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江苏省淮阴中学015届高三数学自主学习测试(1)


2015 届高三数学自主学习测试(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1、集合 A ? {1, t} 中实数 t 的取值范围是 .

( ? x) 的 定 义 域 为 N , 则 2 、 若 不 等 式 x 2 ? 3 x ? 0 的 解 集 为 M , 函 数 f ( x ) ? l g1 M ?N ?
. 条

3、 如果 p 和 q 是两个命题, 若 ?p 是 ?q 的必要不充分条件, 则 p是q的 件. 4、 将函数 f ( x) ? 2 cos( ?

x 3

?
6

) 的图象向左平移

?
4

个单位,再向下平移 1 个单位,得到函 . .

数 g ( x) 的图象,则 g ( x) 的解析式为

5.在 ?ABC 中, BD ? 2DC ,若 AD ? ?1 AB ? ?2 AC ,则 ?1?2 的值为 6、若 tan ? ? 3 ,则

sin 2 ? ? 3 cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 sin ? cos ? ? 5

. . .

7、设变量 x, y 满足 | x | ? | y |? 1 ,则 x ? 2 y 的最大值为 8、函数 y ?

1? x 的单调递减区间为 1? x

9、已知关于 x 的不等式 (ax ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集是 (??, ) ? (?1,??) ,则实数 a 的取值范 围是 .

1 a

10、已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线 l 与直线 3x ? y ? 2 ? 0 平行, 若数列 {

1 } 的前 n 项和为 S n ,则 S 2013 的值为 f ( n)

.

11、在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则

a 的取值范围是 b

.

12、已 知 函 数 f ( x) 在 定 义 域 (0,?? ) 上 是 单 调 函 数 , 若 对 任 意 x ? (0,?? ) , 都 有

1 1 f [ f ( x) ? ] ? 2 ,则 f ( ) 的值是 x 5

.

13、 ?ABC 内接于以 P 为圆心,半径为 1 的圆,且 3PA ? 4PB ? 5PC ? 0 ,则 ?ABC 的面 积为 .

14、若已知 a, b, c ? 0 ,则

a2 ? b2 ? c2 的最小值为 ab ? 2bc

.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15、 (本小题满分 14 分) 文科选做 A 题,理科选作 B 题: A : 已 知 函 数 f ( x) ? log4 x, x ? [

1 ( ) 3 x?a 2

1 ,4] 的 值 域 为 集 合 A , 关 于 x 的 不 等 式 16 5? x ? 2 x (a ? R) 的 解 集 为 B , 集 合 C ? {x | ? 0} , 集 合 x ?1

D ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ( m ? 0)
(1)若 A ? B ? B ,求实数 a 的取值范围; (2)若 D ? C ,求实数 m 的取值范围.

B: 已 知 矩 阵 A ? ?

? 2 n? ? 的一个特征根为 ? ? 2 ,它对应的一个特征向量为 ?m 1 ?
(2)求 A .
?1

(1)求 m 与 n 的值; ? ? ? ?. 2

?1 ? ? ?

16、

(本小题满分 14 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角 ?ABC 内接于圆 x 2 ? y 2 ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,

AB 所在直线方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(1)若 3k ?

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

(2)若 k ? 2, 记 ?xOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值。 2

y

A

O B C

x

17、

(本小题满分 14 分) 某企业有两个生产车间分别在 A 、 B 两个位置, A 车间有 100 名员工, B 车间有 400 名员工。现要在公路 AC 上找一点 D ,修一条公路 BD ,并在 D 处建一个食堂,使得所
C 中任意两点间的距离均有 1km , D C 有员工均在此食堂用餐。 已知 A 、 设 ?B B、 ?? ,
A D

所有员工从车间到食堂步行的总路程为 s . (1)写出 s 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问食堂 D 建在距离 A 多远时,可使总路程 s 最少
C

第 17 题图

B

18、

(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln | x | , (1)判断函数 f ( x) 的奇偶性;

(2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? 1 有实数解,求实数 k 的取值范围.

19、

(本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 的相邻两项 an ,a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0(n ? N*) 的两根, 且 a1 ? 1 .

(1)求证:数列 {an ? ? 2 n } 是等比数列; (2) 设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? , 使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N * 都成立,若存在,求出 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

1 3

20、

(本小题满分 16 分)

? x 2 ? ax ? 1 , x ? a 已知函数 f ( x) ? ? x , x ?a ?4 ? 4 ? 2 , x ? a
(1)若 x ? a 时, f ( x) ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 a ? ?4 时,函数 f ( x) 在实数集 R 上有最小值,求实数 a 的取值范围.

2015 届高三数学自主学习测试(1)参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. {t | t ? 1} 6. ? 2. (??,3] 7. 2 3.充分不必要. 4. g ( x) ? 2 cos( 9. [?1,0)

x ? ? ) ?1 3 4
10.

