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安徽省桐城市第八中学2015-2016学年高一数学下学期第二次月考试题


桐城八中 2015-2016 学年度高一数学第二学期第二次月考试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分 1.{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10 =S11,则 a1=( A.18 B.20 C.22 D.24 ) )

2.设数列{an} 是等比数列,前 n 项和为 Sn,若 S3=3a3,则公比 q 为( 1 A.- 2 B.1
2

1 C.- 或 1 2

1 D. 4 )

3.已知数列{ an}的前 n 项和 Sn=an +bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于( A.16 B.8 C.4 D.不确定 )

1 1 1 1 1 4.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1- C.n +1-
2 2

1 n 2 1 2
n-1

1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2 )

5.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形

6.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该 几何体的侧视图是( )

7.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=3,BC=2,则棱锥 O-ABCD 的 体积为( A. 51 ) B.3 51 C.2 51 D.6 51

8.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积
1

(

) A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值

9.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,EF,

GH 在原正方体中互为异面的对数为(
A.1 B.2 C.3

) D.4

10. 在正四棱锥 V-ABCD 中, 底面正方形 ABCD 的边长为 1, 侧棱长为 2, 则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为( π A. 6 π B. 4 ) π C. 3 π D. 2

11. 设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边 形, 用平面 α 去截此四棱锥(如 图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 α ( A.不存在 C.恰有 4 个 B.只有 1 个 D.有无数多个 )

12. 设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数, 对任意实数 x, y∈R, 都有 f(x)f(y) 1 * =f(x+y),若 a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( 2 )

?1 ? A.? ,2? ?2 ?

?1 ? B.? ,2? ?2 ?

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

?1 ? D.? ,1? ?2 ?

二、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卷上 13.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,2S2,3S3 成等差数列,则等比数列{an}的公比为:_ _ .

14.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边. 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走 的路程总和最小,这个最小值为 米. .

15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为

16.在三棱锥 A-BCD 中, AB= CD= 6,AC= BD= AD= BC =5,则该三棱锥的外接球的表面积 为 . 文 字

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出 说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)一个多面体的直观图、正视图、侧视图如

图 1

2

和 2 所示,其中正视图、侧视图均为边长为 a 的正方形.

(1)请在图 2 指定的框内画出多面体的俯视图; (2)若多面体底面对角线 AC,BD 交于点 O,E 为线段 AA1 的中点,求证:OE∥平面 A1C1C; (3)求该多面体的表面积. 解:

18.(12 分)如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,AB∥CD,且 AB=2CD, 在棱 AB 上是否存在一点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1?若存在,求点 F 的位置;若不存在,请 说明理由. 解:

19.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD, 其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长为 2 的等 边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)求三棱锥 A-PBC 的体积. 解:

20.(12 分)已知递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,求 Sn. 2 解:

21 .(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 an≠0,a1 为常数,且-a1,Sn,an+1 成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=1-Sn,问:是否存在 a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出 a1 的值;若不

3

存在,请说明理由. 解:

22.(12 分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试 验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、 审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费 12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年的纯收 入.(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额) (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 48 万美元 出售该厂;②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂,问哪种方案较合算? 解:

2015-2016 学年度桐城八中高一数学第二学期第二次月考试题

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分 1.{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( A.18 B.20 C.22 D.24 C ) B )

2.设数列{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn,若 S3=3a3,则公比 q 为( 1 A.- 2 B.1
2

1 C.- 或 1 2

1 D. 4

3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于( B ) A.16 B.8 C.4 D.不确定 A )

1 1 1 1 1 4.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1)+ n,?的前 n 项和 Sn 的值等于( 2 4 8 16 2 A.n +1- C.n +1-
2 2

1 n 2 1 2
n-1

1 2 B.2n -n+1- n 2 1 2 D.n -n+1- n 2 B )

5.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等 腰直角三角形 D.钝角三角形

4

6.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图.在正视图右侧,按照画三视图的要求画出的该 几何体的侧视图是( B )

