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复数的四则运算导学案1


复数的四则运算导学案
制作人:张德超 审核人:李学林 审批人: 使用学生:高二理科

设复数 a ? bi 和 c ? di ( a, b, c, d ? R )是任意两个复数,我们定义复 数乘法法则如下:

一. 学习目标 1. 理解和掌握服输的加、减、乘、除运算的定义,并能够用定义求出两复 数的和、差、积、商。 2. 了解复数加法满足交换律、结合律;了解乘法满足交换律、结合律,乘 法对加法的分配律,以及复数的正整数幂的的运算律。

(a ? bi)(c ? di) =



即两个复数的积仍然是一个复数,复数的乘法与多项式的乘法是相似的, 但在运算中,需要用 i 3.共轭复数 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这样的两个复数叫做互 二. 重、难点 重点:运算律的应用。 难点:运算律的应用。 三. 自主预习 阅读教材 p107 —— P 110 1. 复数的加法、减法法则 设 a ? bi 和 c ? di ( a, b, c, d ? R )是任意两个复数,我们定义复数加法、 减法如下: ( a ? bi ) ? (c ? di ) = + 。 ,它的实部是原来的 为相反数,复数
2

? ?1 进行化简,然后再把实部与虚部合并。

z 的共轭复数用 z
。显然: z z =

表示,也就是 =

z = a ? bi 时,
=

z

=

z

2

4. 复数的乘法运算律 (1)交换律: z1 z2 = (2)结合律: z1 ( z2 z3 ) = (3)分配律: z1 ( z2 ? z3 ) = (4) z
m n

; ; ;
mn

z

=

,z

=

, ( z1 z2 ) =

n



5. 复数的除法法则 给出两个 a ? bi 和 c ? di ( c ? di

即,两个复数的和(或差)仍然是一个 两个复数 的

的和(或差) ,它的虚部是原来的两个复数 和(或差) 。

y ? 0) ,把满足( c ? di ) ( xi ?



的复数 x ? yi 叫作复数 a ? bi 除以 c ? di 的商,记作 (a ? bi) ? (c ? di) 或者
a ? bi c ? di

2.复数的乘法法则

其中:

a ? bi (a ? bi)(c ? di) (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ? ? c ? di (c ? di )(c ? di ) c2 ? d 2

4.(1)复数 最小值为

z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 ,则 z ?1 ? i 的最大值为
。 。 。

可见,复数的除法分母有理化的方法类似,可用分母的共轭复数同乘 分子与分母后,再进行运算 四. 效果检测

(2)设 f ( z) ? z, z1 ? 3 ? 4i, z2 ? ?5 ? 7i 则 f ? z1 ? z2 ? = 5.(1) 设 i 是虚数单位,复数 (2)若 z ?
1 ? 2i ,则 i

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a = 2?i


m2 ? m ? (m ? 15)i ,z2 ? ?2 ? m(m ? 3)i , 1.设 m ? R , 复数 z1 ? 若 z1 ? z2 m?2
是实数,求 m 的取值范围。

z=

(3)复数 z ?

2?i (i为虚数单位) 在复平面内对应的点在第 2?i

象限。

1 1 1 1 (4) i为虚数单位,则 ? 3 ? 5 ? 7 ? i i i i

。 。
2012

(5)复数 z ? 1 ? i, z为z的共轭复数 ,则 zz ? z ? 1 ?

1 z ? 2 a ? 1 ? ai ( a ? R , 且 a ? ? ),若 z ? ? z1 ?(1 ?i)对应 2. 已知 1 2
的点在第二象限,试求 a 的取值范围。

? m ? ni ? (6) i是虚数单位,m, n ? R, 且m(1 ? i) ? 1 ? ni ,则 ? ? ? m ? ni ?

?

, 。

? m ? ni ? ? ? ? m ? ni ?

2013

?

? m ? ni ? ,? ? ? m ? ni ?

2014

?

? m ? ni ? ,? ? ? m ? ni ?

2015

=

3.已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为 2i, 4 ? 4i, 2 ? 6i , 求第四 个顶点对应的复数。


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