 0.9,第二台在一小时 内不需要工人照看的概率为 0.85 ,那么在一小时内两台机床都不需要工人照看的概率为 ________. 7.2 个篮球运动员在罚球时投球的命中率分别为 0.7 和 0.6,每人投篮 3 次,则 2 人都恰好 率 进 概 2 的 球 ________________________________________________________________________ . 8.接种某疫苗后,出现发热反应的概率为 0.80.现有 5 人接种该疫苗,至少有 3 人出现发热 反应的概率为________ .(精确到 0.01) 9.某项选拔共有四轮考核 ,每轮设有一个问题 ,能正确回答问题者进入下一轮考核 ,否则即 4 3 2 1 被淘汰.已知某选手能正确回答第一 、二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ,且各轮问 5 5 5 5 题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示 ) 10.某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小于 0.75, 至少应射击几次?

12.9 粒种子分种在甲、乙、丙 3 个坑内,每坑 3 粒,每粒种子发芽的概率为 0.5. 若一个坑 内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要 补种. (Ⅰ)求甲坑不需要补种的概率; (Ⅱ)求 3 个坑中恰有 1 个坑不需要补种的概率; (Ⅲ)求有坑需要补种的概率 .(精确到 0.001) 【变式演练详细解析】 【变式演练 1 详细解析】

【变式演练 2 详细解析】

设需要 n 门大炮同时射击一次 ,才能使击中目标的概率超过 95%,n 门大炮都击不中目标的概 率为 ×0.3 0×0.7 n=0.7 n.至少有一门大炮击中目标的概率为 1-0.7 n.根据题意 , 1-0.7 n>0.95, 得 即 0.7 <0.05, nlg0.7<lg0.05 ,n>
n

≈8.4.

答:最少以 9 门这样的大炮同时射击一次,就可使击中目标的概率超过 95%. 【反馈训练详细解析】

故 P(A·B·C)=P(A)·P(B)·P(C)= 4. D【解析】

5 7 3 35 × × = . 12 12 4 192

1 由题意, P( A )·P( B )= , 9

P( A )·P(B)=P(A)·P( B ).
1 (1-x)(1-y)= , 9 设 P(A)=x,P(B)=y,则 (1-x)y=x(1-y). 1 1-x-y+xy= , 9 即

x=y.
1 1 1 ∴x2-2x+1= .∴x-1=- ,或 x-1= (舍去). 9 3 3 2 ∴x= . 3 1 1 1 2 2 2 3 5. B【解析】 如图所示, P=C5 2 · 2 =C5· 2 5. 6. 0.765【解析】 设事件 A 表示“第一台机床在一小时内不需要工人照看 ”,事件 B 表示 “第二台机床在一小时内不需要工人照看 ”.因为两台机床是相互独立工作的,因此事件 A, B 是相互独立事件 , 已知 P(A)=0.9, (B)=0.85, P “在一小时内两台机床都不需要工人照看 ” 事件为 A·B,则 P (A·B)=P(A)·P(B)=0.9×0.85=0.765. 7. 0.19 【解析】 设“甲投球 3 次进 2 球”为事件 A,“乙投球 3 次,进 2 球”为事件 B, 2 2 3-2 2 2 3-2 显然事件 A,B 独立;又 P(A)=C3×0.7 ×(1-0.7) ,P(B)=C3×0.6 ×(1-0.6) , ∴2 人都进 2 球的概率为 P (A·B)=P(A)·P(B) 2 2 2 2 =C3×0.7 ×0.3×C3×0.6 ×0.4≈0.19. 8. 0.94【解析】 设出现发热反应的人数为 ξ:

P(ξ=3)=C5×0.8 3×0.2 2=0.204 8, P(ξ=4)=C4×0.8 4×0.2=0.409 6, 5 P(ξ=5)=C5×0.8 5=0.327 68, 5 ∴P=0.204 8+0.409 6+0.327 68=0.942 08≈0.94. 9.【解析】 记“选手进入第 i 轮”为事件 Ai(1≤i≤4 且 i∈N*),则事件 Ai 是相互独立事件 . (1)该选手进入第四轮才被淘汰的概率 1 4 3 2 1- 96 5 = . P1=P(A1A2A3 A4 )= × × × 5 5 5 625 (2)该选手至多进入第三轮考核的对立事件是该选手进入第 4 3 2 24 24 101 四轮考核且 P(A4)= × × = ,则该选手至多进入第三轮考核的概率 P2=1- = . 5 5 5 125 125 125

3

答:要使至少命中 1 次的概率不小于 0.75,至少应射击 5 次 11. 【解析】记“甲理论考核合格 ”为事件 A1 ; “乙理论考核合格 ”为事件 A2 ; “丙理 论考核合格 ” 为事件 A3 ; Ai 为 Ai 的对立事件 , i = 1,2,3 ; “甲实验考核合格 ” 记 记 为事件 B1 ; “乙实验考核合格 ”为事件 B2 ; “丙实验考核合格”为事件 B3 ; (Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格 ”为事件 C ,记 C 为 C 的对立事件

+
3 21

+解法 31:AC2(1 +1AA3 P A 2A P
32 1

)3=1 2

(

3 21

) ) (
= AA( P A ( ) ? 1 AAA
3 21 321

+

A AAA 2 1 P PA 3 A AA =P P

(

) (
=1 )?+ 32 1

)

(

)

× × + × × + × × = 0.9 0.9 0.10.7 0.7 0.8 0.2 0.8 0.8 0.3 0.7 0.9 = 0.902
解法P P ( +C C 2: +
32 1

321

)
) ( )
)

+

3 21

321

? 1 P?AA 2 1 = APA 3 PP AA A ?

(

) (
= 0.902

) (

× + × × + × × ? 0.2 ( 0.3 0.3 0.7 = 10.3 0.1 0.1 0.1 0.9 0.8 0.2 0.2

?0.098 =1

所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902 (Ⅱ)记“三人该课程考核都合格 ” 为事件 D

? ? ?

?A B BP P3( B ?A A 3 D ? ?
3

)2 =2 ?(1 ?
1

1

)(

)(

)

?

?3
2

?
2

?2 B B B (1 P PA AA 2 = P ? PPPPPP ( BABABA = 1

) (

) (

)

?3

?

1

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

× × × × × = 0.90.80.7 0.80.8 0.9 = 0.254016 ≈ 0.254
所以,这三人该课程考核都合格的概率为 0.254


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