7.已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB=3,BC=2,则棱锥 O-ABCD 的 体积为( A ) B.3 51 C.2 51 D.6 51

A. 51

8.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上, 且 EF=2,动点 Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积( D ) A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关 D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值 9.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的四条线段 AB,CD,

EF,GH 在原正方体中互为异面的对数为( C )
A.1 B.2 C.3 D.4

10.在正四棱锥 V-ABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1,侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为( π A. 6 π D. 2 11.设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 α 去截此四 棱锥(如图),使得截面四边形是平行四边形,则这样的平面 α ( D ) A.不存在 C.恰有 4 个 B.只有 1 个 D.有无数多个 D ) π B. 4 π C. 3

12.设 f(x)是定义在 R 上恒不为零的函数,对任意实数 x,y∈R,都有 f(x)f(y)=f(x+y), 1 * 若 a1= ,an=f(n)(n∈N ),则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( C 2 )

5

?1 ? A.? ,2? ?2 ?

?1 ? B.? ,2? ?2 ?

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

?1 ? D.? ,1? ?2 ?

二、本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卷上 1 13. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 S1,2S2,3S3 成等差数列, 则等比数列{an}的公比为: _ _ . 3 14.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开 始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边. 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走 的路程总和最小,这个最小值为_2000_米. 15.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为_ 3 π _. 3

16.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为 __43π __. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10 分)一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图 1 和 2 所示,其中正视图、侧视图均 为边长为 a 的正方形.

(1)请在图 2 指定的框内画出多面体的俯视图; (2)若多面体底面对角线 AC,BD 交于点 O,E 为线段 AA1 的中点,求证:OE∥平面 A1C1C; (3)求该多面体的表面积. 解:(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图,得到俯视图如下:

6

(2)证明:如图,连接 AC,BD,交于 O 点,连接 OE. ∵E 为 AA1 的中点,O 为 AC 的中点, ∴在△AA1C 中,OE 为△AA1C 的中位线. ∴OE∥A1C. ∵OE?平面 A1C1C,A1C? 平面 A1C1C, ∴OE∥平面 A1C1C. (3)多面体表面共包括 10 个面,SABCD=a ,SA1B1C1D1= , 2
2

a2

a2 S△ABA1=S△B1BC=S△C1DC=S△ADD1= ,
2 1 2a 3 2a 3a S△AA1D1=S△B1A1B=S△C1B1C=S△DC1D1= × × = , 2 2 4 8
2

a a 3a 2 2 ∴该多面体的表面积 S=a + +4× +4× =5a . 2 2 8

2

2

2

18.(12 分)如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等腰梯形,

AB∥CD, 且 AB=2CD, 在棱 AB 上是否存在一点 F, 使平面 C1CF∥平面 ADD1A1?
若存在,求点 F 的位置;若不存在,请说明理由. 解:存在这样的点 F,使平面 C1CF∥平面 ADD1A1,此时点 F 为 AB 的中点, 证明如下: ∵AB∥CD,AB=2CD, ∴AF 綊 CD,∴四边形 AFCD 是平行四边形, ∴AD∥CF. 又 AD? 平面 ADD1A1,CF?平面 ADD1A1. ∴CF∥平面 ADD1A1. 又 CC1∥DD1,CC1?平面 ADD1A1,

DD1? 平面 ADD1A1,
∴CC1∥平面 ADD1A1, 又 CC1,CF? 平面 C1CF,CC1∩CF=C, ∴平面 C1CF∥平面 ADD1A1. 19.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯形 ABCD,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB= 4, CD=2, 侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形, 且与底面 ABCD 垂直,