5.

2 9

12 35

8. (??,?1), (?1,??)

2013 2014

11. ( 2 , 3 )

12. 6

13.

6 5

14.

2 5 5

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15.(本小题满分 14 分) A:解: (1)因为 4 ? 1 ,所以 f ( x) 在 [ 所以 A ? [ f ( 又由 ( )

1 ,4] 上,单调递增, 16

1 ), f (4)] ? [?2,1] ,--------------------------2 分 16 a , 4

1 2

3x?a

? 2 x (a ? R) 可得: 2 ? (3 x ? a ) ? 2 x 即: ? 3 x ? a ? x ,所以 x ? ? a 4

所以 B ? ( ?? ,? ) ,--------------------------4 分 又 A ? B ? B 所以可得: A ? B ,--------------------------5 分

a ? 1 ,所以 a ? ?4 即实数 a 的取值范围为 (??,?4) .--------------------------6 分 4 5? x x?5 ? 0 ,所以有 ? 0 ,所以 ? 1 ? x ? 2 ,所以 C ? (?1,5] ,--------------------8 (2)因为 x ?1 x ?1
所以 ? 分 对于集合 D ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ? C 有: ①当 m ? 1 ? 2m ? 1时,即 0 ? m ? 2 时 D ? ? ,满足 D ? C .--------------------10 分 ②当 m ? 1 ? 2m ? 1时,即 m ? 2 时 D ? ? ,所以有:

?m ? 1 ? ?1 ? ?2 ? m ? 3 ,又因为 m ? 2 ,所以 ? 2 ? m ? 3 --------------------13 分 ? 2 m ? 1 ? 5 ?
综上:由①②可得:实数 m 的取值范围为 (0,3] .--------------------14 分

B: (1)由题意得:

? 2 n ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? 2 ? 2n ? 2 ? n ? 0 A? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? m 1 ? ? 2? ? 2? ? 2? ? m ? 2 ? 4 ?m ? 2
(2)设 A?1 ? ?

7分

?a b ? ? 2 0? ? a b ? ?1 0? ?E?? ?? ? ? ? ? ? ? 2 1? ? c d ? ?0 1? ?c d ?
?1 ? 0? 即A ??2 . ? ? ? ?1 1 ?
?1

? 1 ? ? 2a ? 1 ?a ? 2 ? ? ? 2b ? 0 ? ?? ??b?0 ?2a ? c ? 0 ?c ? ?1 ? 2b ? d ? 1 ? ? ? ? d ?1 ?

………………14 分

16.(本小题满分 14 分) 解: (1) 变式得: 3 原式 ? sin 2

sin B 2ac 1 ? 2 解得 sin B ? ,--------------------4 分 2 2 cos B a ? c ? b 3

B 1 ? cos B 9?2 2 ;--------------------7 分 ? sin 2 B ? ? 2 sin B cos B ? 2 2 18

(2)方法一: ?AOB ? ? ? ? ,作 OD ? AB 于 D ,

? ?xOD ? ? ?


? ??
2

?

? ??
2

, ? tan(

? ??
2

) ? kOD ? ?

1 1 ? ? --------------------11 k 2

? sin(? ? ? ) ?

4 ? ? --------------------14 分 ? ?? 5 1 ? tan2 ( ) 2 2

2 tan(

? ??

)

方法二: ?

?x 2 ? y 2 ? 1 ? 5 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 , ? y ? 2x ? m
4m m2 ?1 , x1 x2 ? , 5 5

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 ? x2 ? ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? (2 x1 ? m) x 2 ? x1 (2 x 2 ? m)

4 ? 4 x1 x 2 ? m( x 1 ? x 2 ) ? ? --------------------14 分 5
17. (本小题满分 14 分) 解: (1)在 ?BCD 中,?

BD BC CD ,--------------------2 分 ? ? 0 sin ? sin(1200 ? ? ) sin 60

3 sin(1200 ? ? ) sin(1200 ? ? ) ? BD ? 2 , CD ? ,则 AD ? 1 ? 。--------------------4 分 sin ? sin ? sin ? 3 sin(1200 ? ? ) s ? 400? 2 ? 100[1 ? ] sin ? sin ?

? 50 ? 50 3 ?

cos ? ? 4 sin ?







?
3


?? ?
2

2? 。……..6 分 3


s' ? ?50 3 ?

? sin ? ? sin ? ? (cos ? ? 4) cos ? 1 ? 4 cos ? ? 50 3 ? 2 sin ? sin 2 ?



--------------------8 分 令 s ' ? 0 得 cos ? ? 当 cos ? ?

1 1 ? 2? ) 。记 cos ? 0 ? , ? 0 ? ( , 4 4 3 3

1 时, s ' ? 0 ,--------------------.9 分 4 1 当 cos ? ? 时, s ' ? 0 ,--------------------10 分 4
所以 s 在 ( 在 (? 0 ,

?

