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广东省龙川县第一中学2015届高三第一次月考考试数学理

龙川一中 14-15 年高三上第一次

月考试卷(数学理)
考试时间:120 分钟 满分:150 分 命题教师:
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知点 A (?3,1,?4) ,则点 A 关于 x 轴对称的点的坐标为( A. (3,?1,?4) B. (?3,?1,?4) C. (?3,?1,4) ) D. (3,1,4)

2.已知椭圆 离( ) A. 3

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 到椭圆的一个焦点的距离为 3,则 P 点到另一个焦点的距 36 49
B. 4 C. 9 D. 11 ( )

3.若直线 l 的方向向量为 a ,平面 α 的法向量为 n ,能使 l∥α 的是 A. a =(1,0,0), n =(-2,0,0) C. a =(0,2,1), n =(-1,0,-1) 4.曲线 B. a =(1,3,5), n =(1,0,1) D. a =(1,-1,3), n =(0,3,1) ) D. 短轴长相等

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 (k ? 9) 的( 25 9 25 ? k 9 ? k
B. 焦距相等 C. 离心率相等

A. 长轴长相等

5.给出下列命题:①对空间任意两个向量 a, b ( b ≠ 0 ) ,则 a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? , 使得 b ? ? a ; ②若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0或b ? 0 ; ③若 OA, OB, OC 不能构成空间的一个基

底,则 O,A,B,C 四点共面; ④对于非零向量 a, b, c ,则 (a ? b)c ? a(b ? c) 一定成立. 正确命 题的个数为( A.1 ) B.2 C. 3 D. 4

AE 与 BF 所成 6.正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, E , F 分别是 BB 1 , CC1 的中点,则异面直线
角的余弦为( A. ) B. ?

2 5

1 5

C.

1 5

D. ?

2 5

x2 y 2 P , F2 为右焦点,若 7.过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 a b

?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为(



-1-

A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

8.若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 a2
) C. [-

上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) B. [3 ? 2 3, ??)

7 , ?? ) 4

D. [ , ??)

7 4

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. a ? ( x, 4,3), b ? (3, 2, z) 若 a ∥ b ,则 x ? z ? 10.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 3



11.已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1的一条渐近线与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,则 a ? _________ a

12.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。 若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________. 13. 已知 a ? ?1 ? t ,1 ? t, t ? , b ? ?2, t, t ? ,则 b ? a 的最小值是______________ 14.已知两点 A (1,?2) 、B (?4,?2) 及下列四条曲线:① 4 x ? 2 y ? 3 ; ② x ? y ? 3 ;
2 2

③ x2 ? 2 y 2 ? 3 ;④ x2 ? 2 y 2 ? 3 (填上所有正确的序号)

其中存在点 P,使 PA ? PB 的曲线有

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15.(本小题满分 12 分)如图所示,在平行六面体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,O 为 AC 的中点。 (1)化简: A1O ?

1 1 AB ? AD ; 2 2
2 DD1 , 若 3
A1 E

D1

C1

(2) 设 E 是 棱 DD1 上 的 点 , 且 DE ?

B1

EO ? x AB ? y AD ? z AA1 ,试求实数 x, y, z 的值。

D O A B

C

16. (本小题满分 12 分) 设点 A、 B 的坐标分别为 (?5,0) , (5,0).直线 AM,BM 相交于点 M,且它们的斜率之积是 ?

4 ,求点 M 的轨迹方程。 9
P

17. (本小题满分 14 分) 如图:底面 ABCD 为正方形, PD ? 平面 ABCD , EC // PD ,且 PD ? 2 EC , (1)求证:BE//平面 PDA; (2)若 N 为线段 PB 的中点,求证: EN ? 平面 PDB ;
D

E

C

A

B

18. (本小题满分 14 分)
2 已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 过点 A (1,?2)

(I)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (II)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l ,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直 线 OA 与 l 的距离等于

5 ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

19(本小题满分 14 分) 已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =

? ,AB=BC=2AD=4,E、F 分别是 AB、CD 上的点, 2

EF∥BC,AE = x,G 是 BC 的中点。沿 EF 将梯形 ABCD 翻折,使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图) . (1) 当 x=2 时,求证:BD⊥EG ; (2) 若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为 f(x),求 f(x)的最大值;

-3-

(3) 当 f(x)取得最大值时,求二面角 D-BF-C 的余弦值.
A

D

E F

B

G

C

20(本小题满分 14 分) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 是 椭 圆

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 的 两 点 , 已 知 向 量 a2 b2

m?(

x1 y1 x y 3 O 为坐标原点。 , ), n ? ( 2 , 2 ), 且 m ? n ? 0 , 椭圆的离心率 e ? , 短轴长为 2, b a b a 2

(1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 的斜率存在且直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

-4-

龙川一中 2014——2015 学年度第一次月考试卷 高三级(理科)数学科试卷(参考)答案
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1 C 2 D 3 D 4 B 5 A 6 C 7 B 8 B

二、填空题 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ) 9. 9 10. 6 11. 12. y=x 13.