E 为 PA 的中点.
(1)求证: DE∥平面 PBC;
7

(2)求三棱锥 A-PBC 的体积. 解:(1)证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥ AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF 綊 CD. 所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF∥BC. 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB, 所以 EF∥PB. 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE? 平面 DEF, 所以 DE∥平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2, 所以 PO⊥AD,PO= 3. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,AD=2,AB⊥AD, 1 1 所以 S△ABC= ×AB×AD= ×4×2=4. 2 2 1 1 4 3 故三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC=VP-ABC= ×S△ABC×PO= ×4 × 3= . 3 3 3 20.(12 分)已知递增的等比数列{ an}满足:a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)若 bn=anlog an,Sn=b1+b2+?+bn,求 Sn. 2 解:(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q.依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8. ∴a2+a4=20.
? ?a1q+a1q =20, ∴? 2 ?a3=a1q =8, ?
3

? ?q=2, 解得? ?a1=2, ?

1 ? ?q= , 或? 2 ? ?a1=32.

又{an}为递增数列, ∴?
? ?q=2, ?a1=2. ?

∴an=2 .

n

8

1 n n n (2)∵bn=2 ·log 2 =-n·2 , 2 ∴-Sn=1×2+2×2 +3×2 +?+n×2 .① ∴-2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +?+(n-1)×2 +n×2
n
2 3 4 2 3

n

n

n+1

.②

①-②得 Sn=2+2 +2 +?+2 -n·2 ∴Sn=2
n+1

2

3

n

n+1

2?1-2 ? n+1 n+1 n+1 = -n·2 =2 -n·2 -2. 1-2

-n·2

n+1

-2.

21.(12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,其中 an≠0,a1 为常数,且-a1,Sn,an+1 成等差数列. (1)求{an}的通项公式; (2)设 bn=1-Sn,问:是否存在 a1,使数列{bn}为等比数列?若存在,求出 a1 的值;若不 存在,请说明理由. 解:(1)依题意,得 2Sn=an+1-a1.
? ?2Sn=an+1-a1, 当 n≥2 时,有? ? ?2Sn-1=an-a1.

两式相减,得 an+1=3an(n≥2).

又因为 a2=2S1+a1=3a1,an≠0, 所以数列{an}是首项为 a1,公比为 3 的等比数列. 因此,an=a1·3 (2)因为 Sn=
n-1

(n∈N ). 1 1 1 n n = a1·3 - a1,bn=1-Sn=1+ a1- a1·3 . 2 2 2 2

*

a1?1-3n? 1
1-3

1 要使{bn}为等比数列,当且仅当 1+ a1=0,即 a1=-2. 2 所以存在 a1=-2,使数列{bn}为等比数列. 22.(12 分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试 验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、 审批一站式服务,某台商到大陆一创业园投资 72 万美元建起一座蔬菜加工厂,第一年各种经费
9

12 万美元,以后每年增加 4 万美元,每年销售蔬菜收入 50 万美元,设 f(n)表示前 n 年的纯收 入.(f(n)=前 n 年的总收入-前 n 年的总支出-投资额) (1)从第几年开始获取纯利润? (2)若干年后,该台商为开发新项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 48 万美元 出售该厂;②纯利润总和最大时,以 16 万美元出售该厂,问哪种方案较合算? 解:由题意知,每年的经费是以 12 为首项,4 为公差的等差数列. 则 f(n)=50n-?12n+

? ?

n?n-1?
2

×4? ?-72=-2n2+40n-72.

?

(1)获取纯利润就是要求 f(n)>0,故有-2n +40n-72>0,解得 2<n<18. 又 n∈N ,故从第三年开始获利. (2)①平均利润为
*

2

f?n? ? 36? =40-2?n+ ?≤16,当且仅当 n=6 时取等号. n? n ?

故此方案获利 6×16+48=144 万美元,此时 n=6. ②f(n)=-2n +40n-72=-2(n-10) +128,当 n=10 时,f(n)max=128. 故此方案共获利 128+16=144 万美元. 比较两种方案,在获利相同的前提下,第①种方案只需 6 年,第②种方案需要 10 年,故选 择第①种方案.
2 2

10


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