2? ) 上,单调递增,…………..…...12 分 3 1 所以当 ? ? ? 0 ,即 cos ? ? 时, s 取得最小值。--------------------13 分 4

3

, ? 0 ) 上,单调递减,--------------------11 分

3 1 cos? ? sin ? sin(1200 ? ? ) 15 2 ? 1? 2 此时, sin ? ? , AD ? 1 ? sin ? sin ? 4

1 1 3 cos? 1 3 4 1 5 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 sin ? 2 2 15 2 10 4
答:当 AD ?

1 5 时,可使总路程 s 最少。--------------------14 分 ? 2 10

18. (本小题满分 16 分) 解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 {x | x ? R 且 x ? 0} 关于坐标原点对称.--------------- 1 分

f (? x) ? (? x) 2 ln | ? x |? x 2 ln x ? f ( x) ? f ( x) 为偶函数.--------------- 4 分
2 (2)当 x ? 0 时, f ' ( x) ? 2 x ln x ? x ?

1 ? x(2 ln x ? 1) --------------- 5 分 x
? 1 2

令 f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 2 ln x ? 1 ? 0 ? x ? e 令

?x?

e e

f ' ( x) ? x(2 ln x ? 1) ? 0

? 2 ln x ? 1 ? 0

? 2 ln x ? 1 ? 0 ? 0 ? x ? e

?

1 2

?0? x?

e e

-------------------------------------------- 6 分 所以可知: 当 x ? (0, 7分 又因为 f ( x) 是偶函数,所以在对称区间上单调性相反,所以可得:

e e ) 时,f ( x) 单调递减, ,??) 时,f ( x) 单调递增, 当 x?( ---------e e

当 x ? (? 分

e e ,0) 时, f ( x) 单调递增,当 x ? (??,? ) 时, f ( x) 单调递减,---------- 8 e e

综上可得:

f ( x) 的递增区间是: (?

e e ,0) , ( ,??) ; e e e e ) , (??,? ) --------------------------- 9 分 e e

f ( x) 的递减区间是: (0,

(3)由 f ( x) ? kx ? 1 ,即 f ( x) ? x 2 ln | x |? kx ? 1 ,显然, x ? 0

1 ? k --------------------- 10 分 x 1 1 令 g ( x) ? x ln | x | ? ,当 x ? 0 时, g ( x) ? x ln x ? x x
可得: x ln | x | ?

g ' ( x) ? x' ln x ? x ?

1 1 1 x2 ?1 ? 2 ? ln x ? 1 ? 2 ? ln x ? ----------- 12 分 x x x x2

显然 g ' (1) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 当 x ? 1 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,

? x ? 0 时, g ( x) min ? g (1) ? 1 ----------- 14 分
又 g (? x) ? ? g ( x) ,所以可得 g ( x) 为奇函数,所以 g ( x) 图像关于坐标原点对称 所以可得:当 x ? 0 时, g ( x) max ? g (?1) ? ?1----------- 15 分 ∴ g ( x) 的值域为 (??,?1] ? [1,??) 19. (本小题满分 16 分) 解:(1) an , a n ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? bn ? 0(n ? N*) 的两根,
2 n

∴ k 的取值范围是 (??,?1] ? [1,??) ---- 16 分

?a ? a n ?1 ? 2 n ...................4 分。 ?? n ? a n a n ?1 ? bn
n 由 an ? an?1 ? 2 ,得 a n ?1 ?

1 n ?1 1 ? 2 ? ?( a n ? ? 2 n ) , 3 3

故数列 {a n ?

1 n 2 1 ? 2 } 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列....................6 分。 3 3 3

(2)由(1)得 a n ?

1 n 1 1 ? 2 ? ? (?1) n ?1 , 即 a n ? [2 n ? (?1) n ] . 3 3 3

1 ? bn ? a n a n ?1 ? [2 n ? (?1) n ][ 2 n ?1 ? (?1) n ?1 ] 9
又? S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

1 ? {( 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? ? ? 2 n ) ? [( ?1) ? (?1) 2 ? ? ? ? ? (?1) n ]} 3

1 (?1) n ? 1 ? [2 n ?1 ? 2 ? ] ...................9 分。 3 2
要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ? N 都成立有:
*

①当 n 为正奇数时,有:

bn ? ?S n ?
所以有:

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 1) ? 0 ,? 2 n?1 ? 1 ? 0 , 9 3

1 n ? 1 (2 ? 1) ? ? 0 ,即 ? ? (2 n ? 1) ,对任意正奇数 n 都成立. 9 3 3 1 3 1 n (2 ? 1) 有 最 小 值 3

n 又 因 为 { (2 ? 1)} 单 调 递 增 , 所 以 当 n ? 1 时 ,

1.? ? ? 1 ........................12 分。 ②当 n 为正偶数时,有:

bn ? ?S n ?
即:

