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2015高考理科数学《不等关系与不等式》练习题


2015 高考理科数学《不等关系与不等式》练习题
[A 组 一、选择题 1. 若 ab<0,则有( A. + ≤-2 ?b a? C.? + ?≥1 ?a b? ) B. + >-2 D. + ≤-1 基础演练·能力提升]

b a a b

b a a b b a a b

b a ?b a? 解析:由题可知,? + ?≥2,且 <0, <0,故选 A. a b ?a b?
答案:A 2.已知 x>y>z,x+y+z=0,则( A.xy>yz C.xy>xz ) B.xz>yz D.x|y|>z|y|

解析: 由 x+y+z=0 知 x、 y、z 中至少有一个小于零有一个大于零,又 x>y> z,所以 z<0,x>0, 结合选项可知选 C. 答案:C 1 1 3.在所给的四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0 中,能推出 < 成立的有(

a b

)

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

1 1 b-a 解析: < 成立,即 <0 成立,逐个验证可得,①②④满足题意.

a b

ab

答案:C 1 1 4.设 a,b 为正实数,则“a<b”是“a- <b- ”成立的(

a

b

)

A.充分不必要条件 C.充要条件 解析:∵a>0,b>0,a<b, 1 1 1 1 ∴ > ,由不等式的性质 a- <b- .

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a b

a

b

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1 1 ∴由 a<b 可得出 a- <b- .

a

b

1 1 ?1 1? 当 a- <b- 时,可得(a-b)-? - ?<0, a b ?a b? 1? ? 即(a-b)?1+ ?<0.又∵a>0,b>0,∴a-b<0. ab? ? 1 1 ∴a<b .故由 a- <b- 可得出 a< b.

a

b

1 1 ∴“a<b”是“a- <b- ”成立的充要条件.

a

b

答案:C 1 1 1 a b 5.已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M,N 的大小关 系是( b 1+a 1+b 1+a 1+b A.M>N C.M=N 1 解析:∵0<a< ,∴1+a>0,1+b>0, B.M<N D.不能确定 )

b

1-ab>0. 1-a 1-b ∴M-N= + = 1+a 1+b 答案:A 6.(2014 年朔州模拟)已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立 的是( A.a>ab>ab2 C.ab>a>ab2 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a ) 2-2ab +a +b >0.

解析:由-1<b<0,可得 b<b2<1,又 a<0, ∴ab>ab2>a. 答案:D 二、填空题 7.若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________. 解析: 作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)(b1-b2), ∵a1<a2, b1<b2, ∴(a1-a2)(b1-b2)>0, 即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答 案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1
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8.已知 x,y,z 均为正数,则

x y z 1 1 1 + + ________ + + .(填>,<,≥,≤) yz zx xy x y z x y 1?x y? 2 y z 2 z x 2 = ? + ?≥ ,同理可得 + ≥ , + ≥ ,当 y x yz zx z? zx xy x xy yz y ? z x y + + yz zx

解析:因为 x,y,z 均为正数,所以 +

且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边分别相加,并除以 2,得

z 1 1 1 ≥ + + . xy x y z
答案:≥ 9.如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,则 这两个广告牌面积的大小关系可用含字母 a,b(a≠b)的不等式表示为________.

1 1 解析:图(1)所示广告牌的面积为 (a2+b2),图(2)所示广告牌的面积为 ab,显然不等式表示为 2 2 (a2+b2)>ab(a≠b). 1 答案: (a2+b2)>ab(a≠b) 2 三、解答题 10.若 a>b>0,c<d<0,e<0,求证: 证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. ∴0< 1 a-c
2

e a-c
2



e b-d
2

.



1 b-d

2

.

又∵e<0,∴

e a-c
2



e b-d
2

.

11.设 x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. 解析:解法一 (x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(x-y)[x2+y2-(x+y)2]=-2xy(x-y), ∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0,
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∴-2xy(x-y)>0, ∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y). 解法二 ∵x<y<0,∴x-y<0,x2>y2,x+y <0. ∴(x2+y2)(x-y)<0,(x2-y2)(x+y)<0,

x2+y2 ∴0< 2 x -y2

x-y x2+y2 = 2 <1, x+y x +y2+2xy

∴(x2+y2)(x-y )>(x2-y2)(x+y). 12.(能力提升)已知奇函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数,α ,β ,γ ∈R 且 α +β >0,β +γ >0,γ +α >0.试说明 f(α )+f(β )+f(γ )的值与 0 的 关系. 解析:由 α +β >0,得 α >-β . ∵f(x)在 R 上是单调减函数,∴f(α )<f(-β ). 又∵f(x )为奇函数,∴f(-β )=-f(β ), ∴f(α )<-f(β ),∴f(α )+f(β )<0, 同理 f(β )+f(γ )<0,f(γ )+f(α )<0, ∴f(α )+f(β )+f(γ )<0. [B 组 因材施教·备选练习] )

1.若 0<α <π ,则 sin 2α 与 2sin α 的大小关系是( A.sin 2α >2sin α C.sin 2α =2sin α

B.sin 2α <2sin α D.无法确定

解析:∵sin 2α =2sin α cos α ,0<α <π ,∴sin 2α <2sin α . 答案:B 2. (2014 年郑州模拟)已知 a>b≥2.现有下列不等式: ①b2>3b-a; ②1+ ④loga3>logb3.其中正确的是( A.②④ C.③④ ) B.①② D.①③ ?1 1? >2? + ?; ③ab>a+b; ab ?a b? 4

解析:依题意得,对于①,b2+a>2b+b=3b,即有 b2>3b-a,因此①正确;对于②,取 a=4,b 4 3 ?1 1? 3 4 ?1 1? =2,此时 1+ = ,2? + ?= ,1+ =2? + ?,因此②不正确;对于③,ab-(a+b)=(a-1)(b ab 2 ?a b? 2 ab ?a b? 1 -1)-1>1×1-1=0,因此有 ab>a+b,③正确;对于④,取 a=9>b=3,此时 loga3= <logb3=1, 2
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④不正确.综上所述,其中正确的是①③,选 D. 答案:D 3.若角 α 、β 满足- 解析:∵- π π <α <β < ,则 2α -β 的取值范围是________. 2 2

π π <α <β < , 2 2 π π 3π 3π <-β < ,∴- <2α -β < , 2 2 2 2 π , 2

∴-π <2α <π ,-

又∵2α -β =α +(α -β )<α < ∴- 3π π <2α -β < . 2 2

? 3π π ? 答案:?- , ? 2 2? ?

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