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2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考


2000 年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案 (10 月 15 日上午 8:00?9:40) 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设全集是实数,若 A={x| x ? 2 ≤0},B={x| 10 x (A){2} (B){?1} (C){x|x≤2} 2.设 sin?>0,cos?<0,且 sin 2 ?2 = 10 x },则 A ? B 是( (D) ? ) ? 3 >cos 6 3.已知点 A 为双曲线 x ?y =1 的左顶点,点 B 和点 C 在双曲线的右分支上,△ABC 是等边三 角形,则△ABC 的面积是( ) 2 2 ? ? ,2k?+ ), k?Z 3 6 5? (C)(2k?+ ,2k?+?),k?Z 6 (A)(2k?+ 的取值范围是( ) 3 2k? ? 2k? ? (B)( + , + ),k?Z 3 3 6 3 ? 3 ,则 ? (D)(2k?+ ? ,2k?+ ? ) ? (2k?+ 5? ,2k?+?),k?Z 4 3 3 3 3 (B) (C)3 3 (D)6 3 3 2 4.给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程 bx2?2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5 4 5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y ? x ? 的距离中的最小值是( ) 3 5 (A) (A) 34 170 (B) 34 85 (C) 6.设 ? ? cos ? 5 5 (A)x4+x3+x2+x+1=0 (C) x4?x3?x2+x+1=0 ? i sin ? 1 20 (D) 1 30 ) ,则以?,?3,?7,?9 为根的方程是( (B) x4?x3+x2?x+1=0 (D) x4+x3+x2?x?1=0 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.arcsin(sin2000?)=__________. 8.设 an 是(3? x ) n 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,…),则 lim( n?? 3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an 9.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. x2 y2 10.在椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)中,记左焦点为 F,右顶点为 A,短轴上方的端点为 B.若该 a b 5 ?1 ,则∠ABF=_________. 2 11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个球的体积是________. 12.如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}; (2)a?b,b?c,c?d,d?a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值, 椭圆的离心率是 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) Sn 13.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N,求 f(n)= 的最大值. (n ? 32) S n?1 1 13 14.若函数 f ( x) ? ? x 2 ? 在区间[a,b]上的最小值为 2a,最大值为 2b,求[a,b]. 2 2 15.已知 C0:x2+y2=1 和 C1: x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。试问:当且仅当

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