4

3 5 5

14.①②③

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤, 15.(本小题满分12分) (1) A1O ?

1 (AB+AD) = A1O ? AO = A1A ----------------------------------------------6 分 2

(2) EO=AO ? AE

1 2 (AB+AD) ? AD ? AA1 2 3 1 1 2 = AB ? AD ? AA1 2 2 3 1 1 2 y?? z?? ?x? 2 2 3
= 16. (本小题满分 12 分)

------------------------------------------------8 分 --------------------------------------------------10 分 --------------------------------------------------12 分

设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,---------------------------------------------------2 分 因为点 A 的坐标是 (?5, 0) ,

y ( x ≠-5) ; --------------------------------------5 分 x?5 y 同理直线 BM 的斜率 k BM ? ( x ≠5). -------------------------------------------8 分 x ?5 y y 4 ? ? ? ( x ≠±5) 由已知有 ,--------------------------------------------11 分 x ?5 x ?5 9
所以,直线 AM 的斜率 k AM ? 化简,得 M 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ≠±5). ----------------------------------12 分 25 100 9

17.(本小题满分 14 分) 解: (1)证明:∵ EC // PD , PD ? 平面 PDA , EC ? 平面 PDA ∴EC//平面 PDA , 同理可得 BC//平面 PDA --------------------------------------------------------------------3 分

-5-

∵EC ? 平面 EBC,BC ? 平面 EBC 且 EC

BC ? C

∴平面 BEC //平面 PDA ------------------------------------------------------------------5 分 又∵BE ? 平面 EBC ∴BE//平面 PDA-----------------------------------------------6 分 (2)证法 1:连结 AC 与 BD 交于点 F, 连结 NF, ---------------------------------7 分 ∵F 为 BD 的中点,

1 PD ,---------------------8 分 2 1 又 EC // PD 且 EC ? PD 2 NF // EC NF ? EC ------------------------------9 分 ∴ 且
∴ NF // PD 且 NF ? ∴四边形 NFCE 为平行四边形----------------------10 分 ∴ NE // FC --------------------------------------11 分 A ∵

P

E N D F B C

DB ? AC , PD ? 平面 ABCD , AC ? 面 ABCD ∴ AC ? PD , --------------------------------------------12 分 又 PD BD ? D ∴ AC ? 面 PBD ---------------------------------------------------13 分 ∴ NE ? 面 PDB ----------------------------------------------14 分
[证法 2:如图以点 D 为坐标原点, 以 AD 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系如图示: 设底面 ABCD 边长为 1, PD ? a --------------------------------------------------7 分 则 B(1,1,0), C (0,1,0), P(0,0, a),

a 1 1 a E (0,1, ) , N ( , , ) --------------------------------9 分 2 2 2 2 1 1 ∴ EN ? ( , ? , 0) , PB ? (1,1, ?a) , DB ? (1,1,0) --------10 分 2 2

∵ EN ? PB ?

1 1 ?1 ? ?1 ? a ? 0 ? 0 , 2 2

z P

1 1 EN ? DB ? ?1 ? ?1 ? 0 ? 0 ? 0 ----------------------11 分 2 2
∴ EN ? PB, EN ? DB ------------------------------12 分
A x

E N D C y

∵ PB, DB ? 面PDB,且PB? DB ? B ∴ NE ? 面PDB18. (本小题满分 14 分) 解: (I)抛物线过点 A (1 , -2) ,∴4= 2 p ? 1 ∴ p ? 2 ---------------------------------------------3 分
-6-

B

--------------------------------------------14 分

∴抛物线 C 的标准方程为 y 2 ? 4 x ,其准线方程是 x ? ?1 -------------------------------6 分 (II)假设存在满足题意的直线 l ,其方程为 y ? ?2 x ? t -------------------------------7 分

①?

? y ? ?2 x ? t 得 y 2 ? 2 y ? 2t ? 0 。---------------------------------------------9 分 2 ? y ? 4x
1 ---------------------------------------------10 分 2

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 ? ? 4 ? 8t ? 0 解得 t ? ?

又因为直线 OA 与 l 的距离 d ?

t 5 5 可得 -------------------------------12 分 ? 5 5 5

∴ t ? ?1 ,其中 t ? ?1 舍去---------------------------------------------13 分 存在满足题意的直线 l ,其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 ---------------------------------------14 分 19. (本小题满分 14 分) 解 : (1 ) (法一)∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,AE⊥EF,∴AE⊥面 EBCF ,AE⊥EF,AE⊥BE,又 BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系 E-xyz。………………………………… 1 分 则 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,G(2,2,0) ,D(0,2,2) ,E(0,0,0)