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 2) ? 0 , 9 3

1 n 1 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ?1 ? 2) ? 0 9 3 1 n 2 (2 ? 1)( 2 n ?1 ? 1) ? ? (2 n ? 1) ? 0 ,又因为 2 n ? 1 ? 0 9 3 1 n ?1 2 1 (2 ? 1) ? ? ? 0 ,即 ? ? (2 n ?1 ? 1) 对任意正偶数 n 都成立. 9 3 6

即:

所以有:

1 1 3 3 { (2 n ?1 ? 1)} 单调递增, 所以当 n ? 2 时, (2 n ?1 ? 1) 有最小值 .? ? ? .............14 分。 6 6 2 2
综 上 所 述 , 在 常 数 ? , 使 得 bn ? ?S n ? 0 对 任 意 n ? N * 都 成 立 , ? 的 取 值 范 围 是

(??,1) ........16 分。

20.(本小题满分 16 分) 解: (1)因为 x ? a 时, f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a ,所以令 2 ? t ,则有 0 ? t ? 2 ,所以
x a

f ( x) ? 1 当 x ? a 时恒成立,可转化为 t 2 ? 4 ?


t ? 1, 2a

4 1 ? t ? 在 t ? (0,2 a ) 上恒成立, --------------------------------------2 分. a t 2 1 1 a 令 g (t ) ? t ? , t ? (0,2 ) ,则 g ' (t ) ? 1 ? 2 ? 0 ,------------------------------3 分. t t 1 所以 g (t ) ? t ? 在 (0,2 a ) 上单调递增, -------------4 分. t 1 4 1 a a a 所以 g (t ) ? g (2 ) ? 2 ? a ,所以有: a ? 2 ? a . 2 2 2 5 ? a ? 2 a ? (2 a ) 2 ? 5 ? 2 a ? 5 -----------------------------------------5 分. 2

? a ? log2 5 .----------------------------6 分.
2 (2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? ax ? 1 ,即 f ( x) ? ( x ?

a 2 a2 ) ?1? ,----------7 分. 2 4

①当

a ? a ? a ? 0 时,此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以 f ( x) 在 [a,??) 单调递增, 2

所以 f ( x) min ? f (a) ? 1 ;-------------------------------------------------8 分. ②当 减, 在 ( ,?? ) 单调递增,所以 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ?

a a ? a ? ?4 ? a ? 0 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以 f ( x) 在 [a, ) 单调递 2 2

a 2

a 2

a2 . 4

所以由①②可得: 当 x ? a 时有: f ( x) min

? a2 ? 1? ,?4 ? a ? 0 .---------- -----------9 分. ?? 4 ? a?0 ?1,
, 令



x?a





f ( x) ? 4 x ? 4 ? 2 x?a

2x ? t

,

t ? (0,2 a )





h(t ) ? t 2 ?

4 2 4 t ? (t ? a ) 2 ? a , a 2 2 4

③当 0 ? 递增

2 1 2 2 ? 2 a ? 2 2 a ? 2 ? a ? 时, h(t ) 在 (0, a ) 单调递减,在 ( a ,2 a ) 上单调 a 2 2 2 2 2 4 ) ? ? a ;---------------------------------------10 分. a 2 4 2 1 ? 2 a ? 2 2a ? 2 ? a ? 时 , h(t ) 在 a 2 2

h(t ) min ? h(
④ 当

(0,2 a )







减, h(t ) ? (h(2 a ), h(0)) ? (4 a ? 4,0) 所以,此时, h(t ) 在 (0,2 a ) 上无最小值; ---------------------------------------------11 分. 所以由③④可得当 x ? a 时有:当 a ?

1 4 时, f ( x ) min ? h(t ) min ? ? a ; 2 4 1 当 a ? 时,无最小值.----------------- -------------12 分. 2

所以,由①②③④可得:

1 4 4 时,因为 ? a ? 1 ,所以函数 f ( x ) min ? ? a ;---------------------------13 分. 2 4 4 1 a 当 0 ? a ? 时, 因为 4 ? 4 ? 0 ? 1 ,函数 f ( x) 无最小值; --------------------------------14 2
当a ? 分. 当 ? 4 ? a ? 0 时, 4 ? 4 ? ?3 ? 1 ?
a

a2 ,函数 f ( x) 无最小值.--------- ----------------15 分. 4

综上所述,当 a ? 小值.

1 4 1 时,函数 f ( x) 有最小值为 ? a ;当 ? 4 ? a ? 时,函数 f ( x) 无最 2 2 4 1 2

所以函数 f ( x) 在实数集 R 上有最小值时,实数 a 的取值范围为 ( ,?? ) .---------16 分.


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