A

D

A

z
D

E

F

E F

y

B

C
x

B

G

C

BD ? (-2,2,2) , EG ? (2,2,0)……………………………………………3 分

BD ? EG ? (-2,2,2) · (2,2,0)=0,∴ BD ? EG ………………………4 分
(法二)作 DH⊥EF 于 H,连 BH,GH,……………1 分 由平面 AEFD ? 平面 EBCF 知:DH⊥平面 EBCF, 而 EG ? 平面 EBCF,故 EG⊥DH。 又四边形 BGHE 为正方形,∴ EG⊥BH, BH ? DH=H,故 EG⊥平面 DBH,………………… 3 分 而 BD ? 平面 DBH,∴EG⊥BD。………………… 4 分 B (或者直接利用三垂线定理得出结果) (2)∵AD∥面 BFC, 1 1 1 所以 f ( x) ? VA-BFC= S ?BFC ? AE = · ·4·(4-x)·x 3 2 3
A D

E

H
F

G

C

-7-

2 8 8 ? ? ( x ? 2) 2 ? ? ………………………………………………………………7 分 3 3 3 8 即 x ? 2 时 f ( x ) 有最大值为 。…………………………………………………8 分 3
(3) (法一)设平面 DBF 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) , ∵AE=2, B(2,0,0) ,D(0,2,2) , F(0,3,0),∴ BF ? (?2,3,0), BD ? (-2,2,2),…………………………9 分 则 ?

? n1 ? BD ? 0 ? ? ? n1 ? BF ? 0



即?

?( x, y, z ) ? (?2, 2, 2) ? 0 ??2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ,? ? ( x, y, z ) ? (?2,3, 0) ? 0 ? ?2 x ? 3 y ? 0

取 x=3,则 y=2,z=1,∴ n1 ? (3,2,1)

面 BCF 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ……………12 分 则 cos< n1 , n2 >=

n1 ? n2 14 ? | n1 || n2 | 14

…………………………………………13 分

由于所求二面角 D-BF-C 的平面角为钝角, 所以此二面角的余弦值为-

14 14

……………………………14 分

(法二)作 DH⊥EF 于 H,作 HM⊥BF,连 DM。 由三垂线定理知 BF⊥DM,∴ ∠DMH 是二面角 D-BF-C 的平面角的补角。…………9 分 由△HMF∽△EBF,知

HM HF = ,而 HF=1,BE=2, BF= BE2+EF2= 13 , BE BF

∴ HM=

2 13

。 又 DH=2,

∴ 在 Rt△HMD 中,tan∠DMH=-

DH = 13 , HM
14 , ………………………………13 分 14

因∠DMH 为锐角,∴ cos∠DMH=

而∠DMH 是二面角 D-BF-C 的平面角的补角, 故二面角 D-BF-C 的余弦值为-

14 。 14

………………………………14 分

-8-

20.解: (1) 2b ? 2, 则 b ? 1 ,

………………………………1 分

∵e ?

c 3 ,解得 a ? 2, c ? 3 ………………………………3 分 ? a 2
y2 ? x 2 ? 1 …………………….(4 分) 4

椭圆的方程为

(2)设 AB 的方程为 y ? kx ? 3

? y ? kx ? 3 ? ? (k 2 ? 4) x 2 ? 2 3kx ? 1 ? 0 ,① 由 ? y2 2 ? x ? 1 ? ? 4
则 x1 ? x2 ? 由已知得,

?1 ?2 3k , x1 ? x2 ? 2 ………………………………6 分 2 k ?4 k ?4

0 ? m?n ?

x1 x2 y1 y2 1 ? 2 ? x1 x2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) 2 b a 4

k2 ? 4 1 3 ?2 3k 3 ? ? (? 2 )? k? 2 ? 4 k ?4 4 k ?4 4
解得 k ? ? 2 。 ………………………………8 分

经验证, k ? ? 2 时,①式的 ? ? 0 ,符合题意, 因此 k ? ? 2 。 ………………………………9 分

(3)根据题意,当直线 AB 的斜率不存在,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 时, 由 m ? n ? 0 得 x1 ?
2

y12 ? 0 ,即 y12 ? 4 x12 , 4
2

有 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 x1 ?

y12 ? 1, 4

所以 x1 ?

2 , y1 ? 2 , 2
1 1 x1 y1 ? y2 ? x1 ? 2 y1 ? 1 ………………………………10 分 2 2

所以 s?AOB ?

当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,

-9-

? y ? kx ? m ? 由 ? y2 ? (k 2 ? 4) x2 ? 2kmx ? m2 ? 4 ? 0 , 2 ? ? x ?1 ?4
则 x1 ? x2 ?

?2mk m2 ? 4 x x ? , ………………………………12 分 1 2 k2 ? 4 k2 ? 4

又 m ? n ? 0 ,即 x1 x2 ?

1 (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,则 2m2 ? k 2 ? 4 ,……………13 分 4

s?AOB

m ? 4k 2 ? 4m2 ? 16 2m2 1 1 2 ? m ? x1 ? x2 ? m ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 = ? ?1, 2 2 k2 ? 2 2m2

? ?AOB 的面积为定值 1………………………………14 分

- 10